統(tǒng)計學(xué)課件(第3章)

第3章概率、概率分布與抽樣分布1統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率一、試驗、事件與樣本空間

1.必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）：變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果。這種關(guān)系通?？梢杂霉交蚨蓙肀硎尽?/p>

十五的月亮比初十圓！2統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率隨機現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象）：是指條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象，即在一定條件下，某一個現(xiàn)象可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。我們稱這些現(xiàn)象為隨機現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象。但大量觀察的結(jié)果會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性——統(tǒng)計規(guī)律性。3統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率2.隨機試驗隨機試驗：是指從某一研究目的出發(fā)，對隨機現(xiàn)象進(jìn)行的觀察、測量或試驗均可稱為隨機試驗。

■隨機試驗必須滿足下列三個條件：第一、試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；第二、試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的；第三、每次試驗前不能肯定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。4統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率3.隨機事件隨機事件：是指隨機試驗的每一種結(jié)果或表現(xiàn)，即稱為一個隨機事件?；臼录颖军c）不可能再分成為兩個或更多事件的事件4.樣本空間（Ω）基本事件的全體（全集）5統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率隨機事件的兩種特例必然事件在一定條件下，每次試驗都必然發(fā)生的事件只有樣本空間

才是必然事件不可能事件在一定條件下，每次試驗都必然不會發(fā)生的事件不可能事件是一個空集（Φ）6統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率二、隨機事件的概率概率用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值確定隨機事件概率的三條途經(jīng)，下面給出概率的三種定義。7統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

1.古典概率（等可能概率）具有兩個共同特點：

●

每次試驗的可能結(jié)果有限（即樣本空間中基本事件總數(shù)有限）

●

每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同它是概率論的發(fā)展過程中人們最早研究的對象

8統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率概率的古典定義(例1)前提：古典概型定義（公式）9統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

2.統(tǒng)計概率若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n次試驗中，事件A發(fā)生了m次，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數(shù)的增加而縮小，則定義p為事件A發(fā)生的概率，記為：P(A)=p≈m/n。10統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

3.主觀概率凡是依據(jù)人們的主觀判斷而估計的隨機事件發(fā)生的可能性大小稱為主觀概率。

4.三種概率定義的關(guān)系（例）古典概率和統(tǒng)計概率都屬于客觀概率，它們的確定完全取決于對客觀條件的理論分析或是大量重復(fù)試驗的事實。主觀概率是依據(jù)人們的經(jīng)驗、專業(yè)知識、對事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析而作出的主觀判斷，不同的人對同一事件給出的概率往往有一定差異。11統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

三、概率的性質(zhì)和運算法則1.概率的性質(zhì)非負(fù)性：對于任意事件A，P(A)≥0規(guī)范性：任一事件A的概率是一個介于0與1之間的數(shù)值，即0≤P(A)≤1。必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P(Ω)=1；P(Φ)=0。若兩個事件A與B不可能同時發(fā)生（稱它們?yōu)榛コ馐录瑒t它們至少有一個發(fā)生（記為A∪B）的概率等于它們各自發(fā)生的概率之和，即有：P(A∪B)=P(A)+P(B)。12統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率2.概率的運算法則

（1）加法公式

互斥事件的加法公式（例2、3）

·互斥事件（互不相容事件）：是指不可能同時發(fā)生的事件，即一個事件發(fā)生時另一個事件就不可能發(fā)生。相容事件的加法公式（例4、5）

·相容事件：兩個事件有可能同時發(fā)生。

?ABAB?AB13統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

（2）乘法公式（例5、6）條件概率

·條件概率：在某些附加條件下計算的概率。

其中：P(B)>0乘法公式與事件的獨立性14統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.1事件及其概率

（3）全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式實質(zhì)上就是加法公式和乘法公式的綜合運用和推廣。全概率公式貝葉斯公式15統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布一、隨機變量·隨機變量：用數(shù)值來描述隨機試驗結(jié)果的變量取值是隨機的，事先不能確定取哪一個值一個取值對應(yīng)隨機試驗的一個可能結(jié)果·根據(jù)取值特點的不同，一般可將隨機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量——取值可以一一列舉連續(xù)型隨機變量——取值不能一一列舉16統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布二、離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布（見教材P76)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差（后面講）幾種常用的離散型隨機變量的概率分布（略）

17統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布三、連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布只能用數(shù)學(xué)函數(shù)和圖形來表示數(shù)學(xué)函數(shù)——概率密度函數(shù)和分布函數(shù)圖形——概率密度曲線和分布函數(shù)曲線用來表示連續(xù)型隨機變量概率分布的函數(shù)有概率密度函數(shù)（簡稱概率密度）和分布函數(shù)。1.概率密度函數(shù)

假設(shè)X是一連續(xù)型隨機變量，它代表某一區(qū)間或多個區(qū)間中的任意數(shù)值，它的概率分布通過概率密度函數(shù)來表述，記作。

18統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布

·概率密度函數(shù)f(x)的函數(shù)值并不是隨機變量取值的概率，連續(xù)型隨機變量在給定區(qū)間內(nèi)取值的概率對應(yīng)的是概率密度函數(shù)f(x)

曲線（或直線）在該區(qū)間上圍成的面積。即，由x軸以上、概率密度曲線下方面積來表示這一概率。這樣，求概率問題就可以轉(zhuǎn)換為對概率密度函數(shù)采用定積分的方法來解決。

·連續(xù)型隨機變量取某個特定值的概率等于0

·只能計算隨機變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率19統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布概率密度f(x)的性質(zhì)

·f(x)≥0。概率密度是非負(fù)函數(shù)。

·所有區(qū)域上取值的概率總和為1。f(x)xab20統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布

2.分布函數(shù)●適用于兩類隨機變量概率分布的描述●分布函數(shù)的定義：●

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

隨機變量X落在一定區(qū)間（a，b]上的概率可以用分布函數(shù)表示為：21統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布

3.隨機變量的數(shù)字特征●隨機變量的數(shù)學(xué)期望通常又稱為均值，即隨機變量的所有可能取值的平均值。它描述一個隨機變量的概率分布的中心位置，常用E(X)或μ表示?！耠S機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機變量X的方差是它的各個可能取值偏離其均值的離差平方的均值，通常記為D(X)或。

即：標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根。通常記為或。22統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布四、常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布模型

1.均勻分布隨機變量X服從均勻分布，假若隨機變量X只在一個有限區(qū)間[а，b]上取值，就意味著它落在區(qū)間[а，b]上的任一等長子區(qū)間的概率是相等的。23統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布

2.正態(tài)分布

X～N(μ、σ2

)，其概率密度為：正態(tài)曲線的主要性質(zhì)：

●

一條關(guān)于x=μ對稱的鐘形曲線

●

參數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置

●

參數(shù)σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度

●以X軸為漸近線，即當(dāng)x→±∞時，f(x)→0σ相同而μ不同的正態(tài)曲線

2

xf(x)μ相同而σ不同的正態(tài)曲線f(x)σ較小σ較大

x24統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.2隨機變量及其概率分布

3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X～N(0、12

)，其概率密度為：若隨機變量，令，則隨機變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即。若，用表示Z的分布函數(shù)，則具有如下性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線

-a

0aφ(z)zΦ(a)25統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法簡單隨機抽樣分層抽樣整群抽樣系統(tǒng)抽樣多階段抽樣概率抽樣方便抽樣判斷抽樣自愿樣本滾雪球抽樣配額抽樣非概率抽樣抽樣方式26統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法一、簡單隨機抽樣

1.從總體N個單位中隨機地抽取n個單位作為樣本，使得每一個總體單位都有相同的機會(概率)被抽中。

2.抽取樣本的具體方法有重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣

●重復(fù)抽樣：是在抽樣方法中，可能會使某一個單位被重復(fù)抽中的抽樣方法。

●不重復(fù)抽樣：是不可能使一個總體單位被重復(fù)抽中的抽樣方法。27統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法

3.特點

●簡單、直觀，在抽樣框完整時，可直接從中抽取樣本

●用樣本統(tǒng)計量對目標(biāo)量進(jìn)行估計比較方便

●抽樣調(diào)查中應(yīng)用最多、也是最基本的抽樣方法之一

4.局限性●當(dāng)N很大時，不易構(gòu)造抽樣框●抽出的單位很分散，給實施調(diào)查增加了困難●沒有利用其他輔助信息以提高估計的效率28統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法二、分層抽樣

1.概念●分層抽樣（分類抽樣）：將總體單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層，然后從不同的層中獨立、隨機地抽取樣本。

2.優(yōu)點●分層抽樣除了可以對總體進(jìn)行估計外，還可以對各層的子總體進(jìn)行估計；●分層抽樣可以按自然區(qū)域或行政區(qū)域進(jìn)行分層，使抽樣的組織和實施都比較方便；29統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法●分層抽樣的樣本分布在各個層內(nèi)，從而使樣本在總體中的分布比較均勻；●如果分層抽樣做得好，可以提高估計的精度。

3.注意●在分層或分類時，應(yīng)使層內(nèi)各單位的差異盡可能小，而使層與層之間的差異盡可能大。30統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法三、系統(tǒng)抽樣

1.概念●系統(tǒng)抽樣：是指總體各單位按某一標(biāo)志順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機地抽取一個單位作為初始單位，再按一定間隔抽取調(diào)查單位的抽樣方法。也稱等距抽樣或機械抽樣。

2.優(yōu)點●簡便易行?！駱颖痉植急容^均勻，抽樣誤差要小于簡單隨機抽樣。31統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.3常用的抽樣方法四、整群抽樣

1.概念●整群抽樣：將總體中若干個單位合并為組(群),抽樣時直接抽取群，然后對中選群中的所有單位全部實施調(diào)查。

2.優(yōu)點●只要有群的名單就可以進(jìn)行抽樣，而群的名單比較容易得到；●調(diào)查的地點比較集中，調(diào)查比較方便，節(jié)約費用。32統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布一、概念抽樣分布：是由樣本n個觀察值計算的統(tǒng)計量的概率分布。抽樣分布的形成過程總體樣本計算樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比率、方差33統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布二、抽樣分布的形式樣本均值抽樣分布的形式與原有總體的分布和樣本容量n的大小有關(guān)。如果原有總體是正態(tài)分布，那么，無論樣本容量的大小，樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布；如果原有總體的分布是非正態(tài)分布，隨著樣本容量n的增大(通常要求n≥30)，樣本均值的抽樣分布都將趨于正態(tài)分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為總體均值μ

，方差為總體方差的1/n。34統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布如果是小樣本（n＜30

）且總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，則只能用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，這時樣本均值的抽樣分布則服從于自由度為（n-1）的t分布。t分布的密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的密度函數(shù)非常相似，而且隨著自由度n的增加，t分布的密度函數(shù)越來越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。在實際應(yīng)用中，一般當(dāng)n≥30時，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就非常接近。35統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布三、抽樣分布的特征設(shè)總體共有N個單位，其均值為，方差為，從中抽取容量為n的樣本，樣本均值的數(shù)學(xué)期望（即樣本均值的均值）記為，樣本均值的方差記為樣本均值的數(shù)學(xué)期望樣本均值的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣36統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布四、樣本比率的抽樣分布1.概念比率：是指總體（或樣本）中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比。樣本比率的抽樣分布：在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比率的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布。2.樣本比率（p）的抽樣分布p的抽樣分布是樣本比率的所有可能取值的概率分布。當(dāng)樣本容量很大時（np≥5和n(1-p)≥5），樣本比率p的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。37統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布3.樣本比率p的數(shù)學(xué)期望和方差p的數(shù)學(xué)期望E(p)等于總體比率，即：E(p)=π

p的方差（）則與抽樣方法有關(guān)在重復(fù)抽樣條件下，有：，即在不重復(fù)抽樣條件下，有：，即

38統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布五、樣本方差的抽樣分布1.當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則樣本方差的抽樣分布服從自由度為（n-1）的分布，即：39統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布2.分布的性質(zhì)和特點：分布的變量值始終為正。（n）分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱。分布的數(shù)學(xué)期望為：，方差為：（n為自由度）。分布具有可加性。40統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.4抽樣分布樣本統(tǒng)計量的抽樣分布形式樣本統(tǒng)計量樣本均值

樣本比率ρ

樣本方差

大樣本正態(tài)分布分布正態(tài)總體或非正態(tài)總體大樣本非正態(tài)總體（小樣本）正態(tài)分布t分布41統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）§3.5中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理就是對于一個抽自任意總體（均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ）樣本容量為n的隨機樣本。當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布將近似于一個具有均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。樣本容量越大，的抽樣分布越近似于正態(tài)分布。一個任意分布的總體x當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布42統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）今天的課講完了!THANKS43統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）復(fù)習(xí)思考題1.隨機試驗必須滿足哪幾個條件？2.概率有哪幾種定義？3.概率的性質(zhì)有哪些？4.隨機變量有哪幾種？它們常見的概率分布模型有哪些？5.正態(tài)曲線的性質(zhì)6.什么是抽樣分布？7.抽樣分布的形式和特征是什么？8.解釋中心極限定理的含義。44統(tǒng)計學(xué)課件（第3章）作業(yè)題（一）1.教材P117—1