新教材高中數(shù)第6章平面向量及其應(yīng)用6向量的加法運(yùn)算案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-6.2平面向量的運(yùn)算6.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及運(yùn)算律．(難點(diǎn))2．掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行向量加法運(yùn)算．(重點(diǎn))3．能區(qū)分?jǐn)?shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點(diǎn))1．教材從幾何角度給出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合了對(duì)應(yīng)的物理模型，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．對(duì)比數(shù)的加法，給出了向量的加法運(yùn)算律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一桶水，兩人手臂夾角越小越省力．在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力．問(wèn)題：你能從數(shù)學(xué)的角度解釋上述現(xiàn)象嗎？知識(shí)點(diǎn)1向量的加法1．向量加法的定義(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．(2)對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a．2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up7(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b3．|a＋b|與|a|、|b|之間的關(guān)系一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時(shí)等號(hào)成立．兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎？[提示]不是，向量相加要考慮大小及方向，而模相加是數(shù)量的加法．1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量． ()(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加． ()(3)任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線． ()(4)|a|＋|b|＞|a＋b|． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×知識(shí)點(diǎn)2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a．(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up7(→))B．eq\o(CA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))D．eq\o(DC,\s\up7(→))(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝________．(3)小船以10eq\r(,3)km/h的速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為10km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為_(kāi)_______km/h．(1)C(2)eq\o(DB,\s\up7(→))(3)20[(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))．(2)由平行四邊形法則可知eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))．(3)根據(jù)平行四邊形法則，因?yàn)樗鞣较蚺c船速方向垂直，所以小船實(shí)際速度的大小為eq\r(,10\r(,3)2＋102)＝20(km/h)．]類型1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【例1】(1)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個(gè)向量)：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝________；②eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________；③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________．(2)(對(duì)接教材P8例1)①如圖甲所示，求作向量和a＋b；②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c．甲乙1．向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同？?jī)烧哂泻温?lián)系？[提示](1)三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和．(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的．如圖所示，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))(平行四邊形法則)，又因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))(三角形法則)．2．設(shè)A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內(nèi)的點(diǎn)，則一般情況下，eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An的運(yùn)算結(jié)果是什么？[提示]將三角形法則進(jìn)行推廣可知eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up7(→))．(1)①eq\o(AC,\s\up7(→))②eq\o(AB,\s\up7(→))③eq\o(AC,\s\up7(→))[如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則可知：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．②eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))．③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．](2)[解]①首先作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．如圖所示．②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up7(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b．再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b＋c，即為所求．1．在本例(1)條件下，求eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))．[解]因?yàn)锽C∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))．2．在本例(1)圖形中求作向量eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))．[解]過(guò)A作AG∥DF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(DG,\s\up7(→))，作eq\o(GH,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→))，連接eq\o(DH,\s\up7(→))，則eq\o(DH,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))，如圖所示．1．應(yīng)用三角形法則應(yīng)注意的問(wèn)題使用三角形法則求兩個(gè)向量的和時(shí)，應(yīng)注意“首尾相連，起點(diǎn)指終點(diǎn)”，即首尾相連的兩個(gè)向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)．2．應(yīng)用平行四邊形法則應(yīng)注意的問(wèn)題(1)平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個(gè)向量的和．(2)基本步驟可簡(jiǎn)述為：共起點(diǎn)，兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形，找共起點(diǎn)的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝()A．eq\o(OE,\s\up7(→)) B．eq\o(OF,\s\up7(→))C．eq\o(OG,\s\up7(→)) D．eq\o(OH,\s\up7(→))B[以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形，則OP與OQ之間的對(duì)角線OF對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OF,\s\up7(→))即所求向量．]類型2向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用【例2】(1)化簡(jiǎn)：①eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))．(2)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：①eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))；②eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))．[解](1)①eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．②eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝0．③eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＝0．(2)①eq\o(DG,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(GC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(GE,\s\up7(→))．②eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EG,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝0．向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的．實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行．(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．向量(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))＋(eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→)))＋eq\o(OP,\s\up7(→))化簡(jiǎn)后等于()A．eq\o(BC,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AM,\s\up7(→))D[原式＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→)))＋(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\o(AM,\s\up7(→))＋0＝eq\o(AM,\s\up7(→))．]類型3向量加法的實(shí)際應(yīng)用【例3】如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的質(zhì)量忽略不計(jì))．[解]如圖所示，設(shè)eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up7(→))表示，則eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CG,\s\up7(→))．易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．∴|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CG,\s\up7(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5．∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N．利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟是什么？你認(rèn)為有哪些關(guān)鍵點(diǎn)和技巧？[提示](1)利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟(2)三個(gè)關(guān)鍵：一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關(guān)系；二是熟練找出圖形中的相等向量；三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量．(3)應(yīng)用技巧：①準(zhǔn)確畫(huà)出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量；②將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算，進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖所示，在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．[解]設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|；兩次飛行的位移的和是eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))．依題意，有|eq\o(AB,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(,\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2＋|\o(BC,\s\up7(→))|2))＝eq\r(,8002＋8002)＝800eq\r(,2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向?yàn)楸逼珫|35°＋45°＝80°．從而飛機(jī)飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\r(1．(多選題)下列各式一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|ABC[A，B，C項(xiàng)滿足運(yùn)算律及運(yùn)算法則，而D項(xiàng)向量和的模不一定與向量模的和相等，需滿足三角形法則．]2．(多選題)對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD，下列式子能化簡(jiǎn)為eq\o(BC,\s\up7(→))的是()A．eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))ABD[在A中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o