高三數(shù)學(xué)正態(tài)分布

1.5正態(tài)分布正態(tài)分布在上一小節(jié)中，我們作出了100個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖，并指出了當(dāng)樣本容量無限增大時，這個頻率分布直方圖無限接近于如圖1－3所示的一條總體密度曲線．產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：f(x)=，x∈(－∞,+∞)①式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個總體是有無限容量的抽象總體，其分布叫做正態(tài)分布．正態(tài)分布由參數(shù)，唯一確定．因此，正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．①的圖象被稱為正態(tài)曲線．圖1－4中畫出了三條正態(tài)曲線：（1）μ=－1，σ=0.5；（2）μ=0，σ=1；（3）μ=1，σ=2．正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征．μ=－1，σ=0.5μ=0，σ=1μ=1，σ=2在實際中遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布．例如：生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如電子管的使用壽命、電容器的電容量、零件的尺寸、鐵水的含碳量、纖維的纖度、……）一般都服從正態(tài)分布．在測量中，測量結(jié)果一般可以表示為ξ=a+η.其中a表示被測量的量的真值（未知常數(shù)），η表示測量的隨機誤差，ξ和η一般都服從正態(tài)分布．在生物學(xué)中，同一群體的某種特征（如某一地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征，如身高、體重、肺活量），在一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等，一般也服從正態(tài)分布．在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位，也都服從或近似服從正態(tài)分布．

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位．在函數(shù)①中，當(dāng)μ=0，σ=1時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時相應(yīng)的函數(shù)表示式是

f(x)=，x∈(－∞,+∞)②相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，如圖1－4（2）所示．從圖1－4看到，正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交；（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱；（3）曲線在x=μ時位于最高點．（4）當(dāng)x<μ時，曲線上升；當(dāng)x>μ時，曲線下降．并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近．（5）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中（圖1－5）．由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”（見附表2）．在這個表中，相應(yīng)于x0的值中Ф(x0)是指總體取值小于x0的概率，即Ф(x0)=P(x<x0).如圖1－6（1）中左邊陰影部分所示．由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，表中僅給出了對應(yīng)于非負值x0的值Ф(x0)．如果x0<0，那么由圖1－6（2）中兩個陰影部分面積相等知Ф(x0)=1－Ф(－x0)利用這個表，可求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(x1，x2)內(nèi)取值的概率．例如它在(－1，2)內(nèi)取值的概率是P=Ф(2)－Ф(－1)=Ф(2)－{1－Ф[－(－1)]}=Ф(2)+Ф(1)－1=0.9772+0.8413－1=0.8185．一般的正態(tài)總體N(μ,σ2)均可以化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)來進行研究．事實上，可以證明，對任一正態(tài)總體N(μ,σ2)來說，取值小于x的概率F(x)=Ф()．例如，對于正態(tài)總體N(1，4)來說，取值小于3的概率,μ=1,σ=2，F(xiàn)(3)=Ф()=Ф(1)=0.8413．例1．分別求正態(tài)總體N(μ,σ2)在區(qū)間(μ－σ,μ+σ)，(μ－2σ,μ+2σ)，(μ－3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率．解：F(μ+σ)=Ф()=Ф(1),F(μ－σ)=Ф()=Ф(－1),所以正態(tài)總體N(μ,σ2)在(μ－σ，μ+σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1)=Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1=2×0.8413－1≈0.683；同理，正態(tài)總體N(μ，σ

2)在的(μ－2σ，μ+2σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2)≈0.954；正態(tài)總體N(μ，σ2)在的(μ－3σ，μ+3σ)內(nèi)取值的概率是F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3)≈0.997；上述計算結(jié)果可用下表和圖1－7來表示．下面以正態(tài)總體為例，說明統(tǒng)計中常用的假設(shè)檢驗方法的基本思想．我們從上表看到，正態(tài)總體在(μ－2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于這些概率值很小，通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件．也就是說，通常認為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的．我們來看一個例子．假設(shè)工人制造的零件尺寸在正常情況下服從某種分布．為便于說明，不妨假設(shè)它服從正態(tài)分布N(μ,σ

2)，那么從上面知道，零件尺寸在(μ－3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率為99.7％，即零件尺寸落在(μ－3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.3％．這是一個小概率事件．它表明在大量重復(fù)試驗中，平均每抽取1000個零件，屬于這個范圍以外的零件尺寸只有3個．因此在一次試驗中，零件尺寸在(μ－3σ,μ+3σ)以外是幾乎不可能發(fā)生的，而如果這種事件一旦發(fā)生，即產(chǎn)品尺寸a滿足|a－μ|≥3σ，我們就有理由認為這時制造的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的假設(shè)是不成立的，它說明生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況，比如可能原料、刀具、機器出了問題，或可能工藝規(guī)程不完善，或可能工人操作時精力不集中、未遵守操作規(guī)程等，需要停機檢查，找出原因，以將生產(chǎn)過程重新控制在一種正常狀態(tài)，從而及時避免繼續(xù)生產(chǎn)廢、次品，保證產(chǎn)品的質(zhì)量．上面控制生產(chǎn)過程的方法，運用了統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原理和從總體中抽測的個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．目前在生產(chǎn)中廣泛運用的控制圖，就是根據(jù)上述假設(shè)檢驗的基本思想制作的．我們把圖1－8（1）按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°就得到一張控制圖（圖1－8（2）．圖1－8（1）中的直線x=μ，x=μ－3σ，x=μ+3σ分別成為圖1－8（2）中的中心線、控制下界和控制上界．在生產(chǎn)過程中，從某一時刻起（例如從上午9時起），每隔一定時間（例如1小時）任取1個零件進行檢查，并把其尺寸用圓點在圖上表示出來，為了便于看出圓點變動的趨勢，常用折線將它們連接起來．

從圖1－8（2）中看到，前3個圓點都在控制界限之內(nèi)，可認為生產(chǎn)情況正常；但第4個點超出了控制上界，可認為有異常情況發(fā)生，應(yīng)該立即停機檢查．例2．服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機變量的概率密度函數(shù)是f(x)=，x∈(－∞,+∞)，試確定f(x)的奇偶性、增減區(qū)間和最值．解：f(－x)===f(x),∴f(x)是偶函數(shù)，x∈R時,f(x)>0，而|x|無限增大時，f(x)無限接近0，故f(x)無最小值．f(x)≤f(0)=，f(x)由最大值f(0)=.∵函數(shù)y=e－t關(guān)于t是單調(diào)減少的，即關(guān)于x2單調(diào)減少，所以x∈(－∞，0)時，f(x)單調(diào)增加，x∈(0，+∞)時，f(x)單調(diào)減少．例3．設(shè)ξ~N(1，22)，試求：（1）P(0<ξ≤2)，P(5<ξ<7)，P(ξ≥2.3)；（2）求常數(shù)c，使P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)．（1）P(0<ξ≤2)，P(5<ξ<7)，P(ξ≥2.3)；解（l）P(0<ξ≤2)=Ф()－Ф()=Ф(0.5)－[1－Ф(0.5)]=2×0.6915－1=0.3830P(ξ≥2.3)=l－P(ξ<2.3)=1－Ф()=1－Ф(0.65)=1－0.7422=0.2578.P(5<ξ<7)=Ф()－Ф()=Ф(3)－Ф（2）=0.9987－0.9773=0.0214．（2）求常數(shù)c，使P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)．（2）P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)，

1－Ф()=2Ф(),Ф()=,查表得=－0.43，故c=0.14為所求．

例4．某廠生產(chǎn)的零件直徑ξ～N(8，0.152)（mm），現(xiàn)從生產(chǎn)流水線上隨機取出一個零件，測得其外直徑為7.5mm，問流水線生產(chǎn)正常嗎？解：P（ξ≤7.5）=Ф()=Ф(－3.33)=1－Ф(3.33)=0.0005，這是一個小概率事件，在一次試驗中小概率事件幾乎不可能發(fā)生，故認為流水線生產(chǎn)不正常．練習(xí)題1．如果隨機變量ξ～N(μ,σ2)，且Eξ=3，Dξ=1，則P(－1<ξ≤1)等于（

）（A）2Ф(1)－1（B）Ф(4)－Ф(2)（C）Ф(2)－Ф(4)（D）Ф(－4)－Ф(－2)B對正態(tài)分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P(－l<ξ≤1)=Ф(1－3)－Ф(－l－3)=Ф(－2)－Ф(－4)=Ф(4)－Ф(2)2．如果隨機變量ξ～N(0，1)，則η=（）~N(μ,σ2)．（

）（A）（B）σξ－μ

（C）σξ+μ

（D）σ(ξ+μ)C若η～N(μ，σ2)，則ξ=~N(0，1)，故η=σξ+μ

3．設(shè)某地區(qū)某一年齡段的兒童的身高服從均值為135cm，方差為100的正態(tài)分布，令ξ表示從中隨機抽取的一名兒童的身高，則下列概率中最大的是（

）（A）P（120<ξ<125）（B）P（125<ξ<l35）（C）P（130<ξ<140）（D）P（135<ξ<145）C由正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形可以看出，正態(tài)變量落在相同區(qū)間長度內(nèi)的概率是不同的，區(qū)間中心越靠近期望值，概率越大，故應(yīng)選C

4．某次考試成績：ξ～N（a，52），隨機抽查了10位同學(xué)的成績，其平均值為72.5，標(biāo)準(zhǔn)差為5.3，則a的估計值為

.72.5

a即為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該用樣本均值72.5估計它

5．若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則正態(tài)曲線的形狀與σ有關(guān)，σ越

，曲線越“矮胖”；正態(tài)曲線的位置與μ有關(guān)，μ越

，曲線越向左移·大小

6．設(shè)在某次英語考試中，考生的分數(shù)ξ～N（90，122），則得分在72分以下、72分到108分、108分以上的概率分別為

.0.0668