新教材高中數(shù)第6章平面向量及其應用6向量的加法運算案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-6.2平面向量的運算6.學習任務核心素養(yǎng)1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及運算律．(難點)2．掌握向量加法運算法則，能熟練地進行向量加法運算．(重點)3．能區(qū)分數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點)1．教材從幾何角度給出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，結合了對應的物理模型，提升直觀想象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．2．對比數(shù)的加法，給出了向量的加法運算律，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一桶水，兩人手臂夾角越小越省力．在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力．問題：你能從數(shù)學的角度解釋上述現(xiàn)象嗎？知識點1向量的加法1．向量加法的定義(1)定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．(2)對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a．2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up7(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b3．|a＋b|與|a|、|b|之間的關系一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？[提示]不是，向量相加要考慮大小及方向，而模相加是數(shù)量的加法．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)任意兩個向量的和仍然是一個向量． ()(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加． ()(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線． ()(4)|a|＋|b|＞|a＋b|． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×知識點2向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a．(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up7(→))B．eq\o(CA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))D．eq\o(DC,\s\up7(→))(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝________．(3)小船以10eq\r(,3)km/h的速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10km/h，則小船實際航行速度的大小為________km/h．(1)C(2)eq\o(DB,\s\up7(→))(3)20[(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))．(2)由平行四邊形法則可知eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))．(3)根據(jù)平行四邊形法則，因為水流方向與船速方向垂直，所以小船實際速度的大小為eq\r(,10\r(,3)2＋102)＝20(km/h)．]類型1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【例1】(1)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個向量)：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝________；②eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________；③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________．(2)(對接教材P8例1)①如圖甲所示，求作向量和a＋b；②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c．甲乙1．向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同？兩者有何聯(lián)系？[提示](1)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的．如圖所示，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))(平行四邊形法則)，又因為eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))(三角形法則)．2．設A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內的點，則一般情況下，eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An的運算結果是什么？[提示]將三角形法則進行推廣可知eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up7(→))．(1)①eq\o(AC,\s\up7(→))②eq\o(AB,\s\up7(→))③eq\o(AC,\s\up7(→))[如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．②eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))．③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．](2)[解]①首先作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．如圖所示．②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up7(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，以OA，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．再以OD，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b＋c，即為所求．1．在本例(1)條件下，求eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))．[解]因為BC∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))．2．在本例(1)圖形中求作向量eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))．[解]過A作AG∥DF交CF的延長線于點G，則eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(DG,\s\up7(→))，作eq\o(GH,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→))，連接eq\o(DH,\s\up7(→))，則eq\o(DH,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))，如圖所示．1．應用三角形法則應注意的問題使用三角形法則求兩個向量的和時，應注意“首尾相連，起點指終點”，即首尾相連的兩個向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點．2．應用平行四邊形法則應注意的問題(1)平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個向量的和．(2)基本步驟可簡述為：共起點，兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形，找共起點的對角線對應的向量．eq\o([跟進訓練])1．如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝()A．eq\o(OE,\s\up7(→)) B．eq\o(OF,\s\up7(→))C．eq\o(OG,\s\up7(→)) D．eq\o(OH,\s\up7(→))B[以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，則OP與OQ之間的對角線OF對應的向量eq\o(OF,\s\up7(→))即所求向量．]類型2向量加法運算律的應用【例2】(1)化簡：①eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))．(2)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：①eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))；②eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))．[解](1)①eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝0．③eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＝0．(2)①eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GE,\s\up7(→))．②eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝0．向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．實際上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行．(2)應用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．eq\o([跟進訓練])2．向量(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))＋(eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→)))＋eq\o(OP,\s\up7(→))化簡后等于()A．eq\o(BC,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AM,\s\up7(→))D[原式＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→)))＋(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\o(AM,\s\up7(→))＋0＝eq\o(AM,\s\up7(→))．]類型3向量加法的實際應用【例3】如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的質量忽略不計)．[解]如圖所示，設eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up7(→))表示，則eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CG,\s\up7(→))．易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．∴|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5．∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N．利用向量的加法解決實際應用問題的步驟是什么？你認為有哪些關鍵點和技巧？[提示](1)利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟(2)三個關鍵：一是搞清構成平面圖形的向量間的相互關系；二是熟練找出圖形中的相等向量；三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量．(3)應用技巧：①準確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉化為向量；②將所求問題轉化為向量的加法運算，進而利用向量加法的幾何意義進行求解．eq\o([跟進訓練])3．如圖所示，在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和．[解]設eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|；兩次飛行的位移的和是eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．依題意，有|eq\o(AB,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(,\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2＋|\o(BC,\s\up7(→))|2))＝eq\r(,8002＋8002)＝800eq\r(,2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°．從而飛機飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\r(1．(多選題)下列各式一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|ABC[A，B，C項滿足運算律及運算法則，而D項向量和的模不一定與向量模的和相等，需滿足三角形法則．]2．(多選題)對于任意一個四邊形ABCD，下列式子能化簡為eq\o(BC,\s\up7(→))的是()A．eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))ABD[在A中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o