第十一章全等三角形

11.1全等三角形像這樣能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形ABCDEF看一看注意：△ABC全等于△DEF可表示為：△ABC△DEF注意：表示時(shí)通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上?！罩睾系捻旤c(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫對(duì)應(yīng)角；ABCDEF已知△ABC≌△DEF，指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角試一試：解：對(duì)應(yīng)邊是：對(duì)應(yīng)角是：AC與DF，AB與DE，BC與EF∠A與∠FDB，∠ABC與∠E，∠C與∠FABCDE填一填：⑴△

≌△⑵對(duì)應(yīng)邊是⑶對(duì)應(yīng)角是ABCDECAC與DC，AB與DE，BC與EC0∠A與∠D、∠B與∠E、∠ACB與∠DCEAC如圖△AOC≌△BOD1.對(duì)應(yīng)邊是：2.∠AOC的對(duì)應(yīng)角是∠A的對(duì)應(yīng)角是OA與OBOC與OC，AC與BD∠BOD∠BODBABCDAABBDC如圖△ABD≌△ABC⑴AD的對(duì)應(yīng)邊是；AB的對(duì)應(yīng)邊是⑵∠DAB的對(duì)應(yīng)角是ACAB∠CAB1、若△AOC≌△BOD，對(duì)應(yīng)邊是

，對(duì)應(yīng)角是

；ABOCD2、若△ABD≌△ACD，對(duì)應(yīng)邊是

，對(duì)應(yīng)角是

；ABCD3、若△ABC≌△CDA,對(duì)應(yīng)邊是

，對(duì)應(yīng)角是

；ABCD找一找

4、如圖，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,其它的對(duì)應(yīng)邊有：_____________對(duì)應(yīng)角有：_____________ABCDE找一找2、如圖，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些邊的長(zhǎng)度嗎？為什么？ABCDE求一求O1、找出圖中的全等三角形，并指出它們的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角？3、已知△ABC≌△DEF，A與D、B與E分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15㎝。則∠F＝________，EF＝______㎝。求一求1、能夠

的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。兩個(gè)三角形重合時(shí)，互相

的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示

頂點(diǎn)的字母寫在

的位置上。ABCDE2、如圖△ABC≌△ADE若∠D=∠B，∠C=∠AED，則∠DAE=

；∠DAB=

。

練一練3、如圖△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，則BC=

，CD=

。4、如圖△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的長(zhǎng).1、如圖,已知△AOC≌△BOD求證：AC∥BD能力提高ABCDE

2、如圖所示，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，若△EAB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是（）0（A）15（B）20（C）25（D）30作業(yè)：《全效學(xué)習(xí)》P2-3三角形全等的判定(一)動(dòng)手探究：畫出一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別為3cm、

4cm、6cm。畫法:1.畫線段AB=3㎝;2.分別以A、B為圓心,4㎝和6㎝長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C;3.連接線段AC、BC.把你畫的三角形與周圍同學(xué)畫的進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.可簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”三角形全等的判定方法(一)如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢?在△ABC與△DEF中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）例1已知：如圖，AB=AD，BC=DC，

求證：△ABC≌△ADCABCDACAC()

≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）證明：在△ABC和△ADC中=已知已知公共邊

A

C

B

D證明：∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD在△ABD與△ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已證）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（SSS）例2如圖,△ABC是一個(gè)鋼架,AB=AC,AD是連接A與BC中點(diǎn)D的支架，求證：△ABD≌△ACD若要求證：∠B=∠C，你會(huì)嗎？練習(xí)：課本P8作業(yè)：課本P15第1、2、9題全等三角形的判定（2）畫△ABC,使∠A=45°

AB=6cm，AC=8cm。畫法：2.在射線AM上截取AB=6cm3.在射線AN上截取AC=8cm1.畫∠MAN=45°4.連接BC把你們所畫的三角形剪下來與周圍同學(xué)進(jìn)行比較，它們能互相重合嗎？我們可以得出什么結(jié)論？畫一畫由此我們可以得出：用符號(hào)語言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中，AB=DE∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（SAS）ABCDEF

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”思考探究：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。把“它們的夾角”改成“其中一個(gè)角”，可以嗎？請(qǐng)說明理由。畫△ABC,使∠A=45°

AB=6cm，BC=5cm。畫法：2.在射線AM上截取AB=6cm3.以B為圓心,5cm為半徑畫弧,交AN于C4.連結(jié)BC1.畫∠MAN=45°請(qǐng)問你發(fā)現(xiàn)了什么？畫一畫例2、如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=CA.連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB.連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離.為什么？ABCDE證明：在△ABC和△DEC中CA=CD∠ACB=∠DCECB=CE∴△ABC≌△DEC（SAS）∴AB=DE已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD。請(qǐng)問AD=CD嗎？BD平分∠ADC嗎？ABCD例題推廣證明：在△ABD與△CBD中AB=CB∠ABD=∠CBDBD=BD∴△ABD≌△CBD（SAS）∴AD=CD∠ADB=∠CDB即BD平分∠ADC練習(xí)：課本P10第1、2題例題拓廣已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.求證:AB＝CD.課堂小結(jié):2.用尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角的三角形1.三角形全等的條件,兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(邊角邊或SAS)對(duì)應(yīng)邊相等兩個(gè)三角形全等對(duì)應(yīng)角相等兩條邊（線段）相等兩個(gè)角相等兩直線平行作業(yè)：課本P15第3、4、10題11.2.3三角形全等的條件⑶問題：判定兩個(gè)三角形全等要具備什么條件?畫△ABC,使∠A=45°

AB=6cm，∠B=60°

。畫法：2.在射線AM上截取AB=6cm3.畫∠ABC=60°交AN于C1.畫∠MAN=45°畫一畫把你們所畫的三角形剪下來與周圍同學(xué)進(jìn)行比較，它們能互相重合嗎？由此我們可以得出什么結(jié)論？?jī)山呛退鼈兊膴A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(ASA)全等三角形判定方法三:如何用符號(hào)語言來表達(dá)呢?在△ABC與△DEF中ABCDEF∠

A=∠

DAB=DE∠

B=∠

E∴△ABC≌△DEF（ASA）例1.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4

求證：AC=AD1234學(xué)以致用例2.如圖，∠1=∠2，∠D=∠C

求證：AC=AD1234學(xué)以致用推論：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）。全等三角形判定方法四:實(shí)際應(yīng)用：已知：點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，∠B=∠C。求證：AD=AE1.BE⊥AC,CD⊥AB12∠1=∠2BD=CE變式1：變式2：作業(yè)：1、課本P16第11、12題2、《全效學(xué)習(xí)》P9-113、《課程導(dǎo)報(bào)》第1期第3、4課時(shí)§11.2.4直角三角形全等的條件(HL)如圖，在△ABC與△DEF中，∠C=∠F=900，添加什么條件，可以使得ABC≌△DEF？FEABCD畫△ABC,使∠C﹦90°,AB=8cm,AC=5cm.畫法：2.在射線CM上截取CA=5cm3.以A為圓心，8cm為半徑畫弧，交CN于B。1.畫∠MCN=90°畫一畫把你們所畫的三角形剪下來與周圍同學(xué)進(jìn)行比較，它們能互相重合嗎？由此我們可以得出什么結(jié)論？規(guī)律：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.例題解析：

1：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦ADABCD練習(xí)：課本P14第1、2題AFCEDB如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求證：BF=DE變式1：BD平分EF嗎？GAFCEDB如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF想一想：BD平分EF嗎?G變式2：小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？作業(yè)：1、課本P16第7、8題2、《全效學(xué)習(xí)》P12-14角的平分線的性質(zhì)（１）探索1:如圖所示,已知AB=AD,BC=CD.AC是角平分線嗎？為什么?BCDA尺規(guī)作圖已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.ABOCDE探索２將角AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．書寫格式：∵點(diǎn)P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）AOBEDP證明線段相等有角的平分線，有垂直距離應(yīng)用定理的前提條件是：定理的作用：

做一做例1已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.BAEDCF例2已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝

BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BD＋DE＝AC

EDCBA作業(yè)：1、課本P22第1、2題2、《全效學(xué)習(xí)》P15-1611.3角的平分線的性質(zhì)（2）復(fù)習(xí)提問:1、角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2、應(yīng)用定理的前提條件是：有角的平分線，有垂直距離例1如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等ABCPMNDEF反過來，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．思考證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）

∴∠QOD＝∠QOE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：例2如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．GHM練一練:

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處拓展與延伸拓展與延伸3、已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA例3如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上,

QD⊥OA,QE⊥OB,

∴

QD＝QE課堂小結(jié)作業(yè)：1、課本P22第3、4題2、《全效學(xué)習(xí)》P17-18全等三角形的判定總結(jié)

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語言表達(dá)為：

三角形全等判定方法1知識(shí)梳理:

三角形全等判定方法2用符號(hào)語言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”)知識(shí)梳理:FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）在△ABC和△DEF中∴

△ABC≌△DEF（ASA）

有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）。用符號(hào)語言表達(dá)為：FEDCBA

三角形全等判定方法3知識(shí)梳理:知識(shí)梳理:

思考:在△ABC和△DFE中,當(dāng)∠A=∠D,∠C=∠F和AB=DE時(shí),能否得到△ABC≌△DFE?

三角形全等判定方法4

有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“AAS”）。知識(shí)梳理:ABDABCSSA不能判定全等典型例題:例1(2006浙江):如圖,點(diǎn)B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC≌ΔABD,可補(bǔ)充的一個(gè)條件是

.分析：現(xiàn)在我們已知

A→∠CAB=∠DAB①用SAS,需要補(bǔ)充條件AB=AC,

②用ASA,需要補(bǔ)充條件∠CBA=∠DBA,

③用AAS,需要補(bǔ)充條件∠C=∠D,④此外,補(bǔ)充條件∠CBE=∠DBE也可以(?)

SASASAAASS→AB=AB(公共邊).AB=AC∠CBA=∠DBA∠C=∠D∠CBE=∠DBE典型例題:例2(2006湖南株洲):如圖,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,請(qǐng)你增加一個(gè)條件是

.分析:現(xiàn)在我們已知

S→AE=AD①用SAS,需要補(bǔ)充條件AB=AC,

②用ASA,需要補(bǔ)充條件∠ADB=∠AEC,

③用AAS,需要補(bǔ)充條件∠B=∠C,④此外,補(bǔ)充條件∠BDC=∠BEC也可以(?)

SASASAAAS(CD=BE行嗎?)A→∠A=∠A(公共角).例3(2006湖北十堰):如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個(gè).A.4B.3C.2D.1典型例題:∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,

即∠BAC=∠EAD例3(2006湖北十堰):如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個(gè).A.4B.3C.2D.1典型例題:在ΔABC和ΔAED中AC=AD∠BAC=∠EADAB=AE∴ΔABC≌ΔAED(SAS)AB=AE①AB=AE例3(2006湖北十堰):如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個(gè).A.4B.3C.2D.1典型例題:在ΔABC和ΔAED中AC=AD∠BAC=∠EADBC=ED∴ΔABC與ΔAED不全等BC=ED②BC=ED例3(2006湖北十堰):如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個(gè).A.4B.3C.2D.1典型例題:在ΔABC和ΔAED中AC=AD∠BAC=∠EAD∠C=∠D∴ΔABC≌ΔAED(ASA)∠C=∠D③∠C=∠D,例3(2006湖北十堰):如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個(gè).A.4B.3C.2D.1典型例題:在ΔABC和ΔAED中AC=AD∠BAC=∠EAD∠B=∠E∴ΔABC≌ΔAED(AAS)∠B=∠E∠B=∠E,B例4(2007金華):如圖,A,E,B,D在同一直線上,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,在ΔABC和ΔDEF,(1)求證:ΔABC≌ΔDEF;典型例題:(1)證明:∵AC∥DF(已知)∴∠A=∠D(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)AB=DE(已知)∠A=∠D(已證)AC=DF(已知)∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)在ΔABC和ΔDEF中例4(2007金華):如圖,A,E,B,D在同一直線上,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,(2)你還可以得到的結(jié)論是

.(寫出一個(gè),不再添加其他線段,不再表注或使用其他字母)典型例題:解:根據(jù)”全等三角形的對(duì)應(yīng)邊(角)相等”可知:②∠C=∠F,③∠ABC=∠DEF,④EF∥BC,⑤AE=DB等①BC=EF,例5已知:如圖,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求證:∠B=∠D.典型例題:證明:∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠DAC