2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)訓(xùn)練-二次函數(shù)與一元二次方程

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練--一二次函數(shù)與一元二次方程

一、綜合題

1.二次函數(shù)y=a/+bx+c(aH0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

(2)若方程a/+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；

(3)若拋物線與直線y=2x-2相交于4(1,0),B(2,2)兩點(diǎn)，寫出拋物線在直線下方時(shí)x

的取值范圍.

(1)方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為；

(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為；

(3)y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍為；

(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y=mx2+4x+].

y

-5-4-3-2-192345*

-1

(1)當(dāng)拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A(-5,6)時(shí):求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線y^-x+l與直線y=x+3關(guān)于拋物線C的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求m的值；

(3)若拋物線C：產(chǎn)7加+?+/(m>0)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-/和0之間(不包括-/和

0).結(jié)合函數(shù)的圖象，求機(jī)的取值范圍.

4.已知拋物線y=x2+bx-3與x軸交于A(-3,0),B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C。

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求aABC的面積。

5.已知：二次函數(shù)y=-x2+2x+m.

(1)如果二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求小的取值范圍；

(2)如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,求直線A3解析式.

6.為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系歹產(chǎn)三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加.

某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的

銷售量y(千克)與銷售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系：

y=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為卬元.

(1)該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

(2)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷

售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

7.設(shè)b為常數(shù)，已知二次函數(shù)、=一2%2一2匕%+墳+1.

(1)求證：無論b為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)若把二次函數(shù)的圖象沿y軸方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則使得該二次函數(shù)的圖象與%軸

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的值.

8.如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).

(1)觀察圖象，寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式；

(2)求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

(3)當(dāng)m取何值時(shí)，ax2+bx+c=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

9.如圖，將函數(shù)y=x2-2x(x>0)的圖象沿y軸翻折得到一個(gè)新的圖象，前后兩個(gè)圖象其實(shí)就是函

數(shù)y=x2-2岡的圖象.

(1)觀察思考

函數(shù)圖象與X軸有個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程x2-2|x|=0有個(gè)實(shí)數(shù)根；方程x2

-2|x|=2有個(gè)實(shí)數(shù)根；關(guān)于x的方程*2-2岡=2有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍

是：

(2)拓展探究

①如圖2,將直線y=x+l向下平移b個(gè)單位，與y=x2-2|x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求b的值；

②如圖3,將直線y=kx(k>0)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與y=x2-2|x|的圖象交于A、B兩點(diǎn)(A左B

右)，直線x=l上有一點(diǎn)P,在直線y=kx(k>0)旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，4PAB是一個(gè)

以AB為斜邊的等腰直角三角形(點(diǎn)P、A、B按順時(shí)針方向排列).若存在，請(qǐng)求出k值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo)；

(2)如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得△CDE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),F為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得AAFP為等腰直角三角

形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

11.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=a久2+"+。(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),且與x軸交于不

同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0).

(1)求c的值和a，b之間的關(guān)系式;

(2)求a的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=l交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)

角線相交于點(diǎn)P,記△PCD的面積為Si,4PAB的面積為S2,當(dāng)OVa<1時(shí)，求證：S1一S2為常

數(shù)，并求出該常數(shù).

12.我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個(gè)函數(shù)圖象上的“互反點(diǎn)”.例如在二

次函數(shù)y=x2的圖象上，存在一點(diǎn)P(-1,1),則點(diǎn)P為二次函數(shù)y=x2圖象上的“互反點(diǎn)”.

(1)求一次函數(shù)y=-2x-3的“互反點(diǎn)”.

(2)若二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a只有一個(gè)“互反點(diǎn)”，且與y軸交于正半軸，求當(dāng)lgxW3

時(shí)，y的取值范圍.

(3)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)n,在二次函數(shù)y=(m+1)x2+nx+n-1的圖象上，恒有兩個(gè)相異的“互反

點(diǎn)”，求m的取值范圍.

13.如圖1,已知拋物線L,y=ax2+bx-1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,O)和點(diǎn)B,頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸為

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解.

(2)求拋物線L的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將拋物線L平移.使它的項(xiàng)點(diǎn)移至點(diǎn)P,得到新

拋物線LTU與直線1相交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

①當(dāng)m=5時(shí)，PM與PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

②當(dāng)m為大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí)，①中的關(guān)系式還成立嗎？為什么？

③是否存在這樣的點(diǎn)P,使APMN為等邊三角形？若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

14.平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C“yi=x2-2mx+2m2-I,拋物線C2：y2=x2-2nx+2n2-l,

(1)若m=2,過點(diǎn)A(0,7)作直線1垂直于y軸交拋物線Ci于點(diǎn)B、C兩點(diǎn).

①求BC的長(zhǎng)；

②若拋物線C2與直線1交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，若EF長(zhǎng)大于BC的長(zhǎng)。求出n的范圍；

(2)若m+n=k(k是常數(shù)),

①若加力幾，試說明拋物線Ci與拋物線C2的交點(diǎn)始終在定直線上；

②求yi+y2的最小值(用含k的代數(shù)式表示).

15.綜合與研究

如圖，拋物線產(chǎn)-/-2尤+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D(m,

0)為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,O不重合)，過點(diǎn)D作x軸的垂線與線段AC交于點(diǎn)P,與拋物

線交于點(diǎn)Q，連接BP,與y軸交于點(diǎn)E.

(2)當(dāng)點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，探究下列問題：

①是否存在一點(diǎn)D,使得PQ+宇PC取得最大值？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由；

②連接CQ,當(dāng)線段PE=CQ時(shí);直接寫出m的值.

16.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為A.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA、OP.

①當(dāng)OA_LOP時(shí)，求OP的長(zhǎng)；

②過點(diǎn)P作OP的垂線交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B,聯(lián)結(jié)OB,當(dāng)/OAP=NOBP時(shí)，求點(diǎn)B

的坐標(biāo).

答案解析部分

L【答案】(1)解：?.?函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0),

?,?方程的兩個(gè)根為%1=1,X2=3

(2)解：?.?二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),

若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為k<2

(3)解：?.?拋物線與直線y=2%-2相交于4(1,0),8(2,2)兩點(diǎn)，

由圖象可知，拋物線在直線下方時(shí)x的取值范圍為：x<1或久〉2.

2.【答案】(1)Xi=1,X2=3

(2)l<x<3

(3)x>2

(4)k<2

3.【答案】(1)解：?.?拋物線C：y=mx2+4x+l經(jīng)過點(diǎn)A(-5,6),

/.6=25m-20+1,解得m=l,

二拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x+l=(x+2)2—3,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3)；

(2)解：,?直線y=-x+l與直線y=x+3的交點(diǎn)為(-1,2),

...兩直線的對(duì)稱軸為直線x=-l.

?.?直線y=-x+l與直線y=x+3關(guān)于拋物線C的對(duì)稱軸對(duì)稱，

占=-1,解得m=2；

(3)解：拋物線C：y=mx2+4x+l(m>0)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間,

...當(dāng)x=-l時(shí)，y>0,且AK),即

m—4+1>0

△=16-4m>0

解得3Vm*.

4.【答案】(1)解：把A(-3,O)RAy=x2+bx-3,得0=9?3b?3,解得b=2

?,?該拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3

(2)解：令y=0,得0=x2+2x-3,解得xi=-3,X2=LAB(1,0).

當(dāng)x=0,得y=-3,:.C(0,-3).

??SAABC=2x4x3=6

5.【答案】(1)解：??,二次函數(shù)y=—/+2x+m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

.*.4=22+4m>0.

Am>—1.

(2)解：???二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(3,0),

/.0=-9+6+m.

??TTt=3?

二次函數(shù)的解析式為y=-/+2%+3.

令x=(),貝Uy=3.

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

.(3k+b=0

"Ib=3'

解得憶了.

直線AB的解析式為y=—x+3.

6.【答案】(1)解：根據(jù)題意得，w—(x-20)(-2x+80)=-2X2+120X-1600

=-2(x-30)2+200,

.?.當(dāng)x=30時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為200元；

(2)解：令-2(x-30)2+200=150,

解得：x=35或x=25,

???這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，

，x=25,

答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克25元

7.【答案】(1)證明：令y=0,得-2/-2bx+b2+1=0,

則4=(-2h)2+8(2)2+1)=12b2+8>0,

，方程一2%2-2bx+b2+l=o一定有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，

即不論b為何值，該二次函數(shù)的圖象與%軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

2

(2)解：Vy=-2x2—2bx+b2+1——2(%+-)24-+1，

2

.,.二次函數(shù)、=一2%2一2"+。2+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(_。，包+1),且開口向上，

?.?二次函數(shù)的圖象與X軸恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

二由題意得：￥+1=2，則匕=±導(dǎo)

8.【答案】(1)解：由題意得：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(-1,0)、(0,-3)、(4,5)；

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c,

由題意得：

a—b+c=0

c=-3，

16a+4b+c=5

解得：a=l,b=-2,c=-3,

...該拋物線解析式為：y=x2-2x-3.

(2)解：由(1)知:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.?.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),對(duì)稱軸為x=l.

(3)解：由題意得：x2-2x-3=m,

HPx2-2x-3-m=0①，

若該方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則必有△=(-2)2-4xlx(-3-m)>0,

解得：m>-4.

即當(dāng)m>-4時(shí)，ax2+bx+c=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

9.【答案】(1)3；3；2；-l<a<0

(2)解：①設(shè)平移后的直線的解析式為y=x+l-b,觀察圖象可知，當(dāng)直線y=x+l-b經(jīng)過原點(diǎn)或

與拋物線y=x2+2x只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),與y=x?-2|x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，,1-b=0,b=l,由

fv=%4-1—hr

{y_%2+2%，3消去y得至Ux?+x-l+b=0,由題意△=0,.*.1-4(-1+b)=0,b=4,綜上所

述，滿足條件的b的值為1或%.②如圖3中，作BEJ_直線x=l于E,AFJ_直線x=l于

???ZAFP=ZPEB=ZAPB=90°,ZAPF+ZPAF=90°,

ZAPF+ZBPE=90°,AZPAF=ZBPE,VPA=PB,.*.△PAF^ABPE,AAF=PE,PF=BE,由

y=kxx=0x=k-

,y=o'或[y=k(k-2)'.\A|k-2,k(k-2)],由

y=x2+2x

y=kx解得脛;，x=k+2

y=x2—2x,y=k(k+2)'

，B[k+2,k(k+2)],，BE=PF=k+l,AF=PE=3-k,.*.P(1,k2-3k-1),Z.k2+2k(k2-3k-

1)=3-k,.\k=1.

10.【答案】(1)解：當(dāng)y=-x2-2x+3中y=0時(shí)，有-x?-2x+3=0,

解得：Xl=-3,X2=l,

???A在B的左側(cè),

r.A(-3,0),B(1,0).

當(dāng)y=-x2-2x+3中x=0時(shí)，貝ijy=3,

：.C(0,3).

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

二頂點(diǎn)D(-1,4)

(2)解：作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)連接C，D交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)ACDE的周長(zhǎng)最小，如圖1

所示.

VC(0,3),

：.C(0,-3).

設(shè)直線C-D的解析式為y=kx+b,

則有｛解得:

l-k+b=4S=-3

?,?直線CD的解析式為y=-7x-3,

當(dāng)y=-7x-3中y=0時(shí),x=-,

.?.當(dāng)^CDE的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-|,0）

（3）解：設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

則有｛/r3n，解得：『=3，

I—3a+c=0=3

，直線AC的解析式為y=x+3.

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m,m+3）,

△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）:

①當(dāng)/PAF=90。時(shí)，P（m,-m-3）,

?.?點(diǎn)P在拋物線y=-x2-2x+3上，

-m-3=-m2-2m+3,

解得：mi=-3（舍去），m2=2,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-5）；

②當(dāng)NAFP=90。時(shí)，P（2m+3,0）

?.?點(diǎn)P在拋物線y=-x2-2x+3上，

.*.0=-（2m+3）2-2x（2m+3）+3,

解得：m3=-3（舍去），m4=-1,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0）；

③當(dāng)NAPF=90。時(shí)，P（m,0）,

,/點(diǎn)P在拋物線y=-x2-2x+3上，

0=-m2-2m+3,

解得：m5=-3（舍去），m6=l,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0）.

綜上可知：在拋物線上存在點(diǎn)P,使得4AFP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-5）或（1,

0).

11.【答案】(1)解：將點(diǎn)C(0,1)代入y=ax2+bx+c得c=1

Ay=ax2+bx+1

將點(diǎn)4(1，0)代入得a+b+l=0

?\b=—(a+1)；

(2)解：，??二次函數(shù)y=ax2-(a+l)x+1的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)

???一元二次方程a/-(a+i)x+1=0的判別式4>0

而4=[—(a+I)]2—4a=a?+2Q+1—4a=a?-2a+1=(a—1產(chǎn)

??.Q的取值范圍是a>0,且QWl;

(3)證明：V0<a<1

對(duì)稱軸為％=-孑3=乎>1

2a2a

=2(乎-1)=-

v2aJa

把y=1代入y=ax2—(a+l)x+1得a/—(a+1)%=0

解得%1=0,X=—,：.CD=—

2Laa

-

；.S1-S2=SAPCD-^APAB=SL。SdC/lB=1xx1-ixX1=1

.?.S1—S2為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為1.

12.【答案】⑴解：設(shè)一次函數(shù)y=-2X-3的“互反點(diǎn)”為(x,-2X-3),

則：-2x-3+x=0,

解得：x=-3,

/.-2x-3=3.

???一次函數(shù)y=-2x-3的“互反點(diǎn)”為(-3,3)；

(2)解：設(shè)二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a的“互反點(diǎn)”為(x,x2-(2a+l)x+a),

則：x2-(2a+l)x+a+x=O.

x2-2ax+a=0.

???二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a只有一個(gè)“互反點(diǎn)”，

??.△=(-2a)2-4a=0.

即：4a2-4a=0.

解得：ai=0,a2=l.

令x=0,則y=a,

；?拋物線y=x2-(2a+l)x+a與y軸交于點(diǎn)(0,a).

,二次函數(shù)y=x2-(2a+l)x+a與y軸交于正半軸，

Aa>0.

.\a=l.

.\y=x2-3x+l.

當(dāng)x=l時(shí)，y=-1,

當(dāng)x=3時(shí)，y=l.

???1WXW3時(shí)，y的取值范圍為：-l<y<l.

(3)解：二次函數(shù)丫=(m+l)x2+nx+n-1的圖象上的“互反點(diǎn)”為(x,(m+1)x2+nx+n-1),

貝！J：(m+1)x2+nx+n-l+x=0.

即：(m+1)x2+(n+1)x+n-1=0.

???二次函數(shù)y=(m+1)x2+nx+n-1的圖象上，恒有兩個(gè)相異的“互反點(diǎn)”，

.\Ai=(n+1)2-4(m+1)(n-1)>0.

/.n2-(4m+2)n+4m+5>0.

???對(duì)于任意的實(shí)數(shù)n,此不等式恒成立，

AA2=[-(4m+2)]2-4xlx(4m+5)<0.

A16m2+16m+4-16m-20<0,

即：m2-1<0.

解得：-lVm<L

，m的取值范圍為：-IVmVl.

13.【答案】(1)解：如圖1,

Vy=ax2+bx-1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,對(duì)稱軸為直線1：x=l,

二點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線1：x=l對(duì)稱，

.?.點(diǎn)B(3,0),

一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解為xi=-l,X2=3

(2)解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-1.5,

.d-b—1.5—0

得,

9a+3b—1.50

解得卜弓，

(b=-1

拋物線L的解析式為y=1x2-x-1.5,

配方得，y=J(x-1)2一2,

所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2)

(3)解：如圖2,作PCJJ于點(diǎn)C.

.".當(dāng)m=5,即x=5時(shí)，y=6,

：.P(5,6),

,此時(shí)U的解析式為y=|(x-5)2+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,6).

?.?當(dāng)x=l時(shí)，y=14,

...點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,14).

VCM=6-(-2)=8,CN=14-6=8,

...CM=CN.

：PC垂直平分線段MN,

；.PM=PN；

②PM=PN仍然成立.

由題意有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,1.

的解析式為y=|(x-m)2+|m2-m-1.5,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,1m2-m-1.5),

.'.CM=m2-m-1.5+2=m2-m+i.

,在L'的解析式丫=i(x-m)2+|m2-m-1.5中，

???當(dāng)x=l時(shí),y=m2-2m-l,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,m2-2m-l),

/.CN=(m2-2m-l)-(^m2-m-1.5)=*m2-m+i,

ACM=CN.

???PC垂直平分線段MN,

APM=PN；

③存在這樣的點(diǎn)P,使^PMN為等邊三角形.

若巡=tan30°,則3m2-m+二字(m-1),

解得m=冬,+3,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(等電,-1).

14.【答案】(1)解:①當(dāng)m=2時(shí),拋物線G的解析式為：yi=xMx+7,

令y=7,即x2-4x+7=7,解得xi=O,X2=4,

???BC的長(zhǎng)為：4-0=4.

故答案為：4.

②拋物線C2：y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,

222

即：x-2nx+2n-l=7,解得：xi=yjs-n24.n,X2=-V8-n-n，

?'?EF=2V8-n2，

VEF大于BC,

??2A/8—>4，

解得：一2<n<2,

故答案為：-2<兀<2.

(2)解：①聯(lián)立拋物線Ci和C2

fy,=x2-2mx+2m2—1

即：,,

[y2=x~2nx+2Tlz_1

整理有：2(m—n)x-2(m+n)(m—n),

又mWn,.,.m—n0,等式兩邊同時(shí)除以m—n

.,.x=m+n=k,

故G和C2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是常數(shù)k,

拋物線C與拋物線C2的交點(diǎn)始終在定直線x=k上.

②由題意知：

yi+y2=(x2-2mx+2m2-l)+(x2-2nx+2n2-l)

=2x2-2(m+n)x+2(m2+n2)-2

=2x2-2kx+2(m2+n2)-2.

將2x2-2kx+2(m2+M)-2看成是一個(gè)新的函數(shù)用y3來表示，

即：y3=2x2-2kx+2(m2+n2)-2,

當(dāng)其對(duì)稱軸x=號(hào)時(shí)，y3有最小值，

將x/代入，其最小值為：_q+2(巾2+n2)_2,

又m+n=k,n=m-k,

m2+n2=m2+(m-k)2=2m2-2mk+k2,

.?.當(dāng)m=當(dāng)時(shí)，此時(shí)n=2，m2+M有最小值為：埠,

故一￥+2(>2+n2)—2的最小值為：我一2.

故答案為：^/c2—2.

15.【答案】(1)解:在拋物線y=-x2-2x+3中，

令y=0,解得xi=l,X2=-3,

...點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0).

令x=0,解得y=3,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)

(2)解：,,點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),

1R

：.OD=^OA=|,

.,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-|,0),

設(shè)的解析式為y=kx+b(kH0),將點(diǎn)4(一3,0),C(0,3)代入得:

{°=；3\+b,解得:(k=l

二設(shè)直線AC的解析式為y=x+3,當(dāng)久=一|時(shí)，y=|,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一|,|)，

在拋物線y=-/一2%+3中，當(dāng)％=-|時(shí)，y=苧，

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-恭)，

?nc1539

..PQ=yQ-yp=---=-

(3)解：①???D(m,0),

點(diǎn)P坐標(biāo)為(犯m+3)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m,-/-2m4-3),

:?PQ=—m2,—2m4-3—m—3=—zn2—3m,

由?"(0,3),

；?PC=—V2m，

:?PQ+苧PC=—m2-3m—m=一(m+2)2+4(-3<m<0)，

.?.當(dāng)m=-2時(shí)，PQ+^PC有最大值為4.,

②：QO〃EC,當(dāng)PE=QC時(shí)，有兩種情況

i.當(dāng)四邊形QOEC為平行四邊形時(shí)，則QP=CE,如圖：

VD（m,0）