2023年高考數(shù)學第39講 怎樣用向量法求空間的角和空間的距離

第39講怎樣用向量法求空間的角和空間的距離

一、知識概要

1線段定比分點公式

在空間直角坐標系中，線段片鳥的端點坐標為片（毛,加4）,￡（芍,必，22），點0（工，％2）分片6

所成的比為2，則x=,y=M+4%z=4+乜（）+-1），特別地，當a=1,即點P是

線段［鳥的中點時，x=五三，y=江區(qū),z=兔土幺.

222

2三角形的重心

ABC三頂點坐標依次為4（內(nèi),如4）,3（工2，丁2,22），。（多，％，23）,則其重心6的坐標為

（%+々+工31+%+%Z1+Z2+Z31

I393?3J,

3空間向量求空間角、空間距離公式的歸納

ABCD

⑴求異面直線A8與CQ的夾角e-cos8=——n——.（2）求直線,與平而。所成角

AB^CD

PM-n\

^.|sin^|=（其中〃為平面a的法向量,M為/與a的交點,P為/上不同于M的任一

點）.

（3）求二面角夕|cos4="4（%,為分別為兩個平面的法向量）.

\PM-n\

（4）求點P到平面a的距離=其中為為平面a的法向量,M為a內(nèi)任意一點）.

（5）求點A到直線I的距離d.d=（其中B是/上任意一點,d是直線/的

方向向量）.

(6)求異面直線a,b的距離d.d=1處尋(其中A是直線a上任意一點,B是直線b上任

意一點,CD是異面直線a與b的公垂線段,“//CD且〃J_a,〃_L6.

二、題型精析

刪1如圖3-146所示，在四棱雉P—A8CZ)中，尸￡＞!■平面與平面A3E＞所成的角為

60，在四邊形A3C￡＞中,/AOC=/0AB=90,AB=4,CO=1,AO=2.求異面直線R4與

8c形成的角的余弦值.

圖3-146

【策略點擊】

利用空間向量求兩條異面直線所成的角通常有兩種方法：①純向量法；②向量坐標法。這兩種

方法都需要運用兩向量的夾角公式，兩直線方向向量的夾角為銳角時，該角即為兩條異面直線

所成的角，兩直線方向向量的夾角為鈍角時，其補角為兩條異面直線所成的角，若異面直線a,6

的方向向量依次為4，乩,為方便可直接利用公式?0$。=卜0$4,4|=七4求之.

1邛幗

【解法一】

(純向量法)：PA=DA—DP,BC=BA+AD+DC^-4DC+AD+DC=AD-3DC,

:.PABC=(DA-DP^AD-3Z)C)=-DA2=-22=-4,

又\PA=4,|fiC|=722+32=V13,

PABC_-4

/.cos<PA,BC>=

|PA||BC|-4V1313

PA與BC所成的角的余弦值為巫

【解法二】

(向量坐標法)建立如圖3—147所示空間直角坐標系.

NADC=NDAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,:.A(2,0,0),C(0,l,0),B(2,4,0).

由尸￡>_L平面ABC。,得N7VLD為a與平面AB-CO所成的角,.?.NPA￡>=6().

在Rt?A40中，由AD=2,得PD=2GP((),0,2石).

PA=(2,0,-2x/3),BC=(-2,-3,0)

_2x(-2)+0x(-3)+卜26卜0岳

..cos^/^4,BC>=----------------------------=------.

4V1313

，E4與BC所成的角的余弦值為巫.

13

［例2］如圖3-148所示，已知三棱柱ABC-AMG的側(cè)棱與底面垂直，

AAi=AB=AC=\,ABlAC.M是CQ的中點，N是BC的中點，點尸在人片上,且滿足

⑴證明:PN_L4W.

(2)當A取何值時，直線PN與平面ABC所成的角6最大?并求該角最大值的正切值.

(3)若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45，試確定點P的位置.

圖3-148

【策略點擊】

對于第⑴問，以A8,AC,A4,分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,求出各點的坐標及

對應向量的坐標,易判斷PNAM=O，即PN1AM;對于第(2)問，可設(shè)出平面A6C的一個法向

量,這樣易表達出sin夕然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,求出滿足條件

的2值,進而求出此時3的正切值;對于第(3)問，平面PMN與平面ABC所成的二面角為45，則

平面PMN與平面ABC法向量的夾角為45，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于力的方程，解

方程即可求出對應的4值，進而確定出滿足條件的.點尸的位置.

本例是以立體幾何、空間向量為載體的探究性問題,涉及線線垂直的證明，求動態(tài)下線面角的最大

值,由已知二面角確定點的位置，屬于組合探究型、結(jié)論探究型、條件探究型及信息遷移型問題,

關(guān)聯(lián)的知識多，解題技巧強，能夠很好地訓練學生應用能力和創(chuàng)新能力，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

【解】

⑴證明:如圖3—149所示，以AB,AC,⑨分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系4—取z，則

O」,,），從而PN—11j,AM=fO,l,~j-

222

x

y

003-149

PNAM=(；-4)xO+；xl-lx；=(V.PN1AM

⑵顯然平面ABC的一個法向量為?=(0,0,1)則

TT

于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而0,-.>

2

當。最大時,sin。最大，即tan。最大(。=工除外)，由(1)式知,

2

當4=g時，(sin6)max=^^，(tane)max=2?

(3)已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為45，即可得到平面ABC的一個法向量為

力=麗=(0,0,1).

設(shè)平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),由⑴知MP二九一1，5.

%+z=02/1+1

2V=-------X

4r2-3

m-NP=0,

由，得《,解得4

m-MP=0,

z_2(i)

Ax-y+—z=04—A

3

令工=3,得加=(3,24+1,2(1—%)).

m-n|2。-刈V21

于是由cos</n,n>\=:旨=/二一,解得力=—上.

|制川j9+(2/l+l)2+4(l—幾了22

故點P在qA的延長線上，且AF\=~.

【例3】

如圖3-150所示，四邊形ABCD是直角梯形，NABC=90,SA1.平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-.

(1)求線段SC的長；

(2)求AB與SC所成的角；

(3)求平面SCD與平面SAB所成二面角的大小；

(4)求AB與SC的距離；

(5)求3點到平面SDC的距離；

(6)若E為SC上一點，當E處于什么位置時,DEH平面SAB?

93-150

【策略點擊】

本題涉及求線段長、異面直線所成角、二面角、異面直線間的距離、點面距離以及探索E在什

么位置時線面平行(即線面角為零)，可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標法求解。

【解】

⑴如圖3-151所示，以AZ),A3,AS為x,y,z軸，以A3為單位長度,建立空間直角坐標系，則有

A(0,0,0),明,0,0),C(l,1,0),5(0,1,0),5(0,0,1),

2

圖3-151

；,O,O),SC=(l,l,—l),AB=(O/,O)

AD=

|SC『=SC=(SA+AB+BC)2

222

=SA+AB+BC+2SA-AB+2SA-BC+2AB-BC=|SA|2+|AB|2+|SC|23.

.-.|sc|=73.

ABSC1s/3

⑵AB=(0,1,0),SC=(l,l,-l),cos<AB,SC>=

網(wǎng)岡1x733

/.AB和SC所成角為arccos——工

3

g,0,0)是平面s鉆的法向量.

(3)有AD=

設(shè)平面SCD的法向量為〃，并設(shè)〃=(%,y,z).

1

X+y0

由oc=1；,i,o)so=(g1,o,-i)得.n-DC=0,2

2n?SD—

0,—x—z=0.

2

ADn=逅，從而a=arccos逅

cosa=i----；—

AD\\n33

⑷設(shè)與AB和SC均垂直的法向量為n，并設(shè)n=(x,y,z),

由AB=(O,l,O),SC=(l,l,—l)得

n-AB=0,[y=0,_./、

<即arl4"八令Ax=1,測y=z=0,(I,

n-SC=0,[x-z=Q,

在A3和SC上各取一點，如A和S,則向量AS=(0,0,1)在”方向上的投影的長度即為所求，所

JASn1V2

以d=---|〃-|--=--1-x--7-2=—2-

(5)由⑶知平面SCD的法向量為n=1,,在平面SDC上取一點，如C,則向量BC在法

22)

向量八上的投影長度即為所求.

BCn1V6

(1,0,0),."=

\n\j

(6)設(shè)E點分SC所成的比為人則

BCn3=Y5.(6)設(shè)E點分SC所成的比為A，則

比=(1,0,0),."=

同j

0+1x42

T+7,

0+1x4

%—,若DE//平面S48,則

1+A1+A

0+1x42

Ze1+2-1+2

A_J_21

DE=mAS+nAB.^=(0,0,m)+(0,n,0)

1+22'l+4'l+4

21

0,

1+A2Z=1

2

?HP*zn=—

1+A2

11

-----=m.n=-

1+A2

，當上為SC中點時，DE//：平面5AB.

方法提煉

1向量法解題

由于向量有幾何法和坐標法兩種表示，它的運算也因為這兩種不同的表示而有兩種方向.因此用

向量法解題，理論上講總有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數(shù)法.

在具體解題時，要善于從不同的角度考慮問題.

(1)在運用向量法求空間的角和空間的距離時必定會涉及平行問題和垂直問題(特別是線線垂直),

共面問題的證明，線段的長度即向量模的計算.

(2)求異面直線所成的角.可直接運用向量的數(shù)量積公式，但注意線線角不超過三，而兩向量的夾角

2

是

⑶求線面角.先找出角，而要找出角，得先找出斜線在平面內(nèi)的射影，再借助于三角形求線線角(即

斜線與其射影所成角),當直線/垂直于平面。時,其在平面內(nèi)的射影為一個點即垂足，此時所成角

為上,

2

(4)求二面角，先找平面角，轉(zhuǎn)化為求線線角,若用向量法解，則可通過兩個半平面的法向量的夾角,

再求夾角的補角.

(5)用向量方法求點面距離.可找出點在平面內(nèi)的射影的坐標，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或求向量的模,

也可找出平面的一個單位法向量,通過向量在單位法向量上的射影的絕對值來求.

當然，用向量方法解題，特別要注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當?shù)目臻g直角坐標系,盡量使運算簡

單化.

2用空間向量求空間角的解題思路

(1)異面直線所成角.利用直線的方向向量轉(zhuǎn)化成向量所成的角.

(2)線面角的求解策略.

1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補

角）；

2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜

線和平面所成的角.特別提醒:斜線與平面所成的角是指這條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳

角.

（3）二面角的求解策略.

1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的

大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大??；

2）分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的

大小就是二面角的大小.

3向量法求空間角的解題程序

第一步:識圖.

分析幾何體，找到確定幾何體底面和高的條件，根據(jù)所學知識，厘清圖形中的數(shù)量關(guān)系.

第二步:建系設(shè)點.

尋找題目中有三條直線兩兩垂直的特征，建立空間直角坐標系,從而確定點的坐標.

第三步:求向量坐標.

用終點坐標減去起點坐標寫出所需要的向量坐標.

第四步:計算或證明.

利用證明兩個非零向量垂直的充要條件和向量夾角的余弦公式進行計算和證明.

4向量法求空間距離的解題程序

向量法求空間距離的解題程序可參照向量法求空間角的解題程序，但思路相對簡單，解法固定.

5球面距離

關(guān)于球面距離的計算自有一套立體幾何的求解方法，通常不用向量法，但作為空間距離的一種，歸

納在一起,供讀者參考.

三、易錯警示

【例】

如圖3—152所示，四棱錐S-ABCD中.底面ABCD為矩形，Ml底面

ABCD,AD=6,DC=SD=2,裊M

在側(cè)棱SC上,ZABM=60.

(1)證明:M是側(cè)棱SC的中點;

(2)求二面角S-A〃一8的大小.

圖3T52

錯解一：對條件=6()量化時寫成cos<AB,BM>=”嗎甚至寫成

|AB||BM|2

……AMBM1

cos<AM,BM>=?---n-----1=—

|AM||BM|2

錯解二:在用空間向量解塊立體幾何問題時，點的坐標、平面的法向量、兩向量的夾角等運算出現(xiàn)

大量錯誤.

【評析及正解】

在應用向量數(shù)量積公式時忽視“兩向皇共起點”這一基本要求且基本運算不過關(guān).

正確的解法如下：

解:分別以DA,DC,DS為x,y,z軸，如圖3-153所示建立空間直角坐標系D-xyz，則

/1(V2,0,0),B(A/2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

圖3-153

⑴設(shè)何（0,a,/?）（a>0力>0）.則BA=（0,—2,0）,=（-0,a-2,b）,SM

=（0,。為一2）,5。=（0,2,-2）,由題意得

-2(<i-2)_1

cos<BA,BM>=-22

2,即(2xy/(a-2)+b+22

SM/SC-2a=2(/?-2)

解之得a=1,6=1,即"(0,1,1).

.?.M是側(cè)棱SC的中點.

⑵由⑴得股(0』,1),^4=(夜,—1,—1卜又45=(—&,0,2),43=(0,2,0),

則"A=。，且n2-MA=0

,

ii2-AB=0

即/&%-弘-4=0,"及々-%-2=0

即1L且1，

[一岳1+24=0,〔2%=0

分別令下=x2=y/2，得y=1,>2=o,Z]=1,z?=2，即勺=(0,1,1)，叼=(0,0,2).

2+0+2瓜

/.cos/i,tiy=-------f=r-——.

2xV63

二面角S-AM—3的大小為乃一arccos^^

3

四、難題攻略

例如圖3-154所示，在四棱柱ABCO-AfiGA中.底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2,且側(cè)棱垂

直于底面.

⑴耳。與4。能否垂直?請證明你的結(jié)論；

jr7T

（2）當/A/C在上變化時，求異面直線AG與AB1所成角的取值范圍.

【破難析疑】本題若從立體幾何方法入手，則需要作出異面直線線。與a。,44與AG所成的

角認及相應的計算,有點難以把握.如果建立空間直角坐標系，用向量坐標表示，則可完全程序化,

從而簡化了思維過程、降低了難度.當然，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，盡量利用己知條件中線線垂直、

線面垂直關(guān)系，有利于各點坐標的表示，這一點非常重要.本題中由于上、下底面菱形是不完全確

定的圖形,若引進/AgG=2。為參變量，則所要解決的空間圖形問題可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問

題,采用換元法后，又轉(zhuǎn)化為一般的代數(shù)函數(shù)問題，可運用函數(shù)的性質(zhì)，特別是函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)

性求解，本題把幾何代數(shù)融為一體，頗能檢驗解題者的“功力”.

解：以片為原點，建立空間直角坐標系4一孫z,如圖3—155所