2022年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)診斷試卷（文科）（解析版）

2022年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)診斷試卷(文科)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1+加)(1+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，”=()

A.-1B.0C.1D.0或1

2.已知集合用={>狀=510%,xGR),N={x|x2-X-2V0},則MC1N=()

A.(-1,1]B.[-1,2)C.(-1,1)D.[-1,1)

TT

3.已知口=3,后|=2,Z與E的夾角為丁，則|27-33=()

A.6B.376C.376-372D.372

4.圓N-2x+y2-3=0的圓心到直線y=x的距離是()

D.也

A.B.—C.1

"N22

5.已知一個(gè)半徑為4的扇形圓心角為9(0<0<2n),面積為2m若tan(0+(p)=3,則

tan(p=()

A.0B.—C.2

2

6.已知/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-log?(ax),若/(-4)=3,則a=()

12

A.---B.—C.2D.1

322

7.2022年2月4日第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會在北京盛大開幕，中國冬奧健兒在賽場上

摘金奪銀，在國內(nèi)掀起一波冬奧熱的同時(shí)「帶動(dòng)了奧運(yùn)會周邊產(chǎn)品的熱銷，其中奧運(yùn)吉

祥物冰墩墩盲盒倍受歡迎，已知冰墩墩盲盒共有7個(gè)，6個(gè)是基礎(chǔ)款，1個(gè)是隱藏款，隨

機(jī)購買兩個(gè)，買到隱藏款的概率為()

1929

A.—B.—C.—D.—

3775

8.已知/、加、〃為空間中的三條直線，a為平面.現(xiàn)有以下三個(gè)命題：

①若/、團(tuán)、〃兩兩相交，則/、加、〃共面；

②若〃ua,/〃a,則/〃〃；

③若nca,/±a,則/_L〃.

其中的真命題是()

A.①②③B.①③C.①②D.③

ITT

9.已知f(x)=~^"sin(3x+石-)(3>0)在［。，b］上單調(diào)，且值域?yàn)?/p>

［弓1，寺1，b-a=n,則f(-j^r尸()

/Nb

A.1B.近C.—D.—

424

10.如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，若此多面體的

所有頂點(diǎn)均可以放置在一個(gè)正方體的各面內(nèi)，則此正方體的對角線長為()

A.2V2B.4Mc.276D.273

11.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(4-x)=f(x).當(dāng)時(shí)，f(x)=3"+〃,

則了(2021)+f(2022)=()

A.7B.10C.-10D.-12

22

12.已知橢圓Ch2T今=1(a>五)與雙曲線C2在公共的焦點(diǎn)尸1、尸2,A為曲線Cl、

a"2

C2在第一象限的交點(diǎn)，且△ABB的面積為2,若橢圓G的離心率為ei,雙曲線C2的離

11

心率為62,則一2+2”=()

e??2

14

A.—B.2C.1D.—

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y-5<0

13.若實(shí)數(shù)X、y滿足?2x-y-5<0.貝I］Z=2x-y的最大值是.

x》-2

14.為了踐行綠色發(fā)展理念，近年來我國一直在大力推廣使用清潔能源.2020年9月我國

提出了“努力爭取2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和”的新目標(biāo).如圖是2016

至2020年我國清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)總量的比重y的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可以

得到y(tǒng)關(guān)于年份序號X的回歸直線方程：_nniQO上。17口由回歸方程可預(yù)測2022

y-u.0132x+0.175

年我國的清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)總量的比重約為%.

2016-2020中國清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)息■的比?

3CCMX----------------------]?----------------------[-

2500%---------------------------------------------------------------------------------------------------J——

----------------------------

_____----------------

割8t------------------；尸.J=---------------------------------------

比

18001------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10001-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e<XM--------------------------------------------------------------”一

0001--------------------------------------II--------------------J

01214SI

年份汴9

15.在△ABC中，a,b,c,分別為角A,B,C的對邊，若(2b-c)cosA-acosC=0,標(biāo)在

菽方向上的投影是|菽|的今△ABC的面積為3M，則仁.

O

2，-1,x^^O,

16.函數(shù)f(x)=?有三個(gè)零點(diǎn)XI,XI,X3,且X|<X2〈X3,貝！]X1+X2+X3

-x2-4x-t,x<0,

的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第7-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60

分.

S1

17.在①U5=&，②"2是⑶和如的等比中項(xiàng)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，

Sg3

并解答.

問題：已知公差d不為0的等差數(shù)列｛處｝的前〃項(xiàng)和為S”的=6.

(1),求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列屏=2&"，Cn=an+bn,求數(shù)列｛Cn｝的前“項(xiàng)和7k

18.自“雙減”政策頒布實(shí)施以來，為了研究中小學(xué)各學(xué)科作業(yè)用時(shí)的平衡問題，某市教科

研部門制定了該市各年級每個(gè)學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間的判斷標(biāo)準(zhǔn).如表是初中八年級A學(xué)科

的判斷標(biāo)準(zhǔn).

日均作業(yè)時(shí)間(分鐘))[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)不低于16

分鐘

判斷標(biāo)準(zhǔn)過少較少適中較多過多

之后教科研部門又隨機(jī)抽取該市30所初中學(xué)校八年級A學(xué)科的作業(yè)時(shí)間作為樣本，得到

A學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間的頻數(shù)分布表見表.

日均作業(yè)時(shí)間(分鐘))[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24]

學(xué)校數(shù)2310105

(1)請將同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，估計(jì)該市初中八年級學(xué)生完成A

學(xué)科作業(yè)的日平均時(shí)間(結(jié)果精確到0.1)；

(2)針對初期調(diào)查所反映的情況，該市進(jìn)行了A學(xué)科教師全員培訓(xùn)，指導(dǎo)教師對作業(yè)設(shè)

計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，之后教科研部門又隨機(jī)抽取30所初中學(xué)校進(jìn)行了調(diào)查，獲得了如表數(shù)據(jù).

日均作業(yè)時(shí)間(分鐘))[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24]

學(xué)校數(shù)510852

若4學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間不低于12分鐘，稱為“作業(yè)超量”，填寫列聯(lián)表，判斷是否有

99%的把握認(rèn)為作業(yè)是否超量與培訓(xùn)有關(guān).

作業(yè)未超量作業(yè)超量

未培訓(xùn)

培訓(xùn)

附.v2n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(心2攵)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.已知四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，點(diǎn)E為棱PC上一點(diǎn)(與P、C不重合)，

點(diǎn)M、N分別在棱P￡)、PB上,平面EMN〃平面A8CD

(1)求證：8?！ㄆ矫鍭MM

JT

(2)若￡為尸C中點(diǎn)，PC=BC=BD=2,NPBC=—,PC1.BD,求點(diǎn)A到平面

的距離.

20.已知函數(shù)/(x)―^-ax2-sinx,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)x20時(shí)，f(%)-x-sin%,求實(shí)數(shù)。的最大值.

jr

21.已知拋物線氏y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且傾斜角為‘三的直線交拋物線于

4

M、N兩點(diǎn)，|MN=8.

(1)求拋物線E的方程；

(2)在拋物線E上任取與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)A,過A作拋物線E的切線交x軸于點(diǎn)3,點(diǎn)

A在直線x=-1上的射影為點(diǎn)C,試判斷四邊形AC8F的形狀，并說明理由.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23務(wù)中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

f2

22.平面直角坐標(biāo)系下，曲線Ci的參數(shù)方程為，x=4t-1.(,為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)

y=4t

方程為《x=c.osG,(a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)

y=sinCl

系.

(1)求曲線G,C2的極坐標(biāo)方程；

(2)過極點(diǎn)的直線/與曲線Ci交于4,B兩點(diǎn),與曲線C2交于M、N兩點(diǎn)，求

的最小值.

［選修4-5：不等式選講］

23.己知函數(shù)/'(x)=|2x-4+2僅+力.

(1)當(dāng)f=l時(shí)，解關(guān)于x的不等式/(x)26；

(2)當(dāng)00時(shí)，/(x)的最小值為6,且正數(shù)a,b滿足a+b=f,求工的最小值.

abab

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1+，市)(1+/)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.-1B.0C.1D.0或1

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

解：*.*(l+/nz)(14-Z)=(1-m)+(1+機(jī))i是純虛數(shù)，

,fl~m=0un_

1l+mT^O

故選：C,

2

2.已知集合加={》|>=5111￥,XGR},N={X\X-X-2<0}9則MGN=()

A.(-1,1]B.[-1,2)C.(-1,1)D.[-1,1)

【分析】化簡集合M、N,再求交集即可.

解：VA/={y|y=sinx,xER]=[-1,1],

N={x\x2-x-2<0}=(-1,2),

???MnN=(-1,1],

故選：A.

TT

3.已知國=3,畝=2,Z與E的夾角為丁，則|27-33=()

A.6B.376C.376-3V2D.372

【分析】先根據(jù)平面向量的運(yùn)算及數(shù)量積計(jì)算出|22-3]匕即(27-35)2的值，進(jìn)一

步即可計(jì)算出[2之-3]|的值，從而可得正確選項(xiàng).

解：由題意，

可知1|2之-3河=(2彳-3b)2

=44-2?2；咻+9?|守

=4?9-12*|al,lbl，cos<a?b>+9,4

=72-12?3?2?—

2

=36,

???|2:-3三|=6.

故選：A.

4.圓/-2無+y-3=0的圓心到直線y=x的距離是()

A.J?B.—C.1D.亞

、22

【分析】首先把圓的方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用求出結(jié)

果.

解：圓x2-Zx+y2-3=0轉(zhuǎn)換為(x-1)2+/=4,故圓心的坐標(biāo)為(1,0),半徑為2；

故圓心(1,0)到直線x-y=0的距離港.

V22

故選：D.

5.已知一個(gè)半徑為4的扇形圓心角為6(0<0<2TI),面積為2n,若tan(0+(p)=3,則

tan(p=()

A.0B.1C.2D.1

22

【分析】由己知結(jié)合扇形面積公式先求出①然后結(jié)合兩角和的正切公式可求.

解：由題意得春eX42=2TT,

JT

所以0=工_,

4

所以tan=匿爵=3,

則tan(p-

故選：B.

6.已知/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-log2(ar),若/(-4)=3,則a=()

1Q

A.—B.—C.2D.1

322

【分析】由奇函數(shù)的定義和x>0時(shí)的函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得所求值.

解：/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=-log2(ar),

可得/(-4)=-f(4)=-[-log2(4a)]=3,

即4a=8,解得a=2.

故選：C.

7.2022年2月4日第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會在北京盛大開幕，中國冬奧健兒在賽場上

摘金奪銀，在國內(nèi)掀起一波冬奧熱的同時(shí).，帶動(dòng)了奧運(yùn)會周邊產(chǎn)品的熱銷，其中奧運(yùn)吉

祥物冰墩墩盲盒倍受歡迎，已知冰墩墩盲盒共有7個(gè)，6個(gè)是基礎(chǔ)款，1個(gè)是隱藏款，隨

機(jī)購買兩個(gè)，買到隱藏款的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

3775

【分析】利用古典概型、排列組合直接求解.

解：冰墩墩盲盒共有7個(gè)，6個(gè)是基礎(chǔ)款，1個(gè)是隱藏款，隨機(jī)購買兩個(gè)，

基本事件總數(shù)〃=C；=21,

買到隱藏款包含的基本事件個(gè)數(shù)根=C；C々=6,

買到隱藏款的概率P=-=-^=^--

n217

故選：B.

8.已知/、，〃、〃為空間中的三條直線，a為平面.現(xiàn)有以下三個(gè)命題：

①若/、機(jī)、〃兩兩相交，則/、加、〃共面；

②若〃ua,/〃a,則/〃”；

③若〃ua,/J_a,則

其中的真命題是（）

A.①②③B.①③C.①②D.③

【分析】由直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.

解：/、m,〃為空間中的三條直線，a為平面，

對于①，若/、相、〃兩兩垂直且交于一點(diǎn)時(shí)，則/、m、〃不共面，故①錯(cuò)誤；

對于②，若〃ua,l//a,則/與〃平行或異面，故②錯(cuò)誤；

對于③，若〃ua,/±a,則由線面垂直的性質(zhì)得/，小故③正確.

故選：D.

ITT

9.已知f（x）=^sin（3x+百）（3>0）在6］上單調(diào)，且值域?yàn)?/p>

［弓1，寺1，b-a=n,則f（-jr^尸（）

//b

A.1B.近C.—D.—

424

【分析】由題可知，區(qū)間3,勿的長度n即為了（X）最小正周期，由此求出3,從而可

JT

求?

0

解：設(shè)下為f（X）的最小正周期，

因?yàn)?(X)在3，萬I上單調(diào)，則8-a=7iw3,

又因?yàn)?(x)=《sin(u)x+-^-)(u)>0)且在［m/上值域?yàn)椋?4■,3,

2622

故6-a=n=—,

2

故丁=如，

故3=1,

1兀

故/(x)=—sin(x+—),

26

匕匚1、1C/兀、—1?/兀兀、-1V3_V3

所以f(-7")=~sm(—―H■——)y

6266T飛"-"F

故選：B.

10.如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，若此多面體的

所有頂點(diǎn)均可以放置在一個(gè)正方體的各面內(nèi)，則此正方體的對角線長為()

C.276D.273

【分析】根據(jù)三視圖還原出直觀圖，將圖形放到正方體內(nèi)可得正方體棱長，即可求解體

對角線長.

解：由已知三視圖三個(gè)圖形都為正方形可以看出,

直觀圖中各個(gè)頂點(diǎn)在正方體的面中心位置,

如上圖中AB為正視圖中兩個(gè)小正方形的邊長，得到A8=2,

所以可以得到正方體的棱長為2,

所以正方體的體對角線長為+22+22=2爪，

故選：D.

11.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(4-x)—/(x).當(dāng)0WxW2時(shí)，f(x)—3x+a,

則f(2021)t/(2022)=()

A.7B.10C.-10D.-12

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)利用/(0)=0求出a的值，然后利用對稱性和奇偶性求出

函數(shù)的周期，利用函數(shù)周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解：函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，??./(())=0,即,(0)=1+。=0,得。=-1,

即當(dāng)0WxW2時(shí),f(x)=3，-1,

由/(4-x)=于3得/(4-x)=/(x)=-/(x-4),

則/(x+4)=-/(x),即/(x+8)=f(x),

即/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

則/1(2021)=/(253X8-3)=/(-3)=/(7)=/(-1)=-/<1)='(3-1)=

-2,

f(2022)=f(253X8-2)=f(-2)=-/⑵=-(9-1)--8,

則f(2021)+f(2022)=-2-8=-10,

故選：C.

22

12.已知橢圓G,(a>&)與雙曲線C2在公共的焦點(diǎn)Fi、Fi,A為曲線Ci、

a"2

C2在第一象限的交點(diǎn)，且△ABB的面積為2,若橢圓G的離心率為e”雙曲線C2的離

11

心率為62,則一蒙+?=()

e1e2

14

A.—B.2C.1D.—

23

【分析】先由橢圓定義和余弦定理結(jié)合面積公式求出/KAB,再由雙曲線定義和橢圓定

義找到a,a'的關(guān)系，代入目標(biāo)式化簡可得.

解：記橢圓中的幾何量為“，b,c,雙曲線中的幾何量為〃，b',c,AF\=m,AF2=n,

則由橢圓和雙曲線定義可得根+"=2a,①

m-n=2ar

兩式平方相減整理得層-/2=〃?〃,

記NRAF2=e,則由余弦定理得〃及+/-2相〃85。=4〃，③

①2-③得2mn(1-cos0)=4足-4c2=4/?2=8,④

由面積公式可得sin0=2?即inn=一

《2iiinsinti.4‘

代入④整理得sin(84)*，

因?yàn)?E(0,TT),

所以8號€小，牛)，

所以8m丹_,得ej

442

所以理--2—4,BPa2=a2-4,

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y-5<0

13.若實(shí)數(shù)x、y滿足，2x-y-5<0>則z=2x-y的最大值是5.

x》-2

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)

解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

解：由約束條件作出可行域如圖，

由z=2r-y,得y=2x-z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z與2x-y-5=0重合時(shí),

直線在y軸上的截距最小，z有最大值為5.

故答案為：5.

14.為了踐行綠色發(fā)展理念，近年來我國一直在大力推廣使用清潔能源.2020年9月我國

提出了“努力爭取2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和”的新目標(biāo).如圖是2016

至2020年我國清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)總量的比重)，的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可以

得到y(tǒng)關(guān)于年份序號x的回歸直線方程：［nmoo17C＞由回歸方程可預(yù)測2022

y-0.U132x+O.172

年我國的清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)總量的比重約為27.14%.

2016-202。中國清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)息■的比?

------

一5一一‘

?

1411

年份汴9

【分析】由題意可知，2022年對應(yīng)的年份序號為7,將x=7代入線性回歸方程，即可求

解.

解：由題意可知，2022年對應(yīng)的年份序號為7,

=0.0132X7+0.179=0.2714,

y

故2022年我國的清潔能源消費(fèi)占能源消費(fèi)總量的比重約為27.14%.

故答案為：27.14.

15.在△ABC中，a,h,c分別為角A,B,C的對邊，若(2b-c)cosA-acosC=0,標(biāo)在

菽方向上的投影是|菽|的京△ABC的面積為出后，則。=_后一

【分析】先利用正弦定理整理三角函數(shù)關(guān)系式求出A的值，再由標(biāo)在正方向上的投影是

|菽|的,，以及三角形面積公式求得Ac的值，最后利用余弦定理即可求得。的值.

解：整理(2b-c)cosA-acosC=0,

得：2〃cosA=sinAcosC+cosAsinC,

1K

解得：COSA=4，由于則4=不-,

23

因?yàn)闃?biāo)在正方向上的投影是|ACI的母即屈c(diǎn)osA=/c=/|■記|=全，

所以c=?b,

因?yàn)椤鰽BC的面積為出行，即與sinA=*.近=3?,

232

所以6=3,則c=4,

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2/?ccosA,解得。=/石，

故答案為：yj13-

2*-t,x）0,

16.函數(shù)f（x）=<'有三個(gè)零點(diǎn)XI,X2,孫且2V13,貝I」X1+X2+X3

-x2-4x-t,x<C0,

的取值范圍是［一取一2）.

【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為g（X）=<2'的圖象與直線y=t交點(diǎn)的橫

-X2-4X,x<0

坐標(biāo)分別為M,X2,X3,畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可.

2X,x>0

解：設(shè)g（X）=\，

-X2-4X,x<0

2x-t,x〉0,

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）='有三個(gè)零點(diǎn)九1,XI、X3,且XlVx2V冗3,

-x2-4x-t,x<C0,

所以g（X）的圖象與直線y=/交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為XI,X2,X3,且為Vx2Vx3,

作出g（X）的圖象如圖所示，

由圖可知1W/V4,且xi,及是方程-/-4x-/=0的兩個(gè)實(shí)根,

所以X1+X2=-4,

因?yàn)楣?滿足2*3T=O,即X3=log2，，

因?yàn)镵r<4,所以log21Wlog2ylog2%

所以0WX3<2,

所以-4WXI+X2+X3<-2,

即Xt+X2+X3的取值范圍是［-4,-2）.

故答案為：?4,-2）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第7-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分.

17.在①②“2是0和44的等比中項(xiàng)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，

并解答.

問題：已知公差d不為0的等差數(shù)列｛“”｝的前”項(xiàng)和為S”43=6.

（1），求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列d=2@11,Cn=a“+力，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和

【分析】選條件①時(shí)，（1）直接利用關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分

組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

選條件②時(shí)，（1）直接利用關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組法的應(yīng)

用求出數(shù)列的和.

xcS1

解：選條件①時(shí)，-T5^=—，

由于公差d不為0的等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和為S〃，

所以3s5=S9,

整理得3X（56Z1+10J）=9m+36d,

故a\=d,

由于6/3=6,

整理得m+2d=6,

故a\=d=2,

所以?！?2+2（n-1）=2力;

n

（2）由（1）得：bn=4，

故％=an+bn=2n+4n,

所以Tn=(2+4+...+2n)+(41+42+...+4n)

4-1

4n+1-4

2,

+n+rr

3

選條件②時(shí)，42是〃1和〃4的等比中項(xiàng)，且43=6,

2

a=aa

故＜2l'4

a3=6

解得ai=d=2；

所以“〃=2+2(〃-1)=2〃；

n

(2)由(1)得：bn=4.

n

A^cn=an+bn=2n+4.

所以Tn=(2+4+...+2n)+(41+42+...+4n)

4-1

4n+1-4

2,

+n+rr

3

18.自“雙減”政策頒布實(shí)施以來，為了研究中小學(xué)各學(xué)科作業(yè)用時(shí)的平衡問題，某市教科

研部門制定了該市各年級每個(gè)學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間的判斷標(biāo)準(zhǔn).如表是初中八年級A學(xué)科

的判斷標(biāo)準(zhǔn).

日均作業(yè)時(shí)間（分鐘））[0,4）[4,8）[8,12）[12,16）不低于16

分鐘

判斷標(biāo)準(zhǔn)過少較少適中較多過多

之后教科研部門又隨機(jī)抽取該市30所初中學(xué)校八年級A學(xué)科的作業(yè)時(shí)間作為樣本，得到

A學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間的頻數(shù)分布表見表.

日均作業(yè)時(shí)間（分鐘））[4,8）[8,12）[12,16）[16,20）[20,24]

學(xué)校數(shù)2310105

（I）請將同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，估計(jì)該市初中八年級學(xué)生完成A

學(xué)科作業(yè)的日平均時(shí)間（結(jié)果精確到01）；

（2）針對初期調(diào)查所反映的情況，該市進(jìn)行了A學(xué)科教師全員培訓(xùn)，指導(dǎo)教師對作業(yè)設(shè)

計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，之后教科研部門又隨機(jī)抽取30所初中學(xué)校進(jìn)行了調(diào)查，獲得了如表數(shù)據(jù).

日均作業(yè)時(shí)間（分鐘））[4,8）[8,12）[12,16）[16,20）[20,24]

學(xué)校數(shù)510852

若A學(xué)科日均作業(yè)時(shí)間不低于12分鐘，稱為“作業(yè)超量”，填寫列聯(lián)表，判斷是否有

99%的把握認(rèn)為作業(yè)是否超量與培訓(xùn)有關(guān).

作業(yè)未超量作業(yè)超量

未培訓(xùn)

培訓(xùn)

附：n(ad-bc)2

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(群280.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，以及平均數(shù)公式，即可求解.

（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.

解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，該市初中八年級學(xué)生完成A學(xué)科作業(yè)的日平均時(shí)間為

6X2+10X3+14X10+18X10+22XJis?

2+3+10+10+5?

（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表為：

作業(yè)未超量作業(yè)超量合計(jì)

未培訓(xùn)52530

培訓(xùn)151530

合計(jì)204060

計(jì)算嚕吟隨舞鏟

所以有99%的把握認(rèn)為作業(yè)是否超量與培訓(xùn)有關(guān).

19.己知四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，點(diǎn)E為棱PC上一點(diǎn)（與P、C不重合），

點(diǎn)M、N分別在棱P。、尸B上，平面〃平面A2CD

（1）求證：8?！ㄆ矫鍭MV；

JT

（2）若E為PC中點(diǎn),PC=BC=BD=2,NPBC=—,PC1BD,求點(diǎn)A到平面EBO

4

的距離.

【分析】(1)根據(jù)面面平行求出再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；

(2)把點(diǎn)A到平面EBD的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到平面EBD的距離，再由等體積法求解.

【解答】(1)證明：?.?平面EMN〃平面A8CD,

平面PBOC平面ABCD=BD,平面P8OC平面EMN=MN,：.BD//MN,

平面EMN,MNu平面EMM

平面AMN；

(2)解：由(1)得80〃平面AMN,

TTTTTT

?：PC=BC=2,ZPBC=—,：.ZPBC=ZCPB=—,則NBCP=—,

442

APCLBC,又PCLBD,BSBD=B,；.PC_L平面ABC。，

:四邊形ABC。是菱形，8C=BO=2,.?.△BCD為正三角形，

則S"CDVX2X2X與

???E為PC中點(diǎn)，:.BE=DE^22+12=\[5'則5與口五總*2*后1=2，

設(shè)C到平面EBD的距離為/?,由VEBDC=VC-BDEf

得X11x2Xh，解得仁嘩.

OoN

由圖可知，A與C到平面3OE的距離相等，可得點(diǎn)A到平面或。的距離為返.

2

20.己知函數(shù)/(%)=ex-ax2-sinr,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求f(x)在冗=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，f(x)21-x-sinx,求實(shí)數(shù)〃的最大值.

【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；

(2)利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解：(1)V/(%)-ax1-sinx,

.\f(0)=1,且/(x)=ev-2ax-cosx,

則/(0)=0,所以/(x)在x=0處的切線方程為y=l；

(2)當(dāng)時(shí),f(x)-x-sinx,即ex-ax2+x-120,

當(dāng)x=0時(shí)，-ax2+x-1=0,

aX+Y-1

當(dāng)x>0時(shí)，ex-ax2+x-120,即aW--------,

因?yàn)閤>0,所以e，-1>e。-1=0,

當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<2時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

2..

所以g(X)niin—g(2)=———

4

2口

所以“wCL,

4

工

所以實(shí)數(shù)。的最大值為三2上L1

4

JT

21.已知拋物線E：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸且傾斜角為二二的直線交拋物線于

4

M、N兩點(diǎn)，|MM=8.

(1)求拋物線E的方程；

(2)在拋物線E上任取與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)A,過A作拋物線E的切線交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)

4在直線x=-1上的射影為點(diǎn)C,試判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由.

TT

【分析】(1)將過點(diǎn)F且傾斜角為二二的直線與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理以及拋物

4

線的性質(zhì)得出拋物線E的方程；

(2)設(shè)A(xo,yo),聯(lián)立切線和拋物線方程，由判別式等于0得出3(-迎，0),再

由拋物線定義得出|Bfl=|AF|=|AC|,最后由AC〃BF得出四邊形AC8F54為菱形.

TT?

解：(1)設(shè)過點(diǎn)尸且傾斜角為二｝的直線方程為y=x-

2

代入V=2px(p>0)中，得--3pz+￡—=0,

4

若M(xi,yi),N(X2,”)，則xi+x2=3p,

所以|MN]=xi+x2+p=4p=8,則p=2,

即拋物線E的方程為)2=4尤

(2)設(shè)4(xo,yo)則過A作拋物線E的切線為y-州=左(x-/o),即犬=/'Q.+xo,

k

代入產(chǎn)二人，整理得可得62-4)，+4)，o-Zy：=O,

因?yàn)榇酥本€與拋物線相切，所以A=4（4-的＞o+%2yj）=0,即（ky（）-2）2—0,k—~~,