高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題3 概率與統(tǒng)計(jì) 突破點(diǎn)9 隨機(jī)變量及其分布專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(九)隨機(jī)變量及其分布[建議A、B組各用時(shí)：45分鐘][A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，下列概率與P(X≤0)相等的是()A．P(X≥2) B．P(X≥4)C．P(0≤X≤4) D．1－P(X≥4)B[由變量X服從正態(tài)分布N(2,4)可知，x＝2為其密度曲線的對(duì)稱軸，因此P(X≤0)＝P(X≥4)．故選B.]2．(2016·廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100 B．200C．300 D．400B[將“沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ，則ξ＝1,2,3，…，1000，由題意可知ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，又因?yàn)閄＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故選B.]3．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3).該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊，該射手恰好命中一次的概率為()A.eq\f(5,36) B.eq\f(29,36)C.eq\f(7,36) D.eq\f(1,3)C[eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)，故選C.]4．(2016·合肥二模)某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722035】A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,20)A[“A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的安排方法中，另外3人中任何一個(gè)人第一個(gè)出場(chǎng)的概率都相等，故“C第一個(gè)出場(chǎng)”的概率是eq\f(1,3).]5．箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球．從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．現(xiàn)在4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)B[若摸出的兩球中含有4，必獲獎(jiǎng)，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎(jiǎng)．故獲獎(jiǎng)的情形共6種，獲獎(jiǎng)的概率為eq\f(6,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3·eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).]二、填空題6．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.eq\f(2,5)[由題意設(shè)P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下：ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由E(ξ)＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).]7．某學(xué)校一年級(jí)共有學(xué)生100名，其中男生60人，女生40人．來(lái)自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，則該女生來(lái)自北京的概率是________．eq\f(1,5)[設(shè)事件A為“任選一人是女生”，B為“任選一人來(lái)自北京”，依題意知，來(lái)自北京的女生有8人，這是一個(gè)條件概率，問(wèn)題即計(jì)算P(B|A)．由于P(A)＝eq\f(40,100)，P(AB)＝eq\f(8,100)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(8,100),\f(40,100))＝eq\f(1,5).]8．(2016·黃岡一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去(每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀?，如圖9-6所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次后仍停在A葉上的概率是________．圖9-6eq\f(1,3)[設(shè)順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針跳的概率為2p，則p＋2p＝1，即p＝eq\f(1,3)，由題意可知，青蛙三次跳躍的方向應(yīng)相同，即要么全為順時(shí)針?lè)较?，要么全為逆時(shí)針?lè)较?，故所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).]三、解答題9．(2016·煙臺(tái)二模)甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分．在其中的一方比對(duì)方多得2分或下滿5局時(shí)停止比賽．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求沒(méi)下滿5局甲即獲勝的概率；(2)設(shè)比賽停止時(shí)已下局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[解](1)沒(méi)下滿5局甲獲勝有兩種情況：①是兩局后甲獲勝，此時(shí)P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，2分②是四局后甲獲勝，此時(shí)P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)\f(2,3)×\f(1,3)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(16,81)，4分所以甲獲勝的概率P＝P1＋P2＝eq\f(4,9)＋eq\f(16,81)＝eq\f(52,81).5分(2)依題意知，ξ的所有可能值為2,4,5.6分設(shè)前4局每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).7分若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響，從而有：P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))＝eq\f(20,81)，P(ξ＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81).10分所以ξ的分布列為：ξ245Peq\f(5,9)eq\f(20,81)eq\f(16,81)故E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋5×eq\f(16,81)＝eq\f(250,81).12分10．甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分．已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是eq\f(2,3).設(shè)每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分．(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．[解](1)ξ的可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)；1分P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；2分P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)；3分P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).4分所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)6分所以E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(11,24)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(23,12).8分(2)設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P(A)＝eq\f(1,4)×Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\f(11,24)×Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,3).10分P(AB)＝eq\f(1,4)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,18).11分P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,18),\f(1,3))＝eq\f(1,6).12分[B組名校沖刺]一、選擇題1．(2016·河北第二次聯(lián)考)已知袋子中裝有大小相同的6個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球．現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，則至少有2個(gè)白球的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)C[所求問(wèn)題有兩種情況：1紅2白或3白，則所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).]2．如圖9-7，△ABC和△DEF是同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形，且BC∥EF.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在△ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在△DEF內(nèi)”，則P(eq\o(N,\s\up8(－))|M)＝()圖9-7A.eq\f(\r(3),4π) B.eq\f(\r(3),2π)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)C[如圖，作三條輔助線，根據(jù)已知條件知這些小三角形都全等，△ABC包含9個(gè)小三角形，滿足事件eq\o(N,\s\up8(－))M的有3個(gè)小三角形，所以P(eq\o(N,\s\up8(－))|M)＝eq\f(n\o(N,\s\up8(－))M,nM)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選C.]3．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c＝()A．1 B．2C．3 D．4B[∵X～N(2,9)，正態(tài)密度曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱，又概率表示它與x軸所圍成的面積．∴eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.]4．甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為X，則E(X)為()A．1 B．1.5C．2 D．2.5B[X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6)C\o\al(2,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，故E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝1.5.]二、填空題5．現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任選3道題作答．已知所選的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是eq\f(3,5)，答對(duì)每道乙類題的概率都是eq\f(4,5)，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，則張同學(xué)恰好答對(duì)2道題的概率為_(kāi)_______．eq\f(57,125)[設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的數(shù)目為x，答對(duì)乙類題的數(shù)目為y，答對(duì)題的總數(shù)為X，則X＝x＋y.所以P(X＝2)＝P(x＝2，y＝0)＋P(x＝1，y＝1)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(4,5)＝eq\f(57,125).]6．某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的數(shù)學(xué)期望E(η)>eq\f(7,4)，則p的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722036】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0,1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).]三、解答題7．(2016·鄭州模擬)已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過(guò)L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖9-8(1)和圖(2)．(1)(2)圖9-8現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地．(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解](1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i＝1,2.1分由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5.∵P(A1)>P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1.3分P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9.∵P(B2)>P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2.5分(2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由題意知，M，N相互獨(dú)立，7分∴P(X＝0)＝P(eq\o(M,\s\up8(－))eq\o(N,\s\up8(－)))＝P(eq\o(M,\s\up8(－)))P(eq\o(N,\s\up8(－)))＝0.4×0.1＝0.04；P(X＝1)＝P(eq\o(M,\s\up8(－))N＋Meq\o(N,\s\up8(－)))＝P(eq\o(M,\s\up8(－)))P(N)＋P(M)P(eq\o(N,\s\up8(－)))＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42；P(X＝2)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝0.54.9分∴X的分布列為X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0