【2022-高考數(shù)學一輪復習(學科版)】考點18-等差數(shù)列(講解)(解析版)

考點18等差數(shù)列【思維導圖】【常見考法】考法一：定義的運用1.已知數(shù)列中，，，證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，且，所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，即.2．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的通項公式?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）【解析】（1）證明：由題意知，，又，故，又易知，故數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列。（2）由（1）知，所以由，可得，故數(shù)列的通項公式為?？挤ǘ褐许椥再|(zhì)1.等差數(shù)列，，，的第四項等于?！敬鸢浮?【解析】由題得.所以等差數(shù)列的前三項為0,3,6,公差為3，所以等差數(shù)列的第四項為9.2.等差數(shù)列的前項和為，若，則?！敬鸢浮?【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，解得：3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則?！敬鸢浮?1【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.4．已知，，并且，，成等差數(shù)列，則的最小值為?！敬鸢浮?【解析】因為，，且，，成等差數(shù)列，所以，因此，當且僅當，即，時，等號成立.5．在等差數(shù)列中，若為方程的兩根，則。【答案】15【解析】為方程的兩根，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，.6．等差數(shù)列中，若，則的值是?！敬鸢浮?6【解析】依題意，由，得，即所以7．在中，若，，成等差數(shù)列，，則當取最大值時，?！敬鸢浮?【解析】因為，，成等差數(shù)列所以所以由正弦定理得由余弦定理當且僅當時取等號，所以此時8．ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若角A,【答案】3【解析】∵A,B因為a=1,b=3，∴由余弦定理得∴SΔABC9．已知，，且，，成等差數(shù)列，則有最小值?！敬鸢浮?00【解析】由題意可知：，且：，由均值不等式有：，當且僅當時等號成立.10．設有四個數(shù)的數(shù)列,該數(shù)列前項成等比數(shù)列,其和為m,后項成等差數(shù)列,其和為.則實數(shù)m的取值范圍為。【答案】【解析】設的前項為，由于數(shù)列的前項成等比數(shù)列,其和為m,后項成等差數(shù)列,其和為，所以，由（3）（4）得，所以即，先將（2）代入（1），然后將（3）代入（1）得，整理得.考法三：前n項和的性質(zhì)1．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的值為。【答案】6【解析】因為，所以，故.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則=。【答案】1【解析】∵等差數(shù)列{an}中，，∴，∴，．3.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則；【答案】60【解析】數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列．S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差數(shù)列．因為在等差數(shù)列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．4.數(shù)列的通項公式為，要使數(shù)列的前項和最大，則的值為。【答案】13或12【解析】因為，所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當或時，最大。5.若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是__________．【答案】【解析】由于等差數(shù)列首項，而，故公差，且，所以，，故使前項和成立的最大自然數(shù)是.故填：.6．是等差數(shù)列的前項和，，則時的最大值是。【答案】4034【解析】由所以所以可知等差數(shù)列是單調(diào)遞增的,且前2017項均是負數(shù)，又即故當時，的最大值是40346．設等差數(shù)列的前項和，且，則滿足的最大自然數(shù)的值為?！敬鸢浮?2【解析】由,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.考點四：實際運用1．《九章算術》有這樣一個問題：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日?第四日?第七日所走之和為三百九十里，問第一日所走里數(shù)為?！敬鸢浮?00【解析】由題意，該男子每日走的路程數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，，，則，解得，，解得，所以公差，.2．中國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2月開始，每月比前一月多入相同量的銅錢），3月入25貫，全年（按12個月計）共入510貫”，則該人12月營收貫數(shù)為?！敬鸢浮?0【解析】設每個月的收入為等差數(shù)列{an}．公差為d．則a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，3．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為?！敬鸢浮?6【解析】根據(jù)題意設每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，分析可得數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，該問題中的1864人全部派遣到位的天數(shù)為，則，依次將選項中的值代入檢驗得，滿足方程.4．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每個人所得成等差數(shù)列，最大的三份之和的是最小的兩份之和，則最小的一份的量是。【答案】【解析】由題意可得中間的那份為20個面包，設最小的一份為，公差為，由題意可得，解得.5．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著．在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共