專題11.6與三角形有關(guān)的角大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)40題）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題11.6與三角形有關(guān)的角大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)40題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答題（共40小題）1．（2022秋?靈寶市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD于點(diǎn)E．求：（1）∠ACD的度數(shù)；（2）∠AEC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．（2）∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD＝∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．（2021秋?雙臺(tái)子區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度數(shù)．【答案】70°．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AFC＝∠EFC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的內(nèi)角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根據(jù)三角形的外角定理即可求解．【解析】解：∵AE⊥CD交CD于點(diǎn)F，∴∠AFC＝∠EFC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF，∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，∴∠EAC＝∠CEA，∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°，∴∠CEA＝70°，∴∠EAC＝70°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟記三角形的內(nèi)角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度數(shù)．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），則∠DAE＝12（β﹣α）．．（用含α、β【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，再由AE是角平分線，求出∠EAC=12∠BAC＝25°，由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得∠OAB=12∠BAC，∠OBA=12∠ABC，所以∠BOE＝∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣α﹣β，再由AE是角平分線，求出∠EAC=12（180°﹣α﹣β），由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣β，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD=12（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=1【解析】解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵AE是角平分線，∴∠EAC=12∠BAC=12∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；（2）∵AE，BF是角平分線，∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=1∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）=12×（3）∠ABC＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AE是角平分線，∴∠EAC=12∠BAC=12（180°﹣∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD=12（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=12（故答案為12（β﹣α【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．4．（2021秋?駐馬店期末）（1）如圖（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，試確定∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，試確定∠A與∠E的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，試確定∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB），根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠ACE=12∠ACM，∠CBE=12∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠FBC=12∠PBC，∠FCB=12∠PCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得∠ABC+∠ACB＝【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠DCB=12（180°﹣∠∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+12∠（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，∴∠ACE=12∠ACM，∠CBE=1∵∠ACM＝∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∴12∠ABC+∠C+∠ACE+∠E＝180∴∠E=12∠（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，∴∠FBC=12∠PBC，∠FCB=1∵∠PBC＝180°﹣∠ABC，∠PCB＝180°﹣∠ACB，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°-12（∠PBC+∠＝180°-12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠F=12（180°﹣∠A）＝90°-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和的性質(zhì)．5．（2023春?大荔縣期末）我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD為對(duì)頂角，則△AOB與△COD為“對(duì)頂三角形”，根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角和是180°，“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．性質(zhì)理解：（1）如圖1，在“對(duì)頂三角形”△AOB與△COD中，則∠AOB＝85°，則∠C+∠D＝95°．性質(zhì)應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度數(shù)．拓展提高：（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，設(shè)∠A＝α，請(qǐng)嘗試求出∠P的度數(shù)（用含α的式了表示∠P）．【答案】（1）95；（2）∠BED＝26°；（3）∠P=45【分析】（1）由對(duì)頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）由對(duì)頂三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根據(jù)已知即可求解；（3）利用三角形內(nèi)角和定理求得∠ABE+∠ACD=90°-12α，再利用角平分線的定義求得∠CEP=【解析】解：（1）由對(duì)頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，∴∠C+∠D＝95°．故答案為：95；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；（3）45°理由：在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=∴∠ABE+∵∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，∴∠CEP=12∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP=12（∠ABE+∠A）+∠ACD-12（∠ACD=12∠ABE+=12（∠ABE+∠=12×（90°＝45°-14即∠P=45【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)解答是解此題的關(guān)鍵．6．（2022秋?鳳翔縣期末）綜合與探究：【情境引入】（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說(shuō)明∠D＝90°+12∠【深入探究】（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是∠D＝90°-12∠A②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點(diǎn)D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）①∠D＝90°-12∠②∠D=12∠【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義求解即可．【解析】（1）證明：∵BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（2）解：①∠D＝90°-12∠∵BD，CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB的平分線，∴∠DBC=12∠EBC=12（∠A+∠ACB），∠DCB=12∠FCB=∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-12（∠EBC+∠＝180°-＝90°-12∠故答案為：∠D＝90°-12∠②∠D=12∠∵BD，CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=1∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠D+12∠ABC=12（∠A∴∠D=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?德清縣期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)有線段AB和直線CD，且AB∥CD，點(diǎn)E是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F．（1）如圖1，若AE⊥BE，請(qǐng)說(shuō)明∠BAE+∠BEF＝90°的理由；（2）如圖2，作∠BAE的角平分線與∠EBF的角平分線交于點(diǎn)P，設(shè)∠APB＝α，∠AEB＝β，請(qǐng)求出α和β之間的數(shù)關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的右邊時(shí)，在（2）的條件下，α和β之間的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）理由見解析；（2）2α﹣β＝90°；（3）不會(huì)發(fā)生改變，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠ABE＝∠BEF，根據(jù)垂線的定義得出∠AEB＝90°，在△ABE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAE+∠ABE＝90°，從而問(wèn)題得證；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ABF+∠BFC＝180°，根據(jù)垂線的定義得出∠BFC＝90°，于是得出∠ABF＝90°，從而得出∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，在△ABP中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得出2α﹣β＝90°即可；（3）方法同（2）．【解析】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠BEF＝90°；（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠1，∴∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠2，在△ABP中，∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即∠2+α+90°﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1+α＝90°，∴2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2+β+90°﹣2∠1＝180°，∴2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°；（3）如圖3，不會(huì)發(fā)生改變，理由：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠FBP，∴∠ABP＝90°+∠FBP，∠ABE＝90°+2∠FBP，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠BAP，在△ABP中，∠BAP+∠APB+∠ABP＝180°，即∠BAP+α+90°+∠FBP＝180°，∴∠BAP+∠FBP+α＝90°，∴2∠BAP+2∠FBP+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠BAP+β+90°+2∠FBP＝180°，∴2∠BAP+2∠FBP+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?丹江口市期末）如圖，△ABC中，∠ACE＞∠B，AD是角平分線，AE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠E的度數(shù)；（2）①試求∠E，∠B，∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系；②若∠E＝∠B，求∠ACB∠B【答案】（1）30°；（2）①∠ACB＝2∠E+∠B；②3．【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和可得∠BAC＝40°，再由角平分線的定義可得∠CAD＝20°，結(jié)合垂直可求得∠CAE＝70°，再由鄰補(bǔ)角的定義可求得∠ACE＝80°，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求∠E的度數(shù)；（2）①結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；②根據(jù)①進(jìn)行求解即可．【解析】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝40°，∵AD是角平分線，∴∠CAD=12∠BAC＝∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝70°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝80°，∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝30°；（2）①∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，AD是角平分線，∴∠CAD=12∠BAC＝90°-12∠B∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD=12∠B+1∵∠ACE＝180°﹣∠ACB，∴∠E＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝180°﹣（12∠B+12∠ACB）﹣（180°﹣∠ACB）=12∠∴∠E+12∠B=1∴∠ACB＝2∠E+∠B；②∵∠ACB＝2∠E+∠B，∠E＝∠B，∴∠ACB=2∠E+∠B＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．9．（2023春?定興縣期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；（2）小聰同學(xué)把圖1中的直線a向上平移得到如圖2，請(qǐng)你探究圖2中的∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）小穎同學(xué)將圖2中的直線b向上平移得到圖3，若∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行線的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù)；（2）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行線的性質(zhì)可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性質(zhì)即可求解；（3）由圖可知∠1＝∠CMN，則由三角形的外角性質(zhì)得∠ANM＝∠1+90°，利用平行線的性質(zhì)得∠2＝∠ANM，從而可求解．【解析】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：如圖2，由題意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，∵∠2是△AFG的外角，∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，即∠2﹣∠1＝120°；（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，∵∠2＝4∠1，∴4∠1＝∠1+90°，解得：∠1＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．10．（2023春?莆田月考）（1）已知：三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠ACB＝180；小明同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真思彎，他過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，利用添加輔助線的方法成功解決了這個(gè)問(wèn)題，你能說(shuō)出小明是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的嗎？寫出論證過(guò)程．（2）利用以上結(jié)論或方法，解決如下問(wèn)題：已知：六邊形ABCDEF，滿足∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，求證：AF∥CD．【答案】（1）能，證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠1，∠B＝∠2，根據(jù)∠1+∠2+∠ACB＝180°利用等量代換得到∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）作直線GH交CD于點(diǎn)G，交AF于點(diǎn)H，再證明∠CGH+∠AHG＝180°，可得結(jié)論．【解析】（1）解：能．證明：∵CE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）證明：連接AC，∵多邊形ABCDEF是六邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（6﹣2）×180°＝720°，∵∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C=12×720∵由（1）知，三角形的內(nèi)角和是180°，∴∠BAC+∠ACB+∠B＝180°，∴∠CAF+∠ACD＝360°﹣180°＝180°，∴AF∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，則∠DAE＝11°；（2）∠B、∠C與∠DAE有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)G是線段CE上任一點(diǎn)（不與C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代數(shù)式表示）．【答案】（1）11；（2）∠DAE=（3）∠B=β+12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ADB中求出∠BAD的度數(shù)，即可求出∠DAE的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠BAE，在Rt△ADB中用∠B表示出∠BAD，即可求出∠DAE與∠B、∠C的關(guān)系；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠FAC＝∠B+∠C，即∠B+∠C＝α①，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠GHE＝β，根據(jù)（2）中的結(jié)論得到∠B﹣∠C＝2β②，①與②組成方程組，求解即可．【解析】（1）解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∵∠B＝64°，∠C＝42°，∴∠BAC＝180°﹣64°﹣42°＝74°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝64°，∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣26°＝11°，故答案為：11；（2）∠DAE=證明：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD=90°（3）解：∵∠FAC是△ABC的一個(gè)外角，∴∠FAC＝∠B+∠C，∵∠FAC＝α，∴∠B+∠C＝α①，∵AD⊥BC，GH⊥CE，∴AD∥GH，∴∠DAE＝∠GHE，∵∠GHE＝β，∴∠DAE＝β，由（2）知∠DAE=∴12即∠B﹣∠C＝2β②，①、②組成方程組得∠B+解得∠B=β+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，二元一次方程組的解法，角平分線的定義，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)．12．（2023春?榕城區(qū)期末）定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B的度數(shù)是15°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如圖，若AD是∠BAC的平分線，請(qǐng)判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說(shuō)明理由．②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠ABC＝24°，則∠EAC的度數(shù)是123°或114°．【答案】（1）15°；（2）①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，理由見解答；②33°或24°．【分析】（1）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是180°，∠C＞90°，∠A＝60°，只能是∠A+2∠B＝90°；（2）①由題意可得∠ADB＞90°，所以只要證明∠B與∠BAD滿足2α+β＝90°，即可解答，②由題意可得∠AEB＞90°，所以分兩種情況，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．【解析】解：（1）∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴∠A+2∠B＝90°，∴∠B＝15°，故答案為：15°；（2）①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，理由：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴2∠BAD+∠B＝90°，∴△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，②∵△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠EAB＝42°或∠EAB＝33°，當(dāng)∠EAB＝42°，∠ABC＝24°時(shí)，∠AEB＝114°，∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝24°當(dāng)∠EAB＝33°，∠ABC＝24°時(shí)，∠AEB＝123°，∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝33°，∴∠EAC＝33°或24°．故答案為：33°或24°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和補(bǔ)角，理解“準(zhǔn)互余三角形”的定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．13．（2023春?曹縣期末）如圖，∠AOB＝90°，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線與∠CDO的平分線交于點(diǎn)F．（1）在圖1中，當(dāng)∠CDO＝50°時(shí)，求∠F的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)C、D兩點(diǎn)分別在射線OA、OB上移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O重合），其他條件不變，∠F的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，試求出∠F的度數(shù)．?【答案】（1）45°；（2）∠F的大小不變化，∠F＝45°．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根據(jù)角平分線定義得∠ECD=12∠ACD，∠CDF=12∠CDO，由已知可求∠ACD＝90°+50°＝140°，∠ECD=12∠ACD＝70°，可求∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根據(jù)角平分線定義得∠ECD=12∠ACD，∠CDF=12∠CDO，可推出∠F＝∠ECD﹣∠CDF=12∠ACD-12∠CDO=12（∠O+∠CDO）-12【解析】解：（1）∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD的平分線，DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=12∠ACD，∠CDF=1∵∠CDO＝50°，∠AOB＝90°，∴∠ACD＝∠O+∠CDO＝90°+50°＝140°，∠ECD=12∠ACD＝∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；（2）∠F的大小不變化，∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，∵CE是∠ACD的平分線，DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=12∠ACD，∠CDF=1∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF=12∠ACD-12∠CDO=12（∠O+∠CDO）-12即∠F恒等于45°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形外角定義，角平分線定義，題目體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．14．（2023春?無(wú)為市期末）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中∠ACB＝90°，Rt△ABC的邊AC、AB與直線m相交于D、E兩點(diǎn)，邊BC、AB與直線n交于F、G兩點(diǎn)．（1）將Rt△ABC如圖1位置擺放，如果∠ADE＝46°，則∠CFG＝136°；（2）將Rt△ABC如圖2位置擺放，H為AC上一點(diǎn)，∠HFG+∠CFG＝180°，請(qǐng)寫出∠HFG與∠ADE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將Rt△ABC如圖3位置擺放，若∠EDC＝140°，延長(zhǎng)AC交直線n于點(diǎn)K，點(diǎn)P是射線EG上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠PDK，∠DPK與∠PKG的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論（題中的所有角都大于0°小于180°）．【答案】（1）136°；（2）∠HFG+∠ADE＝90°，理由見解答過(guò)程；（3）∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH∥m，則CH∥m∥n，可得∠ACH＝∠ADE＝46°，∠HCF+∠CFG＝180°，再由∠ACB＝90°得∠HCF＝44°，據(jù)此可得∠CFG的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)C作CQ∥m，則CQ∥m∥n，可得∠ADE＝∠ACQ，∠CFG+∠QCF＝180°，進(jìn)而得∠QCF＝∠HFG，再由∠ACB＝90°可得∠∠HFG與∠ADE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）由于點(diǎn)P是射線EG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段EG上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥m，則PM∥m∥n，進(jìn)而得∠DPM＝140°﹣∠PDK，∠MPK＝∠PKG，由此可得出∠PDK，∠DPK與∠PKG的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)P在EG的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥m，則PN∥m∥n，進(jìn)而得∠KPN＝∠PKG，∠PDE＝∠DPN，由此可得出∠PDE＝140°﹣∠PDK，∠DPN＝∠DPK+∠PKG，據(jù)此可得出∠PDK，∠DPK與∠PKG的數(shù)量關(guān)系；【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH∥m，如圖：∵m∥n，∴CH∥m∥n，∴∠ACH＝∠ADE＝46°，∠HCF+∠CFG＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCF＝90°﹣∠ACH＝90°﹣46°＝44°，∴∠CFG＝180°﹣∠HCF＝180°﹣44°＝136°，故答案為：136°．（2）∠HFG+∠ADE＝90°，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CQ∥m，如圖：∵m∥n，∴CQ∥m∥n，∴∠ADE＝∠ACQ，∠CFG+∠QCF＝180°，∵∠HFG+∠CFG＝180°，∴∠QCF＝∠HFG，∵∠ACB＝∠ACQ+∠QCF＝90°，∴∠HFG+∠ADE＝90°；（3）∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．理由如下：∵點(diǎn)P是射線EG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段EG上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥m，如圖：∵m∥n，∠EDC＝140°，∴PM∥m∥n，∠DPM＝∠EDP＝∠EDC﹣∠PDK＝140°﹣∠PDK，∠MPK＝∠PKG，∴∠DPK＝∠DPM+∠MPK＝140°﹣∠PDK+∠PKG，∴∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°；②當(dāng)點(diǎn)P在EG的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥m，連接PD，如圖：∵m∥n，∠EDC＝140°，∴PN∥m∥n，∴∠KPN＝∠PKG，∠PDE＝∠DPN，∵∠PDE＝∠EDC﹣∠PDK＝140°﹣∠PDK，∠DPN＝∠DPK+∠KPN＝∠DPK+∠PKG，∴∠DPK+∠PKG＝140°﹣∠PDK，∴∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．綜上所述：∠PDK+∠DPK﹣∠PKG＝140°或∠DPK+∠PKG+∠PDK＝140°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解兩直線平行?同位角相等，兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)．15．（2023春?棗莊期末）在三角形三個(gè)內(nèi)角中，如果滿足其中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的2倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中內(nèi)角α稱為“主特征角”，內(nèi)角β稱為“次特征角”．（1）已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判斷△ABC是否為“特征三角形”，并說(shuō)明理由；（2）在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度數(shù)．【答案】（1）△ABC是“特征三角形”；（2）∠E＝48°或∠E＝28°．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)“特征三角形”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)“特征三角形”，“主特征角”和“次特征角”的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，由于∠C＝2∠B，∴△ABC是“特征三角形”；（2）在△DEF中，∠D＝96°，∴∠E+∠F＝180°﹣96°＝84°，由于△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，①當(dāng)∠D＝2∠E時(shí)，即2∠E＝96°，∴∠E＝48°；②當(dāng)∠F＝2∠E時(shí)，即2∠E+∠E＝84°，解得∠E＝28°；綜上所述，∠E＝48°或∠E＝28°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和是180°，理解“特征三角形”，“主特征角”和“次特征角”的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（2022秋?濰坊期末）通過(guò)學(xué)習(xí)第5章《幾何證明初步》知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過(guò)證明來(lái)確認(rèn)它的正確性，實(shí)驗(yàn)的方法能給我們證明提供思路．例如：在證明“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論時(shí)，如圖2，有兩種實(shí)驗(yàn)方法．小明受實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，形成了證明該結(jié)論的思路，寫出了已知、求證，并進(jìn)行了證明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的證明過(guò)程依據(jù)有哪些？（寫兩條即可）（2）請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法1的思路，寫出實(shí)驗(yàn)方法2的證明過(guò)程．【答案】（1）兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平角的定義．（2）見解答過(guò)程．【分析】（1）結(jié)合平行線的判定，平角的定義對(duì)過(guò)程進(jìn)行分析即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，利用平行線的性質(zhì)，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，結(jié)合平角等于180°，即可證出∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解析】（1）解：依據(jù)是：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平角的定義．（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，∴∠3＝∠B，∠4＝∠C．∵∠BAC+∠3+∠4＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?鎮(zhèn)平縣期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：∠B（單位：度）1030302020∠C（單位：度）7070606080∠EAD（單位：度）30a152030上表中a＝20，于是得到∠B、∠C、∠EAD之間的數(shù)量關(guān)系為∠EAD=12（∠C﹣∠B（2）小明繼續(xù)探究，如圖2，在線段AE上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請(qǐng)嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個(gè)字母位置，如圖3，過(guò)EA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，當(dāng)∠ABC＝85°，∠C＝23°時(shí)，∠F度數(shù)為31°．【答案】（1）20，理由見解答過(guò)程；∠EAD=12（∠C﹣∠（2）∠EPD=12（∠C﹣∠（3）31．【分析】（1）先求出∠BAC＝80°，根據(jù)角平分線的定義得∠BAE＝∠CAE＝40°，然后根據(jù)AD⊥BC，∠C＝70°得∠CAD＝20°，據(jù)此可求出∠EDC的度數(shù)，進(jìn)而可得a的值；由AD⊥BC得∠CAD＝90°﹣∠C，再由角平分線的定義得∠CAE=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠C），然后∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD可得出∠B、∠（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，由（1）可知∠EAF=12（∠C﹣∠B），再根據(jù)PD⊥BC，AF⊥BC得PD∥AF，然后由平行線的性質(zhì)得∠EPD＝∠EAF，據(jù)此可得∠B、∠C、∠（3）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC交EF于點(diǎn)G可得FD∥BG，進(jìn)而得∠F＝∠AGB，根據(jù)∠ABC＝85°，∠C＝23°求出∠BAC＝72°，再由角平分線的定義得∠BAE＝36°，然后再求出∠ABG＝5°，進(jìn)而由三角形外角定理得∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝31°，據(jù)此即可得出∠F的度數(shù)．【解析】解：（1）a＝20，理由如下：∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC＝∵AD⊥BC，∠C＝70°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠EDC＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；即：a＝20．∠B、∠C、∠EAD之間的關(guān)系是：∠EAD=12（∠C﹣∠理由如下：∵AD⊥BC，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°-12∵∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD，∴∠EAD＝90°-12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C=12（∠故答案為：20，∠EAD=12（∠C﹣∠（2）∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系是：∠EPD=12（∠C﹣∠理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，如圖：由（1）可知：∠EAF=12（∠C﹣∠∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴∠EPD＝∠EAF=12（∠C﹣∠（3）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC交EF于點(diǎn)G，如圖：∵FD⊥BC，∴FD∥BG，∴∠F＝∠AGB，∵∠ABC＝85°，∠C＝23°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣85°﹣23°＝72°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝∵GB⊥BC，∴∠ABG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣85°＝5°，∵∠BAE＝∠AGB+∠ABG，∴∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝36°﹣5°＝31°，∴∠F＝∠AGB＝31°．故答案為：31．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，垂直的定義，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角定理，理解垂直于同一條直線的兩條直線平行；難點(diǎn)是正確的作出輔助線構(gòu)造平行線．18．（2023春?太平區(qū)期末）如圖1，已知等腰△ABC中，∠A＝∠C＝30°，動(dòng)點(diǎn)D在AB的平行線l上，聯(lián)結(jié)AD．（1）如圖2，若∠B＝∠ADC，說(shuō)明AD∥BC的理由；（2）如圖3，當(dāng)∠CDA＝∠DAB時(shí)，△ACD是什么三角形？為什么？（3）過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，垂足為H，若∠ADH＝60°，求∠DAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）△ACD是直角三角形，理由見解析；（3）∠DAC＝90°或30°．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠B+∠BCD＝180°，再等量代換得∠ADC+∠BCD＝180°，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)得∠CDA+∠DAB＝180°，再由∠CDA＝∠DAB得∠CDA＝90°，進(jìn)而判斷三角形的形狀；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H的左邊時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H的右邊時(shí)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得結(jié)果．【解析】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC；（2）解：△ACD是直角三角形．理由：∵CD∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵∠CDA＝∠DAB，∴∠CDA＝90°，∴△ACD是直角三角形；（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H的左邊時(shí)，如圖，∵CD∥AB，∠BAC＝30°，∴，∠ACH＝∠A＝30°，∵∠ADH＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H右邊時(shí)，如圖，∵∠ADH＝60°，∠ACH＝30°，∴∠DAC＝∠ADH﹣∠ACH＝30°．綜上，∠DAC＝90°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，分類討論的思想方法，靈活應(yīng)用這些知識(shí)解題是關(guān)鍵．19．（2023春?青秀區(qū)校級(jí)期末）我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍，則這樣的三角形稱之為“美好三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“美好三角形”．如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)C在邊OA上，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥OA交OB于點(diǎn)E，以C為端點(diǎn)作射線CD，交線段OE于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與O，E重合）．【概念理解】（1）∠CEO的度數(shù)為50°，△OCE不是（填“是”或“不是”）“美好三角形”．【應(yīng)用拓展】（2）若∠CFE＝75°，試說(shuō)明：△OCF是“美好三角形”．【答案】（1）50°，不是；（2）理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CEO的度數(shù)，再根據(jù)“美好三角形”的定義判斷△OCE是否是“美好三角形”即可；（2）求出△OCF的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)“美好三角形”的定義判斷即可．【解析】解：（1）∵EC⊥OA，∴∠ECO＝90°，∵∠AOB＝40°，∴∠CEO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣40°＝50°，在△OCE中，∠ECO＝90°，∠COE＝40°，∠CEO＝50°，不符合“美好三角形”的定義，∴△OCE不是“美好三角形”，故答案為：50°，不是；（2）∵∠CFE＝75°，∴∠CFO＝180°﹣∠CFE＝180°﹣75°＝105°，∵∠AOB＝40°，∴∠OCF＝180°﹣∠AOB﹣∠CFO＝180°﹣40°﹣105°＝35°，∴∠CFO＝3∠OCF，∴△OCF是“美好三角形”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，“美好三角形”的定義，理解“美好三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?欒城區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段BE上．①直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系；②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①∠EDF+∠BGF＝90°；②見解析；（2）圖見解析，當(dāng)點(diǎn)G在線段CB上時(shí)，∠BGF﹣∠EDF＝90°；當(dāng)點(diǎn)G在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠EDF+∠BGF＝90°．【分析】（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．②過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解析】解：（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．②證明：過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于點(diǎn)H．如圖2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：結(jié)論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：設(shè)DE交FG于J．如圖3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．當(dāng)點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可證∠EDF+∠BGF＝90°，如圖4，【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．21．（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過(guò)程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式，讓我們來(lái)一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．?（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝130°°（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）130°；（2）∠Q+∠BPC＝180°；（3）∠A＝36°．【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°【解析】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°故答案為：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC=12∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°-12（∠MBC+∠NCB）＝180°-12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）=12（∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如圖，延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°-12∠∴2∠A＝90°-12∠∴∠A＝36°．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．22．（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D．特例研究：（1）如圖1，若∠BAC的平分線AE能交BC于點(diǎn)E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度數(shù)；操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC，將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別為DM和DN，點(diǎn)G，F(xiàn)都在射線DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，試猜想∠AMF與∠ANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將△DFM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜360°）．記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)M，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M1，F(xiàn)1，直線M1F1，與直線BC交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【答案】（1）25°；（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°，理由見解析；（3）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為35°或215°．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，從而得出結(jié)論；（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．又∵∠B＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．∵∠EAD＝5°，∴∠BAE＝55°+5°＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝60°，∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：由折疊可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，∵∠B+∠C＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，∴∠AMF+∠ANG＝60°．（3）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為35°或215°．①當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為DM，將△DMF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，∴α＝35°；②當(dāng)90°＜α≤360°時(shí)，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為DM，將△DMF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，∴α＝360°﹣145°＝215°；∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，∴α＝70°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為35°或215°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題，旋轉(zhuǎn)變換，翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．23．（2023春?東方校級(jí)期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．?（1）如圖1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖1，如果∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠BPC；（3）探索：如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試寫出∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（4）拓展：如圖3，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)．【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°（3）∠Q=90°（4）45°或60°或120°或135°．【分析】（1）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出來(lái)，再利用∠A表示出來(lái)，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行代換即可；（3）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算；（4）根據(jù)已知條件求出∠EBQ的度數(shù)，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形內(nèi)角和求出∠E，再分4種情況討論，求出∠A的度數(shù)．【解析】解：（1）∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠PBC=12∠ABC＝25°，∠BCP=12∠∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝125°；（2））∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=1∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°-＝180°-=180°=90°（3）∵BQ，CQ分別是∠CBM，∠BCN的角平分線，∴∠CBQ=12∠CBM，∠BCQ=∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠CBQ=12∠A+12∠ACB，∠BCQ=∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，∴12∠A+12∠A+∠A+∴∠Q=90°（3）∵BP是∠ABC的角平分線，BQ是∠CBM的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠CBQ∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠PBC+∠CBQ=1∴∠QBE＝∠PBC+∠CBQ＝90°，由（3）知∠Q=90°∴∠E+∠Q＝90°，∴∠E=1∵在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，∠QBE＝90°，∴∠Q，∠E都是銳角，∴分四種情況討論：①∠Q＝3∠E，∴90°2∠A＝90°，∴∠A＝45°；②∠QBE＝3∠E，∴3×∴∠A＝60°；③∠BQE＝3∠Q，∴3(90°270﹣1.5∠A＝90°，∴∠A＝120°，④∠E＝3∠Q，12解之得：∠A＝135°，綜上可知：∠A的度數(shù)為45°或60°或120°或135°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，能夠識(shí)別圖形，找出角與角的關(guān)系．24．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說(shuō)明∠P=12∠【變式應(yīng)用】（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ABO與∠BAN的平分線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點(diǎn)，B是直線OM上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出∠P的度數(shù)．【答案】（1）說(shuō)明見解析；（2）∠P的大小不變，仍為45°，理由見解析；（3）22.5°或67.5°．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠A，再根據(jù)角平分線的定義∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC進(jìn)行等量代換即可；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠O，再根據(jù)角平分線的定義∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠AOB，再根據(jù)角平分線的定義∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；【解析】解：（1）如圖1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP=12∠ACD，∠2=∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴12∠ABC+∠180°∴∠P=（2）∠P的大小不變，理由如下：如圖2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=（3）∠P＝22.5°或67.5°，分兩種情況：①如圖3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=②如圖4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是能夠正確的識(shí)別圖形，找出角與角之間的相互關(guān)系．25．（2023春?金華期末）數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進(jìn)行了一系列探究，過(guò)程如下：【論證】如圖1，延長(zhǎng)BA至D，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，就可以說(shuō)明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請(qǐng)完成上述說(shuō)理過(guò)程．【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延長(zhǎng)線與AP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．①求∠DCP的度數(shù)；②設(shè)∠B＝α，請(qǐng)用α的代數(shù)式表示∠D．【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)P，∠APN＝75°．△ABC繞點(diǎn)A以每秒12°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)MN繞點(diǎn)P以每秒5°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與EF重合時(shí)MN再繞著點(diǎn)P以原速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，運(yùn)動(dòng)全部停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否某一時(shí)刻，使得MN與△ABC的一邊平行？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】論證：見解析；應(yīng)用：①∠DCP＝90°；②∠α＝2∠D；拓展：t的值為15秒或43517【分析】論證：利用平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)即可證明；應(yīng)用：①利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性質(zhì)即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性質(zhì)推出∠4＝∠2+∠3，結(jié)合①的結(jié)論得到∠2+∠3＝90°，據(jù)此計(jì)算即可求解．拓展：當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，運(yùn)動(dòng)全部停止，求得總時(shí)間為30秒，MN與EF重合時(shí)間為15秒，分在前15秒內(nèi)和后15秒內(nèi)，兩種情況討論，根據(jù)MN與BC平行的次數(shù)，求解即可．【解析】論證：證明：延長(zhǎng)BA至D，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，即三角形的內(nèi)角和為180°．應(yīng)用：解：①如圖，∵AE∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵CP是∠ACB的角平分線，∴∠2=∴∠MAC＝2∠2，又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，∴2∠2+2∠ACM＝180°，∴∠2+∠ACM＝90°，∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；②∵AP是∠BAC的角平分線，∴∠3=在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，∴∠B＝2∠D，∵∠B＝α，∴∠α＝2∠D，拓展：∵當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周運(yùn)動(dòng)停止，∴總時(shí)間t＝360÷12＝30（秒），∵M(jìn)N與EF重合時(shí)MN再以原速返回，∴重合時(shí)間為t1＝75÷5＝15秒，此時(shí)∠EPN＝0°，延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)Q，∵在前15秒內(nèi)，∠EQC由180°逐漸減少，∠EPN由75°逐漸減少至0°，又∵當(dāng)t＝15秒時(shí)，△ABC旋轉(zhuǎn)至15×12°＝180°，此時(shí)EF∥BC，而∠EPN由75°逐漸減少至0°，在前15秒內(nèi)，MN與BC僅一次平行，即MN與EF重合時(shí)，些時(shí)t＝15（秒）．同理，后15秒，∠EQC由0°逐漸增至180°，∠EPN由0°逐漸增至75°，MN與BC僅可能一次平行，有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，解得t2t=15+180綜上，t的值為15秒或43517【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．26．（2023春?云浮期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△ADE．（1）若α＝28°時(shí)，則∠DAC＝62°；若0°＜α＜90°時(shí)，α與∠CAE的關(guān)系是α＝∠CAE；（2）∠DAC與∠BAE有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若0°＜α＜180°時(shí)，△ADE與△ABC這兩個(gè)三角形是否存在一組邊互相平行？若存在，請(qǐng)求出α的所有可能取值．【答案】（1）62；α＝∠CAE；（2）∠DAC+∠BAE＝180°，見解析；（3）存在，60°或30°或120°或150°．【分析】（1）直接利用角的和差關(guān)系可得答案，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得α＝∠CAE；（2）證明∠DAC＝∠EAP，結(jié)合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°（3）分情況討論：①如圖，當(dāng)AE∥BC時(shí)，②如圖，當(dāng)DE∥AB時(shí)，③如圖，當(dāng)AD∥BC時(shí)，④如圖，當(dāng)AC∥DE時(shí)，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解答即可．【解析】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；當(dāng)0°＜α＜90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：α＝∠CAE；（2）∠DAC與∠BAE的關(guān)系是：∠DAC+∠BAE＝180°，理由如下：∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，∴∠DAC＝∠EAP，∵∠EAP+∠BAE＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°；（3）“△ADE與△ABC這兩個(gè)三角形存在一組邊互相平行”∵∠C＝30°，∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，①如圖，當(dāng)AE∥BC時(shí)，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴α＝∠EAC＝30°；②如圖，當(dāng)DE∥AB時(shí)，∴α＝∠D＝60°，③如圖，當(dāng)AD∥BC時(shí)，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴α＝90°+30°＝120°．④如圖，當(dāng)AC∥DE時(shí)，∴∠CAD＝∠D＝60°，∴α＝90°+∠CAD＝150°；綜上：△ADE與△ABC這兩個(gè)三角形的一組邊互相平行時(shí)，α為60°或30°或120°或150°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的含義，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．27．（2023春?榮成市期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝100°，∠3＝90°；（2）圖2中，當(dāng)被b反射出的光線n與光線m平行時(shí)，不論∠1如何變化，∠2與∠1總具有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜想∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）圖2中，請(qǐng)你探究：當(dāng)任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，求兩平面鏡a、b的夾角∠3的度數(shù)；（4）如圖3，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m垂直，求出此時(shí)∠O的度數(shù)？（友情提示：三角形內(nèi)角和等于180°）?【答案】（1）100°，90°；（2）∠2＝2∠1；（3）90°；（4）45°．【分析】利用題目所給的平面鏡反射光線的規(guī)律，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理以及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可解決問(wèn)題．【解析】解：（1）由題知，∠1＝∠4，則∠6＝180°﹣2∠1＝80°．又m∥n，所以∠6+∠2＝180°，則∠2＝100°．又∠5＝∠7，則∠5=12（180°﹣100°）＝由三角形的內(nèi)角和可知，∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝90°．故答案為：100°，90°．（2）∠2＝2∠1．由題知，因?yàn)閙∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠1，則180°﹣2∠1+∠2＝180°，即∠2＝2∠1．故∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系為：∠2＝2∠1．（3）由題知，因?yàn)閙∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠4，∠2＝180°﹣2∠5，所以180°﹣2∠4+180°﹣2∠5＝180°，即∠4+∠5＝90°．由三角形的內(nèi)角和得，∠3＝180°﹣90°＝90°．故∠3的度數(shù)為90°．（4）由題知，∠1＝90°-12∠3，∠2＝90°-1又∠3+∠4＝90°，所以∠1+∠2＝180°-12（∠3+∠4）＝所以∠O＝180°﹣135°＝45°．故∠O的度數(shù)為45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和平行線的性質(zhì)，熟練的運(yùn)動(dòng)題中所給的“平面鏡反射光線規(guī)律”是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?樂(lè)山期末）（1）如圖1，△ABC中，延長(zhǎng)AB到M，BP平分∠MBC，延長(zhǎng)AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點(diǎn)P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求證：α=α+β（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求證：θ=α+β（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．【答案】（1）（2）證明見解析；（3）θ+α+β【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；【解析】（1）證明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，∴∠CBP=12∠MBC=12(∠A+β)=12∴∠CBP+∵∠A+α+β＝180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠A+180°∴θ=α+β（2）證明：如圖所示：∵BP平分∠MBC，F(xiàn)P平分∠EFC，∴∠CBP=12∠MBC∠CFP=12∠EFC∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β-1∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，∴12∴θ=α+β（3）解：如圖所示：∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，∴∠OFP=12∠AFG∠CBO=1∵∠POF＝∠CBO+∠ACB=90°∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，∴90°∴θ+α+β【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是能夠正確的識(shí)別圖形，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．29．（2022秋?太平區(qū)校級(jí)期末）【基本模型】：如圖1，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)你寫出∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式應(yīng)用】：如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線．（1）若∠POM＝80°，在點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接寫出∠POM度數(shù)．【答案】（1）∠BOC＝90°-12∠A，理由見解析；（2）①∠DEC的度數(shù)不變，為65°，理由見解析；②∠POM＝【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)求得∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，得到∠MBC+∠BCN＝∠A+180°，然后利用BO、CO分別平分∠MBC、∠NCB得到∠OBC+∠OCB=12（180°+∠A），然后得到∠BO