【2022-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(學(xué)科版)】考點(diǎn)18-等差數(shù)列(講解)(解析版)

考點(diǎn)18等差數(shù)列【思維導(dǎo)圖】【常見考法】考法一：定義的運(yùn)用1.已知數(shù)列中，，，證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以?shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，即.2．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）【解析】（1）證明：由題意知，，又，故，又易知，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。（2）由（1）知，所以由，可得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為?？挤ǘ褐许?xiàng)性質(zhì)1.等差數(shù)列，，，的第四項(xiàng)等于?！敬鸢浮?【解析】由題得.所以等差數(shù)列的前三項(xiàng)為0,3,6,公差為3，所以等差數(shù)列的第四項(xiàng)為9.2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則。【答案】9【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，解得：3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則?！敬鸢浮?1【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.4．已知，，并且，，成等差數(shù)列，則的最小值為?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)?，，且，，成等差?shù)列，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.5．在等差數(shù)列中，若為方程的兩根，則。【答案】15【解析】為方程的兩根，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，.6．等差數(shù)列中，若，則的值是?！敬鸢浮?6【解析】依題意，由，得，即所以7．在中，若，，成等差數(shù)列，，則當(dāng)取最大值時(shí)，?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)椋?，成等差?shù)列所以所以由正弦定理得由余弦定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)8．ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若角A,【答案】3【解析】∵A,B因?yàn)閍=1,b=3，∴由余弦定理得∴SΔABC9．已知，，且，，成等差數(shù)列，則有最小值?！敬鸢浮?00【解析】由題意可知：，且：，由均值不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.10．設(shè)有四個(gè)數(shù)的數(shù)列,該數(shù)列前項(xiàng)成等比數(shù)列,其和為m,后項(xiàng)成等差數(shù)列,其和為.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為。【答案】【解析】設(shè)的前項(xiàng)為，由于數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列,其和為m,后項(xiàng)成等差數(shù)列,其和為，所以，由（3）（4）得，所以即，先將（2）代入（1），然后將（3）代入（1）得，整理得.考法三：前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)椋?，?2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則=。【答案】1【解析】∵等差數(shù)列{an}中，，∴，∴，．3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則；【答案】60【解析】數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列．S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差數(shù)列．因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．4.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，要使數(shù)列的前項(xiàng)和最大，則的值為?！敬鸢浮?3或12【解析】因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)或時(shí)，最大。5.若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是__________．【答案】【解析】由于等差數(shù)列首項(xiàng)，而，故公差，且，所以，，故使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是.故填：.6．是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則時(shí)的最大值是?！敬鸢浮?034【解析】由所以所以可知等差數(shù)列是單調(diào)遞增的,且前2017項(xiàng)均是負(fù)數(shù)，又即故當(dāng)時(shí)，的最大值是40346．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則滿足的最大自然數(shù)的值為?！敬鸢浮?2【解析】由,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.考點(diǎn)四：實(shí)際運(yùn)用1．《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日?第四日?第七日所走之和為三百九十里，問第一日所走里數(shù)為?！敬鸢浮?00【解析】由題意，該男子每日走的路程數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，，，則，解得，，解得，所以公差，.2．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“某賈人擅營(yíng)，月入益功疾（注：從第2月開始，每月比前一月多入相同量的銅錢），3月入25貫，全年（按12個(gè)月計(jì)）共入510貫”，則該人12月營(yíng)收貫數(shù)為?！敬鸢浮?0【解析】設(shè)每個(gè)月的收入為等差數(shù)列{an}．公差為d．則a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，3．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為?！敬鸢浮?6【解析】根據(jù)題意設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，分析可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，該問題中的1864人全部派遣到位的天數(shù)為，則，依次將選項(xiàng)中的值代入檢驗(yàn)得，滿足方程.4．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，最大的三份之和的是最小的兩份之和，則最小的一份的量是?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可得中間的那份為20個(gè)面包，設(shè)最小的一份為，公差為，由題意可得，解得.5．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共