函數(shù)的奇偶性 省賽獲獎

一、復(fù)習(xí)回顧1、增函數(shù)與減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最值的定義2、利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟取值作差變形定號下結(jié)論3、函數(shù)單調(diào)性是對于定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。一、新課引入1.3.2函數(shù)的奇偶性第1課時函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱(x，f(x))(-x，f(-x))這兩個點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？請觀察下面兩個函數(shù)圖像，并思考：(1)這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征嗎？(2)計算f(-3)，f(3)；f(-2)，f(2)；f(-1)，f(1)當(dāng)自變量任取兩個互為相反數(shù)的值時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，f(-x)=f(x)。y=x2y=|x|一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。思考：定義中“任意一個x，都有f(-x)=f(x)成立”說明了什么？

說明f(-x)與f(x)都有意義，即-x、x

必須同時屬于定義域，因此偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。二、基礎(chǔ)知識講解1、偶函數(shù)的定義：練習(xí)1、判斷下面兩個函數(shù)是否是偶函數(shù)？并說明理由f(x)=5x2+3，x∈[-3，3]；f(x)=5x2+3，x∈[-3，2]；2、已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出函數(shù)y=f(x)在y

軸左邊的圖象xyo畫出這些點關(guān)于y軸的對稱點，例如點A1、A2、A3、A4、A5的對稱點，分別為A1’、A2’、A3’、A4’、A5’用一條光滑曲線把畫出的點連接起來，例如用平滑曲線連接點A1’,A2’,A3’,A4’,A5’后，就得到函數(shù)y=f(x)在y軸左邊的圖象。

在y軸右邊的圖象上取幾個點。例如取點A1、A2、A3、A4、A5(這些點一般應(yīng)包括圖象的最低點、最高點等）。A1A2A3A4A5A1’A2’A3’A4’A5’圖象關(guān)于原點對稱思考：那么關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢？當(dāng)自變量任取兩個互為相反數(shù)的值時，對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)。(x，f(x))(-x，f(-x))二、基礎(chǔ)知識講解一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。思考：定義中“任意一個x，都有f(-x)=-f(x)成立”說明了什么？說明f(-x)與f(x)都有意義，即-x、x必須同時屬于定義域，因此奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的。2、奇函數(shù)的定義：由此可見，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。二、基礎(chǔ)知識講解練習(xí)3、課本P.35思考題(1)函數(shù)的奇偶性是對函數(shù)的整個定義域而言的，是函數(shù)的整體性質(zhì)，要與單調(diào)性區(qū)別開來。(2)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。(3)圖象的特征：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。3、函數(shù)奇偶性定義中應(yīng)注意：二、基礎(chǔ)知識講解(1)(2)(3)(4)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)判斷下列函數(shù)的奇偶性ooooxxxxyyyy５y＝５0yx偶函數(shù)yx0y＝０是奇函數(shù)也是偶函數(shù)(5)(6)函數(shù)按奇偶性可分為四類例1、已知函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。證明：∵f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)∴f(x)=-f(x)∴2f(x)=0，即f(x)=0.這樣的函數(shù)有多少個呢？求證：f(x)=0三、例題分析例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：三、例題分析4、判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟：(1)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則得出結(jié)論：該函數(shù)無奇偶性。若定義域?qū)ΨQ，則進入第二步(2)計算f(-x)，若等于f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)；若等于–f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)。若兩者都不滿足，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。注意：1、若可以作出函數(shù)圖象的，直接觀察圖象是否關(guān)于y軸對稱或者關(guān)于原點對稱。2、判斷奇偶性的方法：①定義法；②圖象法二、基礎(chǔ)知識講解例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：三、例題分析三、例題分析例3、已知函數(shù)y=f(x),x∈[-a,-c]∪[a,c]是偶函數(shù)，部分函數(shù)圖象如下圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

-a-c-bcab思考：若函數(shù)y=f(x),x∈[-a,-c]∪[a,c]是奇函數(shù)？三、例題分析例3、已知函數(shù)y=f(x),x∈[-a,-c]∪[a,c]是偶函數(shù)，部分函數(shù)圖象如下圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

-a-c-bcab小結(jié)：偶函數(shù)f(x)在[a,b]的單調(diào)性與其對稱區(qū)間[-b,-a]的單調(diào)性相反

奇函數(shù)f(x)在[a,b]的單調(diào)性與其對稱區(qū)間[-b,-a]的單調(diào)性相同四、針對性練習(xí)CC4．設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集是______．四、針對性練習(xí)3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(

)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)