2023年中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題特訓(xùn)《二次函數(shù)的應(yīng)用》原卷

二次函數(shù)的應(yīng)用

二疆代候建

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題

意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量X的取值要使實(shí)際問題

有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量X的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)

幾何中的最值的討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題

中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決

一些測量問題或其他問題.

匡）今妻導(dǎo)航

題型一利潤問題.......................................................................3

題型二幾何問題......................................................................10

題型三構(gòu)造函數(shù)解決實(shí)際問題.........................................................16

Ja今褻債依

題型一利潤問題

肥對魚種珠

I.某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價.若每件商品售為x元，則可賣

出(350-lOx)件商品，那么商品所賺錢y元與售價x元的函數(shù)關(guān)系為()

A.y=-10x2-560x+7350B.y=-10x2+560x+7350

C.y=-10x2+350xD.y=-10x2+350x-7350

2.某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是25元時，每天的銷售

量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

(1)寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若商場要每天獲得銷售利潤2000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？

(3)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

3.某運(yùn)動器材批發(fā)市場銷售一種籃球，每個籃球進(jìn)價為50元，規(guī)定每個籃球的售價不低于進(jìn)價.經(jīng)市場調(diào)

查，每月的銷售量y(個)與每個籃球的售價元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

售價X606264

銷售量y500480460

(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；(不需求自變量X的取值范圍)

(2)該批發(fā)市場每月想從這種籃球銷售中獲利8000元，又想盡量多給客戶實(shí)惠，應(yīng)如何給這種籃球定價？

(3)物價部門規(guī)定，該籃球的每個利潤不允許高于進(jìn)貨價的50%,設(shè)銷售這種籃球每月的總利潤為以元)，那

么銷售單價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

4.新華書店銷售一個系列的兒童書刊，每套進(jìn)價100元，銷售定價為140元，一天可以銷售20套.為了

擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫存，書店決定采取降價措施.若一套書每降價1元，平均每天可多售出2套.設(shè)

每套書降價x元時，書店一天可獲利潤y元.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價應(yīng)為多少元？

(3)當(dāng)每套書銷售定價為多少元時，書店一天可獲得最大利潤？這個最大利潤為多少元？

5.某商場以每件20元的價格購進(jìn)一種商品，規(guī)定這種商品每件售價不高于35元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商

品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

八W件

70

50——

II

I，I?

II

2時5x浣

（1）求〉與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)商場銷售這種商品每天獲利卬（元），當(dāng)每件商品的售價定為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利

潤是多少？

6.某商城在“雙11”期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進(jìn)貨價為每個12元，標(biāo)價為每個20元.

（1）商城舉行了“感恩老用戶”活動，對于老客戶，商城對甲商品連續(xù)進(jìn)行兩次降價，每次降價的百分率相同，

最后以每個14.45元售出，求每次降價的百分率；

（2）市場調(diào)研表明：當(dāng)甲商品每個標(biāo)價20元時，平均每天能售出40個，當(dāng)每個售價每降1元時，平均每天

就能多售出10個.

①在保證甲每個商品的售價不低于進(jìn)價的前提下，若商城要想銷售甲商品每天的銷售額為1190元，則每個

應(yīng)降價多少元？

②若要使用甲商品每天的銷售利潤最大，每個應(yīng)該降價多少元？此時最大利潤為多少元？

7.某公司去年推出一種節(jié)能產(chǎn)品，售價y（元/個）與月銷量x（個）的函數(shù)關(guān)系如下表，成本為20（元/個），

同時每月還需支出固定廣告費(fèi)47500元-

售價y（元/個）119118117116115

月銷量X（個）100200300400500

（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)或反比例函數(shù)的有關(guān)知識，寫出》與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若出售這種節(jié)能產(chǎn)品的月利潤為H元），請用含x的代數(shù)式表示月利潤卬，并求出當(dāng)月銷售量為5000個

時的月利潤；

（3）該公司去年每個月都銷售了5000個這種節(jié)能產(chǎn)品.從今年一月份開始，因物價上漲，廣告費(fèi)每月上漲了

2500元，產(chǎn)品成本增加了加％,因此售價上調(diào)06w%元，由此月銷量減少04〃%.結(jié)果今年一月份的月利

潤比去年每個月的月利潤減少了3500元.求機(jī)的整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)：病x8.3,V76-8.7,師=16.6）

8.某公司購進(jìn)一批受環(huán)境影響較大的商品，該商品需要在特定的環(huán)境中才能保存.已知該商品成本y（元/

件）與保存的時間第x（天）之間的關(guān)系滿足），=V+2x+17,該商品售價2（元/件）與保存時間第x（天）

之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.

X（天）12

P（元/件）97105

（1）求商品的售價p（元/件）與保存時間第x（天）之間的函數(shù)解析式；

（2）求保存第幾天時，該天此商品不賺也不虧；

（3）請你幫助該公司確定在哪一天賣出時，該天每件商品能獲得最大利潤，并求此時每件商品的售價是多少？

9.云浮市各級公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶'’的規(guī)定，郁南縣某商場同時購進(jìn)

AB兩種類型的頭盔，已知購進(jìn)3個A類頭盔和4個8類頭盔共需288元；購進(jìn)6個A類頭盔和2個8類頭

盔共需306元.

（1）A,B兩類頭盔每個的進(jìn)價各是多少元？

（2）在銷售中，該商場發(fā)現(xiàn)A類頭盔每個售價50元時，每個月可售出100個；每個售價提高5元時，每個月

少售出10個.設(shè)A類頭盔每個x元（50MX4100）,V表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤（單位：元），

求）'關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

10.某商品的進(jìn)價為每件40元，當(dāng)售價為每件50元時，每個月可賣出210件，如果每件商品的售價每上

漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設(shè)每件商品的售價上漲x元，每個月的銷售量為

y件.

⑴則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：,自變量x的取值范圍是：；

（2）每件商品的售價定為多少元時（X為正整數(shù)），每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）若在銷售過程中每一件商品都有元的其它費(fèi)用，商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價每件不低于58元時，每月的銷

售利潤隨x的增大而減小，請直接寫出。的取值范圍：.

11.跳繩項(xiàng)目在中考體考中易得分，是大多數(shù)學(xué)生首選的項(xiàng)目，在中考體考來臨前，某文具店看準(zhǔn)商機(jī)購

進(jìn)甲、乙兩種跳繩.已知甲、乙兩種跳繩進(jìn)價單價之和為32元；甲種跳繩每根獲利4元，乙種跳繩每根獲

利5元；店主第一批購買甲種跳繩25根、乙種跳繩30根一共花費(fèi)885元.

（1）甲、乙兩種跳繩的單價分別是多少元？

（2）若該文具店預(yù)備第二批購進(jìn)甲、乙兩種跳繩共60根，在費(fèi)用不超過1000元的情況下，如何進(jìn)貨才能保

證利潤W最大？

（3）由于質(zhì)量上乘，前兩批跳繩很快售完，店主第三批購進(jìn)甲、乙兩種跳繩若干，當(dāng)甲、乙兩種跳繩保持原

有利潤時，甲、乙兩種跳繩每天分別可以賣出120根和105根，后來店主決定將甲、乙兩種跳繩的售價同

時提高相同的售價，已知甲、乙兩種跳繩每提高1元均少賣出5根，為了每天獲取更多利潤，請問店主將

兩種跳繩同時提高多少元時，才能使日銷售利潤達(dá)到最大？

12.我市某苗木種植基地嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用30天時間銷售一種成本

為10元/株的果苗，售后經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到此果苗，單日銷售”（株）與第x天（x為整數(shù)）滿足關(guān)系式：”=r+50,

-x+20（l<x<20）

銷售單價（元/株）與x之間的函數(shù)關(guān)系為，；

—+10（21<x<30）

X

（1）計(jì)算第10天該果苗單價為多少元/株？

（2）求該基地銷售這種果苗20天里單日所獲利潤y（元）關(guān)于第x（天）的函數(shù)關(guān)系式.

（3）“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負(fù)責(zé)人決定將區(qū)30天中，其中獲利最多的那天的利潤全部捐

出，進(jìn)行“精準(zhǔn)扶貧”，試問：基地負(fù)員人這次為“精準(zhǔn)扶貧”捐贈多少錢？

13.某電子公司，生產(chǎn)并銷售一種新型電子產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月生產(chǎn)x臺電子產(chǎn)品的成本y（元）

由三部分組成，分別是生產(chǎn)線投入、材料成本、人工成本，其中生產(chǎn)線投入固定不變?yōu)?000元，材料成本

（單位：元）與x成正比例，人工成本（單位：元）與x的平方成正比例，在生產(chǎn)過程中得到數(shù)下數(shù)據(jù)：

X（單位：臺）2040

y（單位：元）21042216

（1）求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某月平均每臺電子產(chǎn)品的成本26元，求這個月共生產(chǎn)電子產(chǎn)品多少臺？

（3）若每月生產(chǎn)的電子產(chǎn)品均能售出，電子產(chǎn)品的售價也隨著x的增大而適當(dāng)增大，設(shè)每臺電子產(chǎn)品的售價

為。（單位：元），且有。=〃四+〃（陽、”均為常數(shù)）,已知當(dāng)x=2000臺時，。為35元，且此時銷售利

潤W（單位：元）有最大值，求"?、”的值（提示：銷售利潤=銷售收入一成本費(fèi)用）

14.某文具店某種型號的計(jì)算器每個進(jìn)價14元，售價22元，多買優(yōu)惠，優(yōu)惠方法是：凡是一次買10個以

上的，每多買一個，所買的全部計(jì)算器每個就降價0.1元，例如：某人買18個計(jì)算器，于是每個降價

0.1x（l8-10）=0.8（元），因此所買的18個計(jì)算器都按每個21.2元的價格購買，但是每個計(jì)算器的最低售

價為18元.

（1）一次至少購買個計(jì)算器，才能以最低售價購買

（2）寫出該文具店一次銷售x（x>10）個時，所獲利潤y（元）與x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x

的取值范圍；

（3）一天，甲顧客購買了46只，乙顧客購買了50只，店主發(fā)現(xiàn)賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，請

你說明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因；當(dāng)10<x450時，為了獲得最大利潤，店家一次應(yīng)賣多少只？這時的售價是多

少？

15.隨著我國經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來越高，過去的包產(chǎn)到戶就不太

適合機(jī)械化的種植.現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)租給種糧大戶

或者新型的農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植.河

南某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)小麥360畝，平均每畝收益440元.他計(jì)劃令年多承租一些土地，預(yù)計(jì)

原來種植的360畝小麥，每畝收益不變.新承租的土地，每增加一畝，其每畝平均收益比去年每畝平均收

益減少2元.

⑴該大戶今年新承租多少畝土地，才能使總收益為182400元？

⑵該大戶今年應(yīng)新承租多少畝土地，可以使總收益最大，最大收益是多少？

16.紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件.一個月可售出5萬件；月銷

售單價每漲價1元，月銷售量就減少01萬件.其中月銷售單價不低于成本.設(shè)月銷售單價為x（單位：元/

件），月銷售量為y（單位：萬件）.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

（3）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款“元.已知該公司

捐款當(dāng)月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求〃的值.

17.在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以A,5兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價是5

原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料

2kg和5原料4kg,每盒還需其他成本9元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是60元時，每天可以銷售

500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費(fèi)+其他成本）；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是x元（x是整數(shù)），每天的利潤是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫出自

變量的取值范圍）；

（3）若每盒產(chǎn)品的售價不超過。元（。是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫出每天的最大利潤.

18.甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費(fèi)

每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850

元.

說明：①汽車數(shù)量為擎數(shù)；

②月利潤=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）當(dāng)每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是元；當(dāng)每個公司租出的汽車為

輛時，兩公司的月利潤相等；

（2）求兩公司月利潤差的最大值；

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（〃>（））給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤

仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大,

求a的取值范圍.

19.隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了10000kg小龍蝦，計(jì)劃養(yǎng)

殖一段時間后再出售.已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)10天的總成本為166000,放養(yǎng)30天的總成本

為178000元.設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為akg,銷售單價為y元/kg,根據(jù)往年的行情預(yù)測，a與t

[10000（0<r<20）

的函數(shù)關(guān)系為2=[]。0,+；（）00（2。<15。）7與1的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為m元，收購成本為n元，求m與n的值；

（2）求y與I的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元.問該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少

天后一次性出售所得利潤最大？最大利潤是多少？

（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購成本；利潤=銷售總額-總成本）

20.2020年新冠肺炎疫情期間，部分藥店趁機(jī)將口罩漲價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)某藥店某月（按30天計(jì)）前5天的

某型號口罩銷售價格。（元/只）和銷量q（只）與第x天的關(guān)系如下表：

第X天12345

銷售價格P（元/只）23456

銷量g（只）7075808590

物價部門發(fā)現(xiàn)這種亂象后，統(tǒng)一規(guī)定各藥店該型號口罩的銷售價格不得高于1元/只，該藥店從第6天起將

該型號口罩的價格調(diào)整為1元/只.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該藥店從第6天起銷量。（只）與第x天的關(guān)系為

^=-2X2+80X-200（6<X<30,且x為整數(shù)）,已知該型號口罩的進(jìn)貨價格為0.5元/只.

（1）京撰寫省該藥店該月前5天的銷售價格2與x和銷量夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該藥店該月銷售該型號口罩獲得的利潤W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷第幾天的利潤最大；

（3）物價部門為了進(jìn)一步加強(qiáng)市場整頓，對此藥店在這個月銷售該型號口罩的過程中獲得的正常利潤之外

的非法所得部分處以用倍的罰款，若罰款金額不低于2000元，則，”的取值范圍為.

題型二幾何問題

,月支出珠

1.如圖，四邊形A8CD是邊長為2cm的正方形，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AO,8中點(diǎn)，點(diǎn)0為正方形的中

心，連接。瓦。尸，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿E-O-尸運(yùn)動，同時點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿BC運(yùn)動，兩點(diǎn)運(yùn)動速度均

為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)F時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為fs,連接8P,PQ,V8PQ的面積為Sen?,

下列圖像能正確反映出S與，的函數(shù)關(guān)系的是（）

AED

S

2.如圖，一ABC是等邊三角形，AB=6cm,點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以lcm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B,

同時點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿射線C4方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動時，點(diǎn)N也隨之停止.過

點(diǎn)M作MP〃C4交AB于點(diǎn)尸，連接MMNP,作關(guān)于直線MP對稱的JWVP,設(shè)運(yùn)動時間為6,

仞7'尸與_椒0重疊部分的面積為Scm?,則能表示S與f之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=45°,ZC=90°,AD=4cm,CD=3cm.動點(diǎn)M,N同時

從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M以伍m/s的速度沿A8向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)N以2cm/s的速度沿折線4）-￡>C向終點(diǎn)C

運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動時間為生，AMV的面積為Sen?,則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）

4.如圖1,在四邊形ABC。中，fiC//AD,ZD=90°,ZA=45°,動點(diǎn)P,。同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以億m/s

的速度沿AB向點(diǎn)8運(yùn)動（運(yùn)動到8點(diǎn)即停止），點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為Ms）,/\APQ的面積為"cn?），若丫與》之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，當(dāng)x=g（s）

時，貝!1'=cm2.

5.【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m,寬相=1m的長方形水池ABC。進(jìn)

行加長改造(如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1),同時，再建造一個周長為12m

的矩形水池EFG”(如圖②，以下簡稱水池2).

EEi-------------------------------------

A.----------------------------?---------聲水池2

水池；1

--------------------------------------------------------N尸?1G

圖①-------------------圖②圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池ABC。的邊AO加長長度O0為x(m)(x>0),加長后水池1的總面積為凹(0?),則以關(guān)于x的

函數(shù)解析式為：x=x+4(x>0)；設(shè)水池2的邊防的長為x(m)(O<x<6),面積為內(nèi)仙?)，則y?關(guān)于x的

函數(shù)解析式為：%=-/+64(0<*<6),上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③.

(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則及'長度的取值范圍是(可省略單位)，水池2

面積的最大值是m2;

(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個水池面積相等的點(diǎn)是，此時的x(m)值是；

⑶當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，x(m)的取值范圍是；

(4)在l<x<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值：

(5)假設(shè)水池A8C。的邊AO的長度為/m),其他條件不變(這個加長改造后的新水池簡稱水池3),則水

池3的總面積為仙)關(guān)于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：%=犬+匕(工>。).若水池3與水池2的面積相等時,

x(m)有唯一值，求心的值.

6.某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長25m,木柵欄長47m,

在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口(另選材料建出入門).求雞場面積的最大值.

出入口

7.某農(nóng)場計(jì)劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻(墻的長度為10m),

另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m,設(shè)較小矩

形的寬為xm(如圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；

(2)當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

8.為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長12m)

和21m長的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動實(shí)踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案(除圍墻外，實(shí)

線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻)，請根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：

4RHB

H

F1IX口區(qū)

I區(qū)Il區(qū)

DGCDGC

圖①圖②

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在I區(qū)中留一個寬度AE=lm的水池且需保證總種植面積

為32m工試分別確定CG、OG的長；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時最大面積為多少？

9.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分4E。和矩形ABC。構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊A8為2

米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個單位長

度代表1米.E（0,8）是拋物線的頂點(diǎn).

1，VVV

圖1圖2圖3（方案一）圖3（方案二）

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)A，鳥在X軸

上，MN與矩形的一邊平行且相等.柵欄總長/為圖中粗線段6鳥，鳥6，PR,MN長度之和.請解

決以下問題：

（i）修建一個“E”型柵欄，如圖2,點(diǎn)八，鳥在拋物線AEZ）上.設(shè)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為機(jī)（0〈〃區(qū)6）,求

柵欄總長/與m之間的函數(shù)表達(dá)式和/的最大值；

（ii）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“R”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請你

從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點(diǎn)R的橫坐標(biāo)的取值范圍（1在巴右

側(cè)）.

10.如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟.小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫

截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體8處,

現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水

圖2

(1)直接寫出b,c的值；

(2)求大棚的最高處到地面的距離；

(3)小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為3一7米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土

24

地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？

題型三構(gòu)造函數(shù)解決實(shí)際問題

￡.機(jī)珠

i.三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面

寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若

大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）

A.4白米B.5&米C.29米D.7米

2.北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1）,它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊

橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象-拋物線）在同一豎直平面

內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點(diǎn)，拱高為78米（即最高點(diǎn)O到AB的距離為78米），跨徑為90

米（即AB=90米），以最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則此拋物線

3.豎直上拋物體離地面的高度〃（加）與運(yùn)動時間f（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5r+v（/+%表示，

其中％（，〃）是物體拋出時離地面的高度，％（，*/5）是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地面1.5〃?的高

處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5機(jī)D.20.5/n

4.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米.

5.如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2機(jī)時，水面寬度為4處那么當(dāng)水位下降加后，水面

的寬度為m.

6.如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線.按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行

17S

進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是〉=-*/+￥+：,則鉛球推出的水平距離

7.根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出，小球的

飛行高度做單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是〃=-5/+207,當(dāng)飛行時間t為s

時，小球達(dá)到最高點(diǎn).

8.如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線.若不考

慮空氣阻力，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時間，（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：〃=-5/+20r,

則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時，飛行時間t=s.

9.如圖，一位籃球運(yùn)動員投籃，球沿拋物線y=-0.2V+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的

中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離CW是m.

y

10.某學(xué)生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為3米，出手后鉛球在空中運(yùn)動的高度y（米）與

水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-《/+for+c,當(dāng)鉛球運(yùn)行至與出手高度相等時，與出手點(diǎn)水平

距離為8米，則該學(xué)生推鉛球的成績?yōu)槊?

11.如圖，水池中心點(diǎn)。處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水

柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)。在同一水平面.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，水柱落點(diǎn)距O

點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時，水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)3m.那么噴頭高m時，水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)4m.

12.崇左市政府大樓前廣場有一噴水池，水從地面噴出，噴出水的路徑是一條拋物線.如果以水平地面為x

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線產(chǎn)-/+4x（單位：米）的一部分.則

水噴出的最大高度是米.

,//米

?AX

?、

■O\飛米

13.某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x,則該

廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丫=.

14.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E

所在直線為x軸，以過點(diǎn)。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m,

該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m.

（1）求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)A、

B到OE的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

15.甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片.如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時

刻，橋拱內(nèi)的水面寬。4=8m,橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m.

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距。點(diǎn)0.4m時，橋下水位剛好在。4處.有

一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底

與水面齊平）；

（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線丫=辦2+法+。（“父0）,該拋物線在x軸下方部分與橋拱054在

平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象.將新函數(shù)圖象向右平移，〃（山＞0）個單位長度，平移后的函數(shù)圖象

在84x49時，的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求機(jī)的取值范圍.

16.小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m,水

柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋

物線的表達(dá)式為y=4(x-其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m,身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好

接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離.

17.某游樂場的圓形噴水池中心。有一雕塑從