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文檔簡介
專題12三角形的心的千萬應(yīng)用
【基本知識】
名稱定義性質(zhì)
重心三角形各邊的中線的交點重心為任意三角形的中線的三分點
外心三角形各邊的中垂線的交點外心到三個頂點的距離相等,外接圓的半徑
內(nèi)心三角形各邊的角分線的交點內(nèi)心到各邊的距離相等,內(nèi)切圓的半徑
垂心三角形各邊的垂線的交點垂心和頂點的連線與對應(yīng)的邊垂直,即為高
1.重心G的性質(zhì):(1)重心G是中線的三等分點;(2)GA+GB+GC^Q;
⑶若4%,y)、8(々,>2)、C5,%),則6%+2+/,凹+.':+-
2.等腰三角形中頂角角平分線、底邊中線、底邊高線三線合一。等邊三角形四心合一。
3.射影定理:a-hcosC+ccosB
b=acosC+ccosA
c—acosB+bcosA
4.角平分線定理:A£>為AA3C的角平分線,則
ABBD
~AC~~CD
一、求三角形的外接圓的半徑
1、直角三角形
(1)如果三角形是直角三角形,那么它的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊.
(2)如果三角形一個邊的中點到三角形的三個頂點距離相等,那么這個三角形為直接三角形;
2.等邊三角形,其外接圓的圓心就是其中心(重心,垂心,內(nèi)心),設(shè)等邊三角形的變成為a,則其中線上
為;重心到底邊的距離為:三角形的面積為:。
3.任意三角形的外接圓半徑,通過正弦定理求解.
二'求三角形的內(nèi)切圓的半徑
1、直角三角形:AABC外接圓。。的半徑為空譬.
2
2.一般三角形:利用等面積,已知三邊的長度利用公式Js(s-a)(s-b)(s-c)(其中$=彗上)可求面積
112S
已知邊和夾角一a方sin8=—c周長r=r=——1
22C周長
三.直角三角形中的結(jié)論:
(1)兩銳角互余,即A+B=90°。
(2)30°角所對直角邊等于斜邊的一半。
(3)勾股定理:a2+Z>2=c2.
(4)斜邊上的中線等于斜邊的一半,外接圓的圓心為斜邊的中點,垂心為直角頂點。
(5)如圖可得:RtMBCsRtMCDsRtMJBD
(6)由(2)可得直角三角形中的射影定理:
AC2=ADABBC2=BDBACD2=DA-DB
四.平面向量與三角形的心
1.重心(barycenter)三角形重心是三角形三邊中線的交點。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比
為2:la
若G為A48C所在平面內(nèi)一點,^GA+GB+GC=O
oG是三角形的重心,
證明:設(shè)80中點為。,則2劭=麗+覺
GA+GB+GC=O<^-GA=GB+GC
:.-GA^2GD,
這表明,G在中線A0上,
同理可得G在中線BE,CF上
故G為AA3C的重心
結(jié)論2:
若P為A48C所在平面內(nèi)一點,則=;(PA+P4+PC),
<=>G是A4BC的重心
證明:而=;(陽+而+定)=(丐一百)+(所-而)+(所—正)=6
<^GA+GB+GC=6
oG是A43C的重心
2、垂心(orlhocenter)三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心。
結(jié)論3:
若H為A46C所在平面內(nèi)一點,則瓦1麗=麗?阮=近.麗
o"是AABC的垂心
證明:加?“月=〃從從(兩一"。)=0
oHBAC^OoHBlAC
同理,有HALCB,HC上AB
故”為三角形垂心。
A
結(jié)論4:
若H為AA8C所在平面內(nèi)一點,則不始+BC=HB+AC^HC'+AB,
0H是AABCfi勺垂心
證明:由而2+BC2=HB2+CA2^,HA2+(HB-HC)2^HB2+(HC-HA)2
<^HBHC=HCHA
同理可證得,雨HB^HBHC^HCHA
由結(jié)論3可知命題成立
3、外心(circumcenter)
三角形三條邊的垂直平分線(中垂線)的相交點。用這個點做圓心可以畫三角形的外接圓。
結(jié)論5:
若。是A4BC所在平面內(nèi)一點,則|方卜\0B\=\0C\o。是A4BC的外心
證明:由外心定義可知命題成立
結(jié)論6:
若。是AA3C所在平面內(nèi)一點,則
COA+OB)BA^(OB+OC)CB^(OC+OA)AC<^。是AABEj外心
證明:?.?(方+麗?麗=(方+OBXOA-麗)=|研-阿
----?.?I?|2?——*|2...I?]2I——*|2
:.(OB+OC)CB^\OB\-|OC|,(OC+OA)-AC^\OC\-\OA\
故同2T的2T函2—函2=函2T礴
n網(wǎng)=|函=函
故。為澳8球外心
A
4、內(nèi)心(incenter)三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心,即內(nèi)切圓的圓心。
結(jié)論7:
若P為A48C所在平面一點,則
OP是兒46。勺內(nèi)心
證明:記通,恁方向上的單位向量分別為不,
/____\
-?—?ABAC—__
OP—OA+4〔?網(wǎng)“+卜1支=AP=4(G+?2)
由平行四邊形法則知,(1+豢)在AB,AC邊夾角平分線上
即P在N4平分線上同理可得,P在NB,N。的平分線上故P為AABC的內(nèi)心
結(jié)論8:
若P是AABC所在平面內(nèi)一點,則a西+人而+c定=。
oP是A4B球內(nèi)心
證明:不妨設(shè)麗=4斤
aPA+bPB+cPC^Q^a(PD+DA)+h(PD+DB)+cPC^O
=>(Aa+4。+c)PC+(aDA+bDB)=6
由于定與方,而不共線,則
4a+4b+c=0,aDA+bDB=6
DAb
即==g由角平分線定理,CO是NAC加勺平分線
DBa
同理可得其他的兩條也是平分線
故P是A4BC的內(nèi)心
五.立體幾何中的三角形的心
1.三棱錐頂點在底面的射影
條件結(jié)論(頂點在底面的射影)
三棱錐的三條側(cè)棱相等外心
三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直垂心
三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等(線面角)外心
三棱錐的三個側(cè)面與底面所成二面角相等(二面角)內(nèi)心
三棱錐的側(cè)棱與底面三角形同交點的邊所成角相等(線線角)射影落在對應(yīng)角的角分線上
2.正四面體與球
如圖,設(shè)正四面體的棱長為內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為民取AB的中點O,連接CASE為正四面體的
高,在截面三角形SDC內(nèi)作一個與邊SROC相切,圓心在高SE上的圓。.因為正四面體本身的對稱性,內(nèi)切球
和外接球的球心同為。.此時,CO=OS=R,OE=r,又SE=J,,CE=*z,則有R+r=l|a,R2-戶=|CE|2■,解得
DV6y/6
R二——a,r-——a
412
3.正方體與球
(1)正方體的內(nèi)切球:截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為〃,則
|OJ|=r=出r為內(nèi)切球半徑).
(2)與正方體各棱相切的球:截面圖為正方形EFHG的外接圓,則|GO|=R=wa.
叵
⑶正方體的外接球:截面圖為正方形ACCA的外接圓,則|A[O|=R'=3a
4.三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球
(1)若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等,則可以補形為一個正方體,正方體的外接球的球心就是三棱錐的
外接球的球心.即三棱錐Ai-ABiDi的外接球的球心和正方體ABCD-A\B\C\D\的外接球的球心重合.如圖,設(shè)
M=a,則R與i.
(2)若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等,則可以補形為一個長方體,長方體的外接球的球心就是三棱錐的
外接球的球,心.尺2=必”《=。(/為長方體的體對角線長).
44
【基本技能】
八個有趣模型—搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球
類型一、墻角模型(三條線兩個垂直,不找球心的位置即可求出球半徑)
方法:找三條兩兩垂直的線段,直接用公式(27?)2=〃+匕2+C2,即2/?="2+從+,2,求出火
例1(1)已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是()
A.16萬B.20〃C.24%D.32"
解:V=a2h=16.a-2,47?2=cr+cr+hr=4+4+16=24,S=24〃,選C;
引理:正三棱錐的對棱互垂直。證明如下:
如圖(3)-1,取AB,BC的中點£>,E,連接AE,CD,AE,CD交于H,連接S”,則H是底面正三角
形ABC的中心,.?.平面ABC,二
vAC^BC,..CDLAB,二A3,平面SO,
ABVSC,同理:BC1SA,AC1SB,即正三棱錐的對棱互垂直,
本題圖如圖(3)-2,?/AM1MN.SB//MN,
AMA.SB,vACLSB.SB1平面S4C,
SBISA,SB工SC,-:SBISA,BC1SA,
SA,平面SBC,SALSC,
故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直。
(4)在四面體S-ABC中,SAL平面ABC,N84C=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球
的表面積為(D)Albr及7萬C.W乃D.—7T
33
(5)如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是
(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何
體外接球的體積為
解析:(4)在AABC中,BC2=AC2+AB2-2ABBCCOS120U=7.
BC_77_2V7
BC=EAABC的外接球直徑為2r
sinABACV3V3
2
箸2+4號S當(dāng),選D
(5)三條側(cè)棱兩兩生直,設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c(a,b,c&R+),則
ab-\2
<bc=8?abc-24>a-3)b-4<c=2,(27?):=a2+b2+c2=29>S-4^/?2—29TT)
ac-6
類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個平面)
1.題設(shè):如圖5,平面ABC
圖5
解題步驟:
第一步:將A43c畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個端點,作小圓的直
徑A。,連接PZ),則必過球心。;
第二步:q為A4BC的外心,所以。。,平面ABC,算出小圓。的半
徑=「(三角形的外接圓直徑算法:利用正弦定理,得
—==—^=2r),Oq」PA;
sinAsinBsinC2
第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①RR。=+(2月202H=+0r門:
②R?=r2+OO,2oR=M+OO:
2.題設(shè):如圖6,7,8,P的射影是AABC的外心o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等o
三棱錐P—ABC的底面AA8C在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐的頂點
第一步:確定球心。的位置,取AA3C的外心。廠則P,。,。三點共線;
第二步:先算出小圓Q的半徑AQ=「,再算出棱錐的高2。=力(也是圓錐的高);
第三步:勾股定理:Q42=0^2+0,02=>??2=(/z-/?)2+r2,解出R
方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓。
例2一個幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()C
16%
A.3〃B.2〃C.---D.以上都不對
3
解:選C,(V3-/?)2+l=/?2,3-2V3/?+/?2+l=l?2,4-2回=0,
R=《.S=4成216
一71
3
類型三、切瓜模型(兩個平面互相垂直)
1.題設(shè):如圖9-1,平面PAC_L平面A8C,且ABLBC(即AC為小圓的直徑)
第一步:易知球心。必是APAC的外心,即APAC的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑4c=2「;
第二步:在APAC中,可根據(jù)正弦定理一生=—2_=上-=2R,求出R
sinAsinBsinC
2.如圖9-2,平面尸AC,平面ABC,且(即AC為小圓的直徑)
222
OC=OtC+OtOoR2=r2+002oAC=2』R2-OQ2
3.如圖9-3,平面尸AC,平面ABC,且A3,5c(即AC為小圓的直徑),且P的射影是AA8C的外
心o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等o三棱P-ABC的底面A4BC在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐
的頂點
解題步驟:
第一步:確定球心。的位置,取AABC的外心。廠則P,。,Q三點共線;
第二步:先算出小圓01的半徑4Q=r,再算出棱錐的高P01="(也是圓錐的高);
第三步:勾股定理:OA2=0^2+0,02=>R2^(h-R)2+r2,解出H
4.如圖9-3,平面PAC_L平面ABC,且AB_L5C(即AC為小圓的直徑),且PALAC,則
利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①(2R)2=PA2+(2r)2。2/?="投片+(2?2;
②R2=y+00:OR=dr2+OO;
例3(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為1,底面邊長為2百,則該球的表面積為
(2)正四棱錐S-ABC。的底面邊長和各側(cè)棱長都為近,各頂點都在同一個球面上,則此球的體積為—
解:(1)由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4成2=49萬,
47r
(2)方法一:找球心的位置,易知廠=1,h=l,h=r,故球心在正方形的中心ABC。處,R=l,V=—
3
方法二:大圓是軸截面所的外接圓,即大圓是ASAC的外接圓,此處特殊,R/ASAC的斜邊是球半徑,2R=2,
4萬
R=l,V=——
3
(3)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的求面上,AABC是邊長為1的正三角形,SC為球。的直徑,
且SC=2,則此棱錐的體積為()A
V2
A.V■~T
解:電.亞=也
333436
任意三角形)
第一步:確定球心。的位置,。|是AA3C的外心,則平面ABC;
第二步:算出小圓。?的半徑A。=r,00=344(A4=//也是圓柱的高);
第三步:勾股定理:QI?=4勾2+002=:2=(g)2+產(chǎn)=R=J-+(g)2,解出R
例4(1)一個正六棱柱的底面上正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,
9
且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個球的體積為
8
解:設(shè)正六邊形邊長為。,正六棱柱的高為/?,底面外接圓的關(guān)徑為「,則。=,,
2
擊石U(6/1\23Acz3V3.9fT2/V32/1\21
底血枳為S—6(—)----,Vg—Sh------h--,h—\3,R—(---)+(一)—1,
4288822
47r
R=l,球的體積為V
3
(2)直三棱柱ABC—A4G的各頂點都在同一球面上,若A6=AC=A4,=2,NB4C=120°,則此球
的表面積等于。
解:BC=2y/3,2r=-2岳“=4,r=2,R=45,S=20萬
sin1200
(3)已知AEAB所在的平面與矩形ABC。所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60°,則
多面體E-ABC。的外接球的表面積為。
E
解析:折疊型,法一:"AB的外接圓半徑為八=石,00,=1,
_______C/lQO1Q
R=J1+3=2;法二:0,M=,r,=0,D=■——,R2=—I---=4,R=2,S=16%
222244
類型五、折疊模型
題設(shè):兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊(如圖11)
圖11
第一步:先畫出如圖所示的圖形,將ABCD畫在小圓上,找出ABCD和的外心M和”2;
第二步:過和"2分別作平面BCD和平面43。的垂線,兩垂線的交點即為球心。,連接OE,OC;
第三步:解△。七”1,算出所|,在火必。。〃]中,勾股定理:OH;+CH;=0C?
例5三棱錐P-4BC中,平面P4C_L平面ABC,△PAC和△ABC均為邊長為2的正三角形,則三棱錐
P-ABC外接球的半徑為.
2421
解析:病=百’百02H
4=22=百’
2八rj22145J15
RD=0、H+r,——I——一,R=-----
3333
1H
法二:0#=73°'=iAH^l,
心從心心+^爐+西號,R=半
類型六、對棱相等模型(補形為長方體)
題設(shè):三棱錐(即四面體)中,已知三組對棱分別相等,求外接球半徑(A3=CD,AD=BC,AC=BD)
第一步:畫出一個長方體,標(biāo)出三組互為異面直線的對棱;
第二步:設(shè)出長方體的長寬高分別為。,"c,AD=BC=x,AB=CD^y,AC=BD=z,列方程組,
a-+b2=x2
22
=y2n(2R)2=a2+b2+C2='+)+Z
c+〃“=z
圖12
補充:VA-BCD=abc-工abc義4='abc
63
第三步:根據(jù)墻角模型,2R7a2S+c2x-+y-+z-
例如,正四面體的外接球半徑可用此法。
例6(1)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上,若過該球球心的一個截面如圖,則圖中三角
形(正四面體的截面)的面積是.
(2)一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上,則該正
三棱錐的體積是()
解:(1)截面為APCO-面積是收;
⑴題解答圖
(2)高〃=R=1,底面外接圓的半徑為R=l,直徑為2R=2,
設(shè)底面邊長為。,則2/?=—^=2,"5s3淮
sin6044
1/0
:燧他的體,收為1/=—5/?二衛(wèi)二
34
(3)在三棱錐A—BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐A—BCD外接球的表面
積為。一K
2
解析:如圖12,設(shè)補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a,仇c,則"+"2=9,
22222
/+02=4,c+a=16:.2(/+〃+。2)=9+4+16=29,2(a+&+c)=9+4+16=29,
,,,,29,2929
a"+b~+c2=—,4R-=—,S=—n
222
(4)如圖所示三棱錐A-38,其中AB=CO=5,AC=5O=6,AO=BC=7,則該三棱錐外接球的表
面積為.
解析:同上,設(shè)補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a,b,c,
2(。2+〃+。2)=25+36+49=110,a2+b2+c2=55,4々=55,5=55%
【55乃;對稱幾何體;放到長方體中】
(5)正四面體的各條棱長都為正,則該正面體外接球的體積為
解析:這是特殊情況,但也是對棱相等的模式,放入長方體中,2R=6,
436g
R一冗------------7C,
咚"382
類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型
題設(shè):ZAPB=ZACB=9Q°,求三棱錐P—ABC外接球半徑(分析:取公共的斜邊的中點0,連接
OP,OC,則。4=0B=0C=0P=gAB,.?.。為三棱錐P-A3C外接球球心,然后在0CP中求出半
徑),當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān),只要不是平角球半徑都為定值。
例7(1)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角3-AC-。,則
四面體ABC。的外接球的體積為()
125125125125
A.7tB.7tC.71D.71
12963
解:(1)2R=AC=5,/?=-,V=3成3=3乃?/,選C
23386
類型八、錐體的內(nèi)切球問題
1.題設(shè):如圖14,三棱錐P-A3C上正三棱錐,求其外接球的半徑。
圖14
第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,E”分別是兩個三角形的外心;
第二步:求DH=1BD,PO^PH-r,PD是側(cè)面A4BP的高;
3
°FPC)
第三步:由APOE相似于APOH,建立等式:—,解出r
DHPD
2.題設(shè):如圖15,四棱錐尸-ABC上正四棱錐,求其外接球的半徑
圖15
第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,P,O,H三點共線;
第二步:求/H=PO^PH-r,Pf是側(cè)面APCD的高;
2
第三步:由APOG相似于改尸",建立等式:—,解出
HFPF
3.題設(shè):三棱錐P-A8C是任意三棱錐,求其的內(nèi)切球半徑
方法:等體積法,即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步:先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;
第二步:設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式:VP_ABC=VO_ABC+VO_PAB++VO_PBC
^P-ABC=§^MBC.'+§SpAB,廠+§PAC.'+§SPBC,「=§BMBC+^APAB+PAC+^APBc),r
3Vp-ABC
第三步:解出,=
^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC
類型一在三角形中
1.設(shè)AABC的內(nèi)角為A,B,C,ADJ_3c于。.若AABC外接圓半徑等于AO,則sinB+sinC的最小
值是
A.0B.2C.y/3D.1
【答案】A
A£)R1
【解析】在RtAACD中,由sinC=——,設(shè)圓的半徑為R,則AO=R,sinC=---------=-——,
b2RsinB2sinB
由sinB+sinC=sinB+—!—..2.、口=&,當(dāng)且僅當(dāng)241?3=1,即sinB=Y^時,取等號,故選:A.
2sinBV22
2.在ZXABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2石,且
/c________3
2asinCcos5=osinA—人sinB+J/?sinC,點。滿足函+礪+優(yōu)=0,cosZCAO=-,則
28
△ABC的面積為()
A.半B.375C.572D.V55
【答案】D
J5
【解析】由2。sinCeosB=asinA-Osin8+——OsinC,
2
可得2acx土上土=°2一/+@從,鄴c=J.又c=2布,所以b=4.
2ac22
因為西+礪+元=0,所以點。為△ABC的重心,
所以通+/=3而,所以通=3而一部,
兩邊平方得廊『=9]而『一6|叫|狗cosNCA。+|/F
3
因為cosNC4O=2所以再『=9|而『-6|AO||ACx-+AC\2,
8
于是9|布「一9畫卜4=0,所以畫卜1,
△AOC的面積為;x[而岡羽xsinNC4O=gx3x4x
因為ZVIBC的面積是△AOC面積的3倍.故ZVIBC的面積為病.
3.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是“,b,c,且d+/—cZMacosB+^cosAbHc,
若AABC的外接圓半徑為2叵,則AABC的周長的取值范圍為()
3
A.(2,4]B.(4,6]C.(4,6)D.(2,6]
【答案】B
【解析】
因為(/+尸一<?)?(acosB+Z?cosA)=abc,所以2abeosCsinAcosB+sinBeosA^=absinC,
2cosc?sin(A+8)=si/C,2cosc=1,C=^,c=2x~~~xs^n
2122aa+
因U七c?=cr+b-labcosC=a+b-ab=^a+b^-3ab>(<a+b^-?>>S—^~=^^
("+')'2?,。+人44,因為“+人>。=2,所以。+8+。€(4,6],選B.
4—
類型二在平面向量中
1.在ZVLBC中,他=3,AC=5,點N滿足麗=2配,點。為AABC的外心,則麗.亞的值為()
1759
A.17B.10C.—D.—
26
【答案】D
【解析】取AB的中點E,連接0E,
A
C
因為。為A4BC的外心,0EJ.A8,.?.布?赤=0,?麗=2祝,.?.BM=§近,
________2____7____1__2__
:.AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,
3333
.?.衣.麗=6而+前)麗=:|砌2=:,
______1_____.25
同理可得4O,AC=—|AC『二一,
22
―.—.(1—.2—一?1---.2—?—?1922559
AN-AO=\-AB+-AC?A0=-AO+—AC-AO=—x'+—x三=二故選:D.
U3J3332326
2.已知點G是AABC內(nèi)一點,滿足GZ+G豆+6心=6,若NBAC=。,AB?AC=1-則所(的最小值是
()
y/3
、?RD.^2C.DU."
3---------------2----------------3----------------2
【答案】A
【解析】因為GX+而+GC=。,所以G是AABC重:心,因此A5=AB+AC
從而碼舉那=1VAB2+AC2+2AB?—>1J口口+
坤ABT拉髭
R吟,選A.(當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|時取等號)
3.已知AABC的邊AB,AC的長分別為20,18,N84C=120。,則AABC的角平分線AO的長為()
A常9018090
B.—C.---D.一V3
191919
【答案】C
【解析】
如圖,因為A。是AABC的角平分線,
BDAB2010寸,、,亦f罰不
所以---=----=—=—,所以A,D=AB+BD—A.BH---BC
DCAC18919
=AB+—(AC-AB\=-AB+-AC,^AD=-AB+-AC.
19v)19191919
2
兩邊平方得而2=-L81X202+100X182+2X10X9X18X20X180
19
所以AO=|而卜產(chǎn),故選C.
4.如圖,圓。是邊長為2月的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓,其與邊相切于點。,點〃為圓上任意一點,
麗=》麗+),而(x,yeR),則2x+y的最大值為()
A
A.V2B.y/3c.2D.2^2
【答案】C
【解析】以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓:
根據(jù)三角形面積公式得到工x鼠長xr=S=工xA3xACxsin60°,
22
可得到內(nèi)切圓的半徑為1;
可得到點的坐標(biāo)為:3bG,0),C(G,0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sine)
的=(cos6+G,l+sine),麗=(33),而=(G,0)
故得到BM=(cos0+V3,l+sin8)=(gx+Gy,3x)
故得到cos0=>/3x+V3y-百,sin。=3x—1
1+sin。
x=---------
3.cos0sin。42./八、4,八
9X—廠+—+—=—sin(e+°)+—<2.
cos。sin。23333
一
故最大值為:2.故答案為C.
5.已知R/AABC,AB=3,BC=4,CA=5,P為△ABC外接圓上的一動點,且而=》而+,
則x+y的最大值是()
545
A.-B.-C叵D.-
43'~6~3
【答案】B
【解析】以AC的中點為原點,以AC為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則AABC外接圓的方程為爐+/=(1)2,設(shè)尸的坐標(biāo)為(geosegsin9
4I?39
過點、B作BD垂直工軸,VsinA=—,AB=3BD—ABsinA——,AD—AB-cosA=—x3=—,
OD^AO-AD^-????珂c加
2I/,
,45=AC=(5,0),=|—cos^+—sin^
(222
9129412
-cos6>+-,-sin^|=x+y(5,0)=—x+5y,—x
222J
5八525.八
??一COS夕H----x+5y,-sin^=—x,Ay=-cos^--sin^+-,x=—sing,
22525-28224
1215/134
x+y=—cos6+—sing+—=—sin(6+e)+—,其中sin/=一,cos9=—
232625
當(dāng)sin(e+0)=l時,x+y有最大值,最大值為之+,=&,
623
故選:B.
類型三在解析幾何中的應(yīng)用
1.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離
是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.己知AABC的頂點A(4,0),B(0,2),
且AC=3C,則AA6C的歐拉線方程為()
A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0C,x-2y-3=0D.2x-y-3=0
【答案】D
【解析】因為AC=3C,可得:A43C的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上
4(4,0),3(0,2),則A,8的中點為(2,1)
2-01
-5'所以A3的垂直平分線的方程為:y-l=2(x-2),即y=2x-3.故選:D
2.已知雙曲線3?-4=l(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A,B,P為雙曲線左支上一點,AABP為等腰
ab'
三角形且其外接圓的半徑為右4,則該雙曲線的離心率為()
A后RV15rV15nV15
5432
【答案】C
【解析】由題意知等腰AWP中,|AB|=|AH=2a,設(shè)NA3P=NAPB=8,則/片AP=2。,其中。必
為銳角????△ABP外接圓的半徑為6a,???2行。=當(dāng),.,.sin6?=且,cos^=—.
sin655
..V5275_4Me,2也、2.3
,,sin2。=2x—x-----——,cos2。=2x(------)—1=—?
55555
設(shè)點P的坐標(biāo)為O,y),5JiJx=-(a+|AP|cos26)==|AP|sin20=^f
故點p的坐標(biāo)為(一四,包).由點p在雙曲線上得(3)2(y)21整理得與=2,
55—^3--------73—=1a23
22
已知橢圓二+與=
3.1(a>h>0)的左、右焦點分別為6,F(xiàn)2,點尸為橢圓上不同于左、右頂點的任意
a2b2
一點,/為bPF[F]的內(nèi)心,且S&[pF\=4sAy尸百—SRPF?,若橢圓的離心率為e,則4=()
12個
A.-B.-C.cD.2。
ee
【答案】A
【解析】設(shè)記內(nèi)切圓的半徑為r則554=]?|尸用,5根%=;廣|產(chǎn)用,5加的=;八|耳目?
I1I
SS
vhiPF,~AIPF2>:.-r-\PFl\=-r-\FlF2\--r-\PF2\
整理得/耳閭=|尸耳|+|尸閭二?尸為橢圓上的點,.?.42=勿,解得力=上故選:A
22
4.已知點尸為雙曲線鼻-斗=13>0,6>0)右支上一點,點Q,尸2分別為雙曲線的左右焦點,點/是△PFIF2
的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心),若恒有SIPF-SIPF>—SIFF成立,則雙曲線的離心率取值范圍是()
A.(1,6)B.(1,272)
C.(1,2721D.(1,V21
【答案】A
【解析】設(shè)△*記的內(nèi)切圓的半徑為「,則“"G=;|PQr,S△帙=g|P段忻用
因為SA呻—SA帙之力5所以附日尸瑪/寧山周,
由雙曲線的定義可知歸周一歸周=2a,比用=2c,
所以受c,即又由e=£>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是(1,J5],故選D.
2aa
r2丫2
5.雙曲線二―二>=13>0
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