條件概率與事件獨(dú)立性綜述

條件概率與事件獨(dú)立性綜述2023/12/122第三章條件概率與事件的獨(dú)立性第一節(jié)條件概率2023/12/123例:一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，求下列事件的概率.(1)事件A為“至少有一個(gè)女孩”發(fā)生的概率.(2)在事件B為“至少有一個(gè)男孩”發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率.2023/12/124一、條件概率的概念含義：在事件B發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，對(duì)于古典概型，如圖所示，有稱為在事件B發(fā)生條件下事件A的條件概率，2023/12/125即把B作為新的樣本空間.縮減樣本空間法條件概率的定義：對(duì)于古典概型，條件概率可以如下計(jì)算：2023/12/126例1設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率；（3）求兩次均取到紅球的概率.設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球思考：任一次取到紅球的概率都相同嗎？2023/12/127二、

概率乘法公式注：（1）由條件概率定義直接可推出，（2）由（1）可推出.2023/12/128例2一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格品，從中不放回抽取，每次一個(gè)，求第三次才取到不合格品的概率.解：記Ai表示“第i次取出的為不合格品”，則所求概率為2023/12/129第二節(jié)

全概率公式例設(shè)有兩個(gè)口袋，甲袋裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球；乙袋裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖〕鲆磺?求從乙袋取出白球的概率.分析：對(duì)于較復(fù)雜事件概率的計(jì)算，首先要選擇適當(dāng)?shù)姆?hào)把已知、所求事件表示出來(lái)；再根據(jù)概率法則、性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.解：設(shè)A——從甲袋取出白球；B——從乙袋取出白球；所求問題是什么？2023/12/1210P(B)的取值顯然與P(A)有關(guān)系，且P(A)

=2/5.另外，在A發(fā)生與否的條件下，B發(fā)生的條件概率可求.利用乘法公式可以計(jì)算：即有2023/12/1211

全概率公式其中B1，B2，…，Bn為樣本空間的一個(gè)分割（或稱劃分、完備事件組），則對(duì)任一事件A，有：

注：①全概率公式解決的問題是，由A的條件概率求A的概率（部分→整體）.②常用形式③條件可減弱為2023/12/1212例1某工廠兩個(gè)車間生產(chǎn)相同型號(hào)的的產(chǎn)品，生產(chǎn)的產(chǎn)品混合放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里。第一車間產(chǎn)品的次品率為0.15；第二車間產(chǎn)品的次品率為0.12；且兩個(gè)車間產(chǎn)品的數(shù)量比是2：3.現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)里任取出一件產(chǎn)品，求它是次品的概率.解：記Ａ——取出的一件是次品；2023/12/1213例2〔摸彩模型或抽簽問題〕設(shè)n張彩票中有k張中獎(jiǎng)券，求第二人（任一人）摸到中獎(jiǎng)券的概率.類似可求出第3、4…人摸到中獎(jiǎng)券的概率.2023/12/1214例2〔摸彩模型或抽簽問題〕設(shè)n張彩票中有k張中獎(jiǎng)券，求第二人（任一人）摸到中獎(jiǎng)券的概率.注：對(duì)于摸彩、抽簽等問題中全概率的計(jì)算，直接利用古典概率方法，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.任一人摸中概率都相同2023/12/1215例

某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的.已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99％呈陽(yáng)性（有病），而沒有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9％呈陰性（無(wú)病）.現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，問他真的患肝癌的概率是多大？解：設(shè)B為“被檢查者患有肝癌”，A為“檢查結(jié)果呈陽(yáng)性”，則由題意知所求問題是？第三節(jié)貝葉斯公式（逆概率公式）2023/12/12162023/12/1217補(bǔ)充說明若對(duì)首次檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的人再次復(fù)查，這時(shí)，P(B)＝0.284，代入上式計(jì)算可得：第二次檢查又呈陽(yáng)性的人患肝癌的概率則為0.997,說明了此檢查方法的有效性.若把B“患病”看作“原因”,把A“陽(yáng)性”看作“結(jié)果”.由產(chǎn)生的結(jié)果對(duì)原因重新認(rèn)識(shí)〔修正〕.2023/12/1218貝葉斯公式（逆概率公式）2023/12/1219例1〔狼來(lái)了〕通過計(jì)算說明為什么村民后來(lái)不再信他呢？2023/12/1220補(bǔ)充說明這里，稱為先驗(yàn)概率，即原來(lái)村民對(duì)他的印象.稱為后驗(yàn)概率，即小孩撒謊一次后，村民對(duì)他的新印象.若小孩再次撒謊，則以

替換作為先驗(yàn)概率，代入上述計(jì)算公式，從而得到在實(shí)際生活中，人們總是根據(jù)已發(fā)生的結(jié)果，不斷地用后驗(yàn)概率去修正先驗(yàn)概率.2023/12/1221第四節(jié)事件的獨(dú)立性2023/12/1222一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性1、獨(dú)立性的一般含義事件A與事件B發(fā)生的概率沒有關(guān)系、影響.2、定義設(shè)A、B是兩事件，若滿足

P(AB)＝P(A)P(B) 則稱事件A與B相互獨(dú)立.2023/12/1223例1在52張撲克牌中任取一張，記A為“取到黑桃”，B為“取到愛司”，A、B是否獨(dú)立？例2在有三個(gè)小孩的家庭，記A為“男女都有”，B為“至多一個(gè)女孩”，A、B是否獨(dú)立？

2023/12/1224補(bǔ)充說明（1）獨(dú)立性的判定必須嚴(yán)格按定義來(lái)確定，而不能憑主觀想像和猜測(cè)，也不能與互不相容的概念混淆.（2）具有類似關(guān)系的事件在不同條件下是否獨(dú)立也是有區(qū)別的.把例2中的三個(gè)小孩改為兩個(gè)小孩，則A、B不相互獨(dú)立.2023/12/1225例2在有三個(gè)小孩的家庭，記A為“男女都有”，B為“至多一個(gè)女孩”，A、B是否獨(dú)立？

若把條件中的“三個(gè)小孩”改為“兩個(gè)小孩”，則有：2023/12/12263.獨(dú)立性的性質(zhì)2023/12/1227一些特殊情形：2023/12/1228二、多個(gè)事件的獨(dú)立性2023/12/1229例3從分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的4張卡片中隨機(jī)抽取一張,以事件A表示“取到1或2號(hào)卡片”;事件B表示“取到1或3號(hào)卡片”;事件C表示“取到1或4號(hào)卡片”.則事件A,B,C兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.2023/12/1230例4甲、乙二人同時(shí)獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊一次，甲擊中率為0.9，乙擊中率為0.8，求目標(biāo)被擊中的概率.

解：設(shè)A—甲擊中，B—乙擊中，C——目標(biāo)被擊中.2023/12/1231例5某彩票每周開獎(jiǎng)一次，每次提供十萬(wàn)分之一的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且各周開獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的.若你每周買一張彩票，堅(jiān)持十年（520周），你從未中獎(jiǎng)的可能性是多少？2023/12/1232第五節(jié)伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率2023/12/1233一、伯努利試驗(yàn)定義：設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E1和E2，若E1的任一結(jié)果（事件）與E2的任一結(jié)果（事件）都獨(dú)立，則稱這兩個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立.如分別擲兩枚硬幣的試驗(yàn).類似地可以定義n個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn).特別地，如果n個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)是相同的，則稱之為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；如果每次試驗(yàn)的結(jié)果都是兩個(gè)，則稱之為n重伯努利試驗(yàn).如：擲n個(gè)骰子、檢查n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)是n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，而擲n個(gè)硬幣的試驗(yàn)則是n重伯努利試驗(yàn).2023/12/1234二、二項(xiàng)概率問題：在n重伯努利試驗(yàn)中，若事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率都是p，求在n次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)k次A的概率.分析：若指定某k次出現(xiàn)A，則另外n-k次出現(xiàn).由獨(dú)立性知，該事件的概率為再由組合數(shù)知識(shí)知，在n次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)k次A的概率為該公式與二項(xiàng)式定理的一般形式相同，故稱之為二項(xiàng)概率.2023/12/1235補(bǔ)充說明應(yīng)用二項(xiàng)概率時(shí)應(yīng)注意：1、涉及的試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)；2、所求的事件是只知次數(shù)，不知位置；3、二項(xiàng)概率在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛；4、當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)概率的計(jì)算比較困難.2023/12/1236例1從次品率p=0.2的一批產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取1件.分別求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率.解：記k——抽取的5件中的次品數(shù)2023/12/1237例2設(shè)有1000個(gè)人購(gòu)買了某項(xiàng)人身意外保險(xiǎn)，每年支付投保金額300元.若在一年內(nèi)發(fā)生意外，可獲得的平均賠付金額為10000元.[根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，該類投保人