2022年海南省?？谑谐煽紝Ｉ靖叩葦?shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案帶解析)

2022年海南省?？谑谐煽紝Ｉ靖叩葦?shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

設(shè)函數(shù)，（幻二］卜二工之1貝在工=1處

（X—1,X<1

A.不連續(xù)

B連續(xù)但不可導(dǎo)

C.連續(xù)且，（1）=一1

D.連續(xù)且，（1）=1

2.

在下列函數(shù)中在給定區(qū)間內(nèi)無界的是

A.y=ln(H-x2)，C0?lJ

B.y=3*,(—8,0)

C.y=2+x~3x2,(0,+?°)

D.y=2arctanx—3K,(—co,+oo)

已知/(x)的一個原函數(shù)為x2+sinx,則J//(2x)dx=

A.4x+cos2xB.2x+—cos2x

2

C.2x+—cos2x+CD.x+2cos2x+C

3.2

1+】

變在變化過程為<）時為無窮大悒.

ift1

A.1―)

B.x-1

C.x-T

4D.x-—2

l2

5J|[2+xln(l+x)]dx=

A.A.4B.2C.OD.-2

，設(shè)函數(shù)z=sin(xy2),則24等于().

O.a/

A.y4cos(xy2)

B.—y4cos(xy2)

C.y4sin(xy2)

D.—y4sin(xy2)

7.設(shè)u=u(x),v=v(x)是可微的函數(shù)，則有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

Q當xTO時，ln(l+￡?)是2x的等價無窮小量，貝ija=

o.

A.-lB.OC.lD.2

9.

dx

x2+3x-4

A.-^-In6

B.春Ing

o3o

D.此廣義積分發(fā)散

10設(shè)人動=言,則，'（x）dx等于（

C0S%

A.?

COSX

c.-r

D.~^+c

下列等式成立的是

A隔

AaX'

tanx

B.四

smr

hm—

r-M)*

sinj_

lim

11.nD-

12.設(shè)函數(shù)八幻=（上一。力《》,其中/幻在“=。處總第腌?，蚓下式中必定成立的是（

B./'<a；夕(u)+fp(a)

C〃(a)Qw'(u)

D，(工)?儀《r)4-(x—a)^(x).

設(shè)f(X+y,個)=且，則^2+^121=

xyoxdy

A.x+yB.-+xC.—+―：-D.-----?-

yyyyy

設(shè)lim/(x)=limg(x).則lim

14—*?*-**?*-**?g(x)

A.A.0B.1C.無窮大D.不能判定

15.

定積分/1/（產(chǎn)出等于（）

：（）C.j"jf(x)(Lr

A.Bjj/HdrD.~jf(x)dr

it

16.曲線y=x3的拐點坐標是()。

A.(-l,-DB.(O,O)C.(1,1)D.(2,8)

17.

設(shè)函數(shù)z=/(M+y)+/(x-y).其中/為可導(dǎo)函數(shù).則生-蟲等于().

tix*、

A-/'(x+y)H./'(x+丫)-6(*-y)

C.2/7x+y)D.2f'(x-v)

18已唬6—則/中二()。

A.?

A.V2

B.-1

C.2

D.-4

[Q設(shè)函數(shù)z=/(u),u=x，」且/(u)二階可導(dǎo)，則色?=()

ly.dxdy

A.4?"(u)B.4xf?"(u)C.4y"(u)D.4xy?"(u)

20.

函數(shù)y=ef在定義區(qū)間內(nèi)是嚴格單調(diào)

A.增加且凹的B.增加且凸的

C.減少且凹的D.減少且凸的

2j已知f(x)的一個原函數(shù)為fe",則Jf(2x)dx=

Axe^+C

A.A.

2?e'C

B.

Cfe'c

r2

—e2x+C

D.4

22.

下列說法正確的是

A.或A,B為對立事件.則P(AB)=O

B.若P(AB)=O,則P(A)=O或P(B)=O

C.若A與B互不相容，則P(A)=1-P(B)

D.若A與B互斥，則P(AJB)=1

若Jf(N)dLr=Hln(H+l),則1加小立為(、

JT-*OX\)

A.2

B.-2

C.-1

23.D.1

設(shè)函數(shù)/(x)=E--(x#l).WJlim/(x)=

24.x-1i()0

A.OB.-lC.lD.不存在

若J/Gr)dLr=，+C,則丘/(1一工2)占為()

A.2(1—M￥+C

R--2(1?.M)2+c

C.yd-x2)2tc

D.-4(i-J2)2+C

25.

26.

設(shè)/(x)在［-a,ah>0)上連續(xù),則下列積分不成立的是

A以r=］：/(/)心B.J［x}djc=-\a"

C.￡a/(jr)dr=[./(-工也DJ../(工也=

當XT1時，下列變量中不是無窮小量的是

A.x2-lB.sin(x2-l)C.InxD.ez

27.

28.

袋中有5個乒乓球，其中4個白球,1個紅球，從中任取2個球的不可能事件是

A.(2個球都是白球｝B.｛2個球都是紅球｝

C.｛2個球中至少有1個白球｝D.｛2個球中至少有1個紅球｝

￡

曲線y=。_(刀一5)3

A.上凹，沒有拐點B.下凹，沒有拐點

C.有拐點(a,b)D.有拐點S，a)

30.

100件產(chǎn)品中有3件次品，從中任意抽取4件產(chǎn)品的必然事件是()

A.四件都不是正品

B.四件都是飲品

C.至少有一件正品

D.至少有一件次品

二、填空題(30題)

f)(x'c1*+cosx)dx=

31.L

-7-----------(U=

32.J,?x(l+x)

f2\kx

設(shè)lim(1+—?)=/，則k=

33.X)

[sin'd/

：—

34.—★

35.設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，y=e*x)貝ljy”=

36.設(shè)y=excosx,則y”=

37.設(shè)f(x)=x3-2x2+5x+l,貝ljf(0)=

J

381rlnx,

—f'/sinr2dz=

39.dxJo

..tan3x

40加一^二

41.

設(shè)+f(T)=

42.

廣義積分JJeecLc=.

43.

設(shè)f\x）為連續(xù)函數(shù)，則J［才，J?）心=

44.

設(shè)/（幻7,9=8卬則,（蚣））=---------------

45.

不定稹分J（sin：+l）dr=

A.-COS-y4-X+CB.——cos-y+x+C

4K4

C.工sin￡31+CD.xsin與+“+C

4

46.設(shè)曲線y=axe，在x=0處的切線斜率為2,則a=

f1（x+Vl-x2）dx-

47.JT

48.

函數(shù)y=|simr|在工=0處的導(dǎo)數(shù)為

A.—1B.0C.1D.不存在

=—.則a=

8----------------------

50.

已知「*°—^-j-dx=I,則4=

J--l+x2

51.設(shè)y=x2cosx+2x+e,貝1Jy'=

52.

設(shè)/=「dyJ：fG.y)dj■.交換積分次序.則/一

|dr|/(x.y)dyB.J.drjSf(x,y)dy

D.j,djjf(x,y)dy

53..

54.

2_

lim(l—①)，

jrr0

設(shè)2=arccot(x+y),則二

55.打

56.已知(cotx)，=f(x),貝ljjx「(x)dx=

57.

當A-0時，f(工。+3/0一八工。一五)+2人是/1的高階無窮小量，則/(xo)=

58.

若J/(x)dx=2siny+C.則f(x)=.

設(shè)z，="'+y/,則成=.

59.

60.設(shè)z=x?y+y2,則dz=。

三、計算題(30題)

6］設(shè)產(chǎn)，(*)由方程y'=x+arccos(xy)所確定，求上.

62.求微分方程、小一，1的通”.

63.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

64.

已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個特解分別為V=sin2，,“=c。62H.求相應(yīng)

的做分方程.

設(shè)函數(shù)z=/仔?7)?/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求臣.業(yè).

6sdjrdl^y

66.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長為

12m,為使窗戶的面積A達到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

67求Je''drdy,其中D是由直線y=x,y=\及y軸圍成的區(qū)域.

計算定積分（/2x-x!ir.

68.

乙、計算不定取分arcstnj.

6y.VT+1

巳知函數(shù)z=,求露.

70.

設(shè)+2I-2K=e?確定函數(shù)？=ztr.y),求生?生.

71.a_rdy

72.設(shè)函數(shù)y=x4sinx,求dy.

求函數(shù)y=2x3+3xz-12T+1的單調(diào)區(qū)但】.

/

求不定根分

74.

求極限Iim/M

75.J-o'

設(shè)/(x)=(e/dr,求jx/(x)dx.

76.

求帔限lim當上衛(wèi)

77.i，i-3x-

78.①求曲線y=x2(x>0),y=l與x=O所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

求「|sin3jr|dx.

79.…

80.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

-計算不定枳分萬k出?

ol.」

82設(shè)函數(shù)z=/(IsinyMzZy),且/(〃皿)為可微函數(shù)?求dz.

求不定積分］t?--dx.

83.JI,/1+y

4M計算定積分fln（G+l）k.

求極限lim-—「—At.

85.?-*x-sinxJ.yr+37

求極限lim6^2￡—3

86.-v72

87求不定積分JlnG+/mbdz.

88.設(shè)函數(shù)￡=，+“（工?，3其中為可,函數(shù).求改.

89.設(shè)y=y（x）由方程e'-e，=sin（xy）所確定.求當|.

90.求函數(shù)y=xarctatu,-In+/的導(dǎo)數(shù)y?

四、綜合題（10題）

91.求函數(shù)”…巾在定義域內(nèi)的最大值和姐小值.

92.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當月租金定為2000元時.公離會全部租出去，當月

租金期增加100元時?就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200元的維修

疑.試問租金定為多少可獲得破大收入？最大收入是多少？

93證明方程山-3工一1=0在1與2之間至少有一個實根?

94.討論函數(shù)f《n二3j’’的碓調(diào)性，

if明1當，,”時.而??("In',，?.

95.

求函數(shù)/(X)=］一言＞+4的單陽區(qū)間和極保

96.

97.

設(shè)函數(shù)/(工)在閉區(qū)間［o?l］上連續(xù).在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且/(0)=/(I)=0.

/'傍=1.證明:存在SW(0.1)使/(f)=1.

98證明方程4H=2,在10?1］上有且只有一個實根.

2(j―1)

9%征明：當r＞I時?舊＞"I?

證明：方程「T^—dt=1在(0,1)內(nèi)恰有一實根.

100.J"1+r10

五、解答題(10題)

101.設(shè)函數(shù)y=ax3+bx+c,在點x=l處取得極小值-1,且點(0,1)是該曲

線的拐點。試求常數(shù)a,b,c及該曲線的凹凸區(qū)間。

102.

設(shè)Z=x3〃jO,其中f為可微函數(shù).

證明假+2嚕=3z

103.求由曲線y=2-x2,),=2x-l及后0圍成的平面圖形的面積S以

及此平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.

104若帆(當)I■的直

105.已知f(x)的一個原函數(shù)是arctanx,求JxfXxMx。

計算lim(—^―)2,41.

106.—1+x

計算/_/------

JoV7+i+J(x+i)3

107.

108(本題滿分8分)計算［「臺

109.

求曲線＞2=2X+1,八=-2X+1所圍成的區(qū)域的面積A,及此平

面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

110產(chǎn)曲曲飩v=Ax20）在點/（a.6）處的切線與該曲線及x軸所

用成的平面圖形的面枳S=",求過彳點的切線方程?

六、單選題（0題）

擲兩粒假子，出現(xiàn)點數(shù)之和為5的概率為（）

A.|B.奈

C.-D

111.為9

參考答案

1.D

2.C

[解析]根據(jù)原函數(shù)的定義可知/(x)=(?+siiu)'=2r+co&x

因為“'(2x)dx=1J/'(2x)d(2x)=1Jdf(2x)=1〃2x)+C

3B所以J/'(2x)dx=,2?(2x)+cos(2x))+C=2x+gcos2x+C

4.C

5.A

因為xlna+一)是奇函數(shù)，

所以j'[2+xln(l+x2)]dx=21^2dx=4.

6.D

對X求偏導(dǎo)時應(yīng)將y視為常數(shù)，則有

dzcos(02)?y2,-^-y=-y2sin(xy2)?y2=-/sin(xy2)

所以選D.

7.C

由乘積導(dǎo)數(shù)公式電■也=/y+uv，.

dx

有d(wv)=v(u*dx)+M(v*dx)?即d(uv)=udv+vdi4.

8.D

中心ln(14-ar)axa.

因為rlim------------=hni一=—=1

i句2xx2x2

所以a=2

9.C

10.C【解析】根據(jù)不定積分的性質(zhì)，'(z)dx=/(x)+c,故選C.

ll.B

12.D

13.D

"y

［解析］設(shè)x+y=u,xy=v,則f(“，v)=—,即/(x,y)=—,所以

vy

af(x,y),af(x,y)Ix

-------------+--------------=-----------

axayyy

14.D

做該題時若不假思索，很容易錯選B為答案.但假若對極限的定義有正

確理解，特別是能聯(lián)想到如?的不定型，便知答案是D.事實上.若lim/(x)=limg(x)=0,

014

［0

則可能有以下三種情況：lim4?=，C(C為非零常數(shù)).

*-**tg(x)

15.A

16.B

解題指導(dǎo)本題考查的知識點是曲線上拐點的概念及拐點坐標的求法.

令

由于是單項選擇題，所以當求得,”=6,金=0得工=0時，可知y=0,此時無需驗證當*<0

時/<0逐>0時y”>0,即可確定正確選項必為B.

17.C

答應(yīng)選c.

生示本腮考查的知識點是二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法?

n題只需將工=/(￡+，)+/(*-，)寫成工=/(?*)+/("),其中u=*+y?=x-y,同時利用復(fù)

“收求偏導(dǎo)數(shù)公式$=/，(《*)翌+r(?)$和?=//(?)￡+/’(。法，可知選項c是正確的.

ax0XoxoyoyOj

18.C

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式可知

ljm/(2±2Ax)-/(2)=2/,(2>=l

&TOAr2

r(2)=；.

19.D此題暫無解析

20.C

21.B

根據(jù)原函數(shù)的定義可得f/(x)dx=x2eJ+C

所以J/(2x)dx=-J/(2x)d(2x)=-(2x)ze2jf+C=2x2e2x+C

22

22.D

23.A

24.D

先去函數(shù)的絕對值，使之成為分段函數(shù)；然后，運用函數(shù)在一點處極

限存在的充分必要條件進行判定.

由/33=卜XVI

X-1{1X>1

因為limf(x)=lim(-l)=-l,

iri-?r

lim/(x)=lim1=1.

il**??1*

limf(x)#lim/(x).

所以I,四/(力不存在.故選D.

25.D

26.D

［解析］A.x2-l->0(XT1)

B.sin(x2-l)-*0(XTl)

c.Inx->0(X->1)

D.e，T->1(X->1)

27.D

28.B

［解析］袋中只有1個紅球，從中任取2個球都是紅球是不可能發(fā)生的.

I解析］函數(shù)的定義域為：(F,+OO).

當X=b時，不存在.因為函數(shù)/(X)在x=b點處連續(xù)，且

當x<b時，)，“<0,曲線y下凹：當x>b時，y”>0,曲線y上凹.

所以x=b是曲線y的拐點橫坐標.y(b)=a.

29.D故曲線的拐點為：S，a).

30.C

31.2sinl

32.2arctan2-(n/2)

33.-2

利用重要極限n的結(jié)構(gòu)式：

.±/K0

lim(1+□)0=e或lim［1+—I=e.

□-*o0一勿'□/

,7\kx

由已知lim1+—=e-,可得2A=-4,所以左=-2.

IX/

34.

35.ef(x)(x){[f'(x)]2+f"(x)}

36.-2exsinx

由y=e，cosz,則y=eJcosx—eJsinx.y=eJCOST—e1sinz—eJsinz-eJcosx=-2e*sinx.

37.5

由f(H)=x3—2x2+51+1,則f'(z)=3x2—4z+5,故f'(0)=5.

［解析］因為J：等也=/乂=-ln32.

39.xsinx2

40.

Ian3x聿?極限!sin3x3

-----------lim----------------------

lim近3B

41.ex+ex)

42.1/2

4/⑴-4/⑴-f⑼]

43.22

因為加二；￡八/加2=；/，)|：

//⑴-〃0)]

44.-sin2-sin2

因為/(gCx))=/(COSX)=(CO&X)2

所以—(/(^(x)))=[(cosx)2]'=2cosx(cosx)f

dx

=-2cosxsinx=~sin2x

45.D

46.因為y,=a(ex+xex),所以k*=、(1+笨》'I一”=a=2.

47.2

48.D

2

r-dx1x1nn

［解析］因為=一(z—一

-----72=~arctan-arctan—)=

J。4+x22a2228

arctan

2~4

所以—=1.a=2

49.2

50.1/nl/7r解析

1

由于dr)

占…心!士也十l+x2

=4(arctanx|°+arctanx|)=A(1+])=1

M,1

故A=一

7t

51.2xcosx-x2sinx-2*xln2(x2cosx),=2xcosx-x2sinx,(2x),==2x.ln2,e'=0,所以

y,=2xcosx-x2sinx+2xln2.

52.B

53.

54.e-2

lim(1—=lim(1—=lim[(1—J-2=e-2.

55.

1

l+(x+y)2

xx

--7-5----cotx+C-------cotx+C

56.sin*vsinx

57.-1/2

58.

cos土

2

X*XX，X

/U)=(2sin-)=2cos^(-)=cos-

59.

60.2xydx+(x2+2y)dy

61.

設(shè)F(x,y)=y,-x-arcco?(jcy),

則￥=-1+,.--*^-=3/+x*—*.

,s

a*-ayv/l-xy

9F

所以學(xué)=-與

dxM3y：yr^7+z

ay

-^—4-^=0,

x—\xy

即[:

y(—^~7--^曲+⑥=0,

411一4xJy

兩邊積分得

-y-dnIx—4|—InIz|)+In|y|=C.

4

故原方程的通解

(x—4)y=Cr,

62.其中特解y=0包含在通解之中.

-Ar+如=。，

即[

■已」加+匕=0,

41工一4x)y

兩邊積分得

1(In]x—4|—In|x|)4-in|>|=C.

4

故原方程的通解

(x—4)y=Cr

其中特解.v=0包含在通解之中.

63.

—=2JC=0.

dx

由得駐點(O.-l).

導(dǎo)2y+23

0,

因為A=-4=2.8=：：?=0,=2,

dx(6.-1)oxdyI(?..!)Qy<o.-n

所以B：-AC=-4<0.且4=2>0.從而可知z(O.-l)=-l為極小值.

64.

由于》=sin2_r.?=COS2J■為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解.可知a=

0.6=2.即原方程有一對共舸復(fù)根r,=2i.r,=2i,因此對應(yīng)的特征方程為

(r-2i)(r+2i)=0,

即r1+4-0,

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y"+4>=0.

由于》=sin2，.g=COS2J?為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解，可知“二

0,6-2.即原方程有一對共腕復(fù)根n=2i.r,=2i.因此對應(yīng)的特征方程/

(r-2i)(r+2i)=0,

即r,4-4-0,

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y"+4y=0.

蠡.—“(亨

一一專?f\1一工廠\—\八?

65.yyy

碧=//+//?小

蠡=".(一句+/「(一熱?3十八(一同

一f?八一“"一

66.

窗戶的面積

/和A滿足2A+3/=l2,得/<=6-1/,代人人則有

4=6/-#+?廣，

升6-3/+爭工0,

得”.

由于實際問題只有唯一的駐點，可知/=學(xué)乎）（|?）為所求

67.

枳分區(qū)域D如圖所示,由于被積函數(shù)/G.y）=eL因為此該二重積分適用

于化為“先對x積分，后對y枳分”的二次枳分進行計算.

1,

又區(qū)域D可晨示為，(oCxCy,

枳分區(qū)域D如圖所示.由于被積函數(shù)，=eL因為此該二董積分適用

于化為“先對x積分.后對y積分”的二次積分進行計算.

41，

又區(qū)域D可表示為:

?Ife*'drdy=jdyje'dx

于是

=J/*e"'dy

11I

7-2P

y/2x—J\一(工一1)2d(1—1)=vl—d/

令，=znA

cosh-cos/idA

=jj\1+cos2h)dA

=任。琳+/0-2人(1⑵)

7e

vl—(x—l)2d(x—1)y/1—t2dt

0

令r-mnA

cosA?cos/idA

=yj(1+cos2h)dA

=邦:嚴+十。cos2Ad(2A)

=?+Tsin2AI°=K

44l-fT

69.

2,\/l+xarcsinj--f.1一占1

LJJ

=2[vT+xarcsinx4-2/—*]+C.

[-2|^arcsin.rd(\f\+x)

>/l+xarcsinx—|+?r?■,,d-r

JJ\_x1

25/l+xarcsirvr—|1一d_r]

.’/一”J

2[A/1+jrarestnx+2，】一￡]+C.

■:空=2xc4V=(21+7、)門，

dx

：.-^7-=1％八+(2i+=(3/+/y)e'，.

70.dxdy

V空=2re*3r+xzye0=+

arJJ

+(2z+/y)e*\r=(3>+x3y)e\

dxdy

r

令F<l.y.N)=JT?+y'+2]-2yz—e=。?則

F.=21+2■F,=2y-2z,F.=—2y—B”,

故當一2y-lWO時?有

&_F,_2(X+1)a?__三一25z)

71.dxFx2>4-e*F.2y+e*

令F(*.y?之)=jr1+y2+21-2yz—c'=。?則

F,=2”+2■F,=2y2z?F,?=—2y—e*?

故當一2y-u，#0時,有

Z—巳=2(工+>生=_J=2(y-z)

dxFr2y+e'dyF.2>+e*

72.因為y,=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

73.

y=6x?+6工-12=6(1：十才-2)=6(X+2)(*—1),令，=0?得/1=-2,

.r?=1.

列表討論如F：

JT(—a.一2)-2(-2.1)1口?+8)

f

y+0一0+

y/

由表可知單調(diào)遞增區(qū)間是（-8-2］U（1+8］單調(diào)遞減區(qū)間是［-21］。

y=6x?+6/-12=6（/+7—2）=6（1+2）（工一1）,令y=0.得力=-2,

x?=1.

列表討論如F：

JC(一，>>?-2)-2(-2.1)1(1.4-oo)

y+0—0+

yZZ

由表可知，單調(diào)遞增區(qū)間是（心，-2］U（1,+8］,單調(diào)遞減區(qū)間是［-2,1］。

=卜

'd(-COST)

2

=-JL[COST+1cowd.r

2

=-JTCOST+J2xcosxdx

=-J2cosx+2jrdsinx

=-J2COSJT+2xsinx-zJsinrdT

74.=—,3COST+2/sinz+2cosx+C.

Jx^sirtrdx=Jx2d(-cosx)

=-x2cosx+Jcosj-(Lr2

=—jr2COST+J2xcosxdx

=-x:coax+zjidsiax

=-x2cosx+2xsinx-zjsinxdz

=-x2cosx+2xsinx+2cosz+(

lim了卬=hme

r-*0*

Itmtmxlru、El?1八八a

e…,一_e….

g￥t主

=e…，?11e°v

Itenz

75.=e?-J=e°=1.

=limei2

?r~?Q*z―0’

Inna3rM、加了?11xhir

e1”e,mdl

1.

76.

因為/<x)=Je''d/.于是

I；-J'&，.0J.2HL

4?(—x1)dx&-j-e**|=:(c1-1》.

因為/G)={u"d，,于是

￡“Cr出=J7a)d(甘尸/“)?#[-￡獷'?2xcLr

ujc.?=?~e***|=Y(C1-1).

2

ln(l+2x).1+2T

lim-；--------=htm--------：--------------------

i，l-3”一1一?！狪x(—3)

2J\一3*

2八一3”

一3

40—34

77.3(1+2外

2

「ln(l+2x)1.1+2x

lim.-..........—lim-------：--------------------

i-31-1—---1.x(—3)

2-3”

2一3JT

-3

4一3才

3(1+2x)3

78.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

s=〃i-中匕=卜與卜率

②旋轉(zhuǎn)體的體積

3「：=h加=][吟

79.

令3]=/,即”=!,則dt=Jd<,且當J=一奪時“=一苧；當/f.r=醇則有

Ct￡?

Ixin3x|dx=Isin/|dt

=Isin”ck

=4[￡sin/d/_^sin/d/j

|*_|[_]|*=2,

co”]cos/

J

令3工=’,即7=《.則cLr=Jd/,且當工=一卷時./=一彖當工=合,?=苧，則有

V4匕匕乙

J；|sin3x|dx=|sin；|d/

=克口皿&-小皿山；

=等[_cos,]|一'[-cos/]卜=2?

80廨設(shè)F((x,y,X)=f(x,y)+k(x+2y-4)=x2+y2+xy+X(x+2y-4),

-"

=2x+y+A=0.

dx0D

令--=2y+x+2A=0,②

—=x+2y-4=0,③

由①與②消去入?得x=0,代入③得)=2,所以/(0,2)=4為極債.

令5/2x+1=〃?即<r=-1)?cLr=”?于是

Jx-21+Idr=J)(/-1)u?-1

-刃3?)d"=#-/—C

—^(2x4-1)T-A(2J-F1)T+c.

81.28Io

令y/2x+1="?即X=y(u3—1)?dr=“,于是

卜l/Zx+IcLr=J---(uJ-1)u?u:du

--j-[(M*u3)du=^u:—+C

—^(2-r+1H-白⑵+1)++C

40Ib

82.

令e4sinj=Ut3x2j=*,則有z=

利用微分的不變性得.

/

dz=/M(UtV)du+/p^(utv)dv

=/.'ddsiny)+fJdCy)

=//(e，si”cLr+bcosydy)+八'(6]ycLr+3/dy)

=(e'siny/.'+6xj//)dx+(exco3yf/+3JC2f/ydy.

令e'siny=u.3xzy="則有z=f(u.v).

利用微分的不變性得，

dz=/+/「(u.iOdj

，2

=/.'ddsiny)+ftd(3xy^

frJ

=ftl(esinjdjr+ecosydy)+