物理中的數(shù)學(xué)

物理學(xué)中的數(shù)學(xué)物理學(xué)的研究內(nèi)容：物質(zhì)的運動規(guī)律描述問題所涉及的物理量是變量！研究的是變量間的關(guān)系

本次講課的內(nèi)容：與物理學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)根本概念和簡單的計算方法講述方法：不求嚴格和完整，較多地借助于直觀并結(jié)合物理學(xué)習(xí)的需要一、微積分初步為什么需要這一工具？涉及隨時間、空間變化的問題！將一小球從某點以初速度v0豎直向上拋出，當(dāng)小球落回該拋出點時速率為vt，小球在運動過程中受到的空氣阻力大小與小球的速度大小成正比，求小球從拋出到落回原處所用的時間。上升階段：

下降階段：

1、極限數(shù)列：排成一列的無窮多個實數(shù)并非所有數(shù)列都有極限假設(shè)有極限，那么極限只有一個該數(shù)列的極限是個常數(shù)記作：收斂數(shù)列發(fā)散數(shù)列－半徑為R的正多邊形的面積Sn當(dāng)邊數(shù)無限增大時面積趨向外接圓的面積,周長Ln趨向外接圓的周長極限的另一個例子函數(shù)的極限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0〔記作x→x0〕時，函數(shù)f(x)的數(shù)值無限趨近某一確定的數(shù)值a，那么a稱為時函數(shù)f(x)的極限值記作：讀作：當(dāng)x趨近x0時，f(x)的極限值等于a。直觀：當(dāng)自變量x趨于a時對應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化趨勢是否與x=a時的函數(shù)值一致？當(dāng)x→1時f(x)=?無意義！x→1時f(x)的變化情況：xx2-1x-1f(x)0.90.990.9990.99990.19-0.0199-0.001999-0.000199-0.1-0.01-0.001-0.00011.91.991.9991.99991.11.011.0011.00012.12.012.002.000.10.010.0010.00012.12.012.002.00可見當(dāng)x→1時，f(x)→2這就是x→1時f(x)的極限值！實際求極限時可以看出當(dāng)x趨于1時f(x)趨于2。即：自變量x趨于x0的方式可以各種各樣，但不管何種方式，其函數(shù)值都趨向同一個常數(shù)。假設(shè)自變量x以不同方式趨于x0時函數(shù)趨向不同的數(shù)，那么可以判斷x趨于x0時函數(shù)的極限不存在自變量x趨于x0的兩種根本方式：左右極限當(dāng)且僅當(dāng)左右極限存在且相等時極限存在。分段函數(shù)x2x+1xx-11.13.20.9-0.11.013.020.99-0.011.0013.0020.999-0.0011.00013.00020.9999-0.0001…………1+31-0x→1時極限不存在函數(shù)極限的其他形式當(dāng)x→∞時的極限極限不存在極限是否存在？直接用法那么不能直接用極限四那么運算法那么時，可以先作恒等變換，再用法那么分子分母同除一個不為零的量分子或分母有理化后化簡因式分解,約簡通分、化簡其他求極限的方法直接應(yīng)用法那么的例：不能直接應(yīng)用法那么的例：不能直接應(yīng)用法那么創(chuàng)造條件變?yōu)槟軕?yīng)用法那么的情況不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么研究當(dāng)n→∞時，的極限。n1

2

3

?

10

?100

?1000?10000?2

2.25

2.37?

2.594?2.705?2.717?2.718

?可以看到，單調(diào)增大，但增大幅度不斷減小，表現(xiàn)出與某一常數(shù)越來越接近的趨勢。該常數(shù)即為e，e=2.71828。總結(jié)：極限的運算法那么物理中的例子直線運動s=s(t)研究一段時間內(nèi)位置改變的快慢程度平均速率如：x=4.5t2-2t3(SI)，第2秒內(nèi)平均速率？平均速率僅反映Dt內(nèi)運動的快慢，Dt越小，就越能反映t0時刻運動的快慢，把Dt

→0時Ds/Dt的極限值稱為瞬時速率。面積為s的導(dǎo)線回路內(nèi)有與回路平面垂直，隨時間變化的勻強磁場，B=B0sint，e=?無窮小的概念假設(shè)變量y在一個無限變化過程中以0為極限，那么稱y為無窮小量。如：數(shù)列在n→∞時趨于0，所以，在n→∞時是無窮小。在x→0時sinx是無窮小。無窮小不是一個很小的數(shù)，而是一個趨于零的變量！若那么y-A是一個無窮小。令一個有極限的變量可以表示為其極限值〔常數(shù)〕和一個無窮小〔變量〕之和。當(dāng)x→∞時，1/x，1/x2都是無窮小，但后者趨于0比前者快。無窮小的比較1/x2與1/x相比仍是無窮小。高階無窮小假設(shè)a、b都是無窮小，那么：當(dāng)時b是比a高階的無窮小。當(dāng)時b與a是等價無窮小。稱a是b的主部，即主要局部。2、函數(shù)的變化率―導(dǎo)數(shù)

x=4.5t2-2t3、Fm=B0ssint通常在研究函數(shù)關(guān)系時，除數(shù)值上的對應(yīng)關(guān)系外，往往需研究其變化趨勢、增減的快慢等，此即函數(shù)的“變化率〞變量的增量：增量可正可負，負增量表示變量減小。函數(shù)在x0到x0

+Dx區(qū)間內(nèi)的平均變化率：它在Dx

→0時的極限值稱為函數(shù)f(x)對x的導(dǎo)數(shù)或微商記作：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點的變化率而非增量！導(dǎo)數(shù)通常還表示為函數(shù)y=f(x)在x=a點的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y=f(x)在x=a處的變化率求平均變化率作差作商求極限導(dǎo)數(shù)定義 定義中以平均變化率的極限存在為前提可導(dǎo)不可導(dǎo)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)y=xn反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)lsj求曲柄連桿機構(gòu)中滑塊的速度，轉(zhuǎn)速為w。導(dǎo)數(shù)的幾何意義yxDyDxAxBx+Dx割線AB，其方向可由AB與x間夾角描述當(dāng)B沿曲線無限逼近A，割線無限逼近切線直線與x軸正向間夾角的正切稱為該直線的斜率曲線上某點切線的斜率就是函數(shù)在該點變化率的大小，即函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)。由曲線切線傾斜情況判斷函數(shù)變化率的大小曲線最陡的地方是函數(shù)值變化率最大的地方曲線最平坦的地方是函數(shù)變化率最小的地方函數(shù)的可導(dǎo)性研究y=|x|在x=0處的可導(dǎo)性不存在y=|x|在x=0處不可導(dǎo)yxO函數(shù)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)！連續(xù)：當(dāng)Dx→0時Dy→0可導(dǎo)是否一定連續(xù)？導(dǎo)數(shù)運算的相關(guān)定理

一、二、三、四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求的導(dǎo)數(shù)。求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)：由方程確定的函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)即對函數(shù)求導(dǎo)后再一次求導(dǎo)數(shù)加速度求的導(dǎo)數(shù)。練習(xí)如圖示小船在繩子的牽引下運動，求船速靠岸的速率。解：或：由：和得到船的靠岸速度：sh較數(shù)學(xué)的方法xylv0hq3、微分變量x的微分即它的任意一個無限小增量，用dx表示。函數(shù)的微分即它的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分，用dy或df(x)表示。幾何意義yxDxDydydy是Dy的線性主部當(dāng)Dx很小時，二者近似相等！即在x0附近很小區(qū)間可用直線代替該區(qū)間內(nèi)的曲線。但假設(shè)x?x0較大呢？除線性主部外還應(yīng)加上高階無窮小項！泰勒級數(shù)一個靜止的處于激發(fā)態(tài)的氫原子在向低能級躍遷時會向外發(fā)出一個光子，假設(shè)發(fā)出的光子能量為hn，那么該光子也具有相應(yīng)的動量hn/c，因此原來靜止的氫原子也將產(chǎn)生反沖運動。設(shè)其由高能級En向基態(tài)躍遷，假設(shè)計及氫原子的反沖，那么該氫原子發(fā)出的光子頻率n為多少？假設(shè)不考慮反沖時光子頻率為n0，那么(n0-n)/n0數(shù)量級為多少？這一結(jié)果說明了什么？〔氫原子的質(zhì)量mH=1.66×10-27kg〕躍遷過程滿足能量、動量守恒解得可見反沖的影響可以忽略。函數(shù)的增減若，則當(dāng)x增大時函數(shù)值也在增大。反之亦然討論函數(shù)的增減區(qū)間。當(dāng)時函數(shù)增當(dāng)時函數(shù)減當(dāng)時函數(shù)增函數(shù)的極值yxyxyx結(jié)論：處為極大值處為極小值處為拐點注：極大值不一定是最大值！勢能曲線

雙原子分子的勢能曲線：Oroz重力勢能曲線or引力勢能曲線ox彈性勢能曲線雙原子分子的勢函數(shù)為：，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離；(4)勢阱深度Ed；(5)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。解：xEp(1)xmin當(dāng)動能Ek=0時，Ep為最大，兩原子之間有最小距離:平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為：(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離xEpx1xminx2將平衡位置兩原子之間的距離x1代入勢函數(shù)公式，失勢阱深度：在位置x1處，保守力F為零。在勢能曲線的拐點位置x2

處，保守力F有最小值。(4)勢阱深度Ed(5)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。xEpx1xminx2xF解：而Fx=0(x<0)(0<x<a)0(x>a)一帶正電的點電荷在某電場中的電勢能曲線如下圖，OA段為拋物線，且x=a處Ep=E0，假設(shè)點電荷的總能量為E0，求:點電荷受到的電場力及F與x的關(guān)系曲線?！?〕Ep與x的關(guān)系axEpE0OAⅠⅡⅢxOaFx(0<x<a)曲率曲率—曲線的彎曲程度如何描述彎曲程度？abl1l2l1=l2，a>b長度相等，兩端點切線間角度越大，彎曲越厲害。兩端點切線間角度相等，線段長度越長，彎曲越厲害。al1<l2l1l2對于任意曲線弧段，其兩端點切線的交角j與弧長l之比稱為其平均曲率。假設(shè)B沿曲線無限逼近A，即得A點曲率。Dsaa+DaDaAB當(dāng)B沿曲線無限逼近A時運動方程，求。[解法一]質(zhì)點在兩個大小相等的力作用下運動，軌跡為拋物線，相應(yīng)方程為y2=2px。其中一力的方向指向拋物線焦點(p/2,0)，大小與質(zhì)點到焦點的距離成反比；另一力與對稱軸平行并指向軸的正向。證明：質(zhì)點以勻速率沿拋物線運動。xybaqrF1

F2

p/24、積分物理中的例子變速直線運動的路程tt1t2vtt1t2vtt1t2v顯然當(dāng)n→∞，Dt→0時得到嚴格、無近似的結(jié)果。曲邊梯形的面積求由拋物線y=x2，直線x=1，x=2和x軸所圍成的面積。將區(qū)間[1，2]分成n個小區(qū)間Dx。根本思想：分割、取近似、求和、取極限。以不變代變，以直代曲。定積分定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]連續(xù)，把[a，b]分為n各小區(qū)間[xi，xi+1]〔i=1,2,?,n-1)，令Dx=(b-a)/n，作和式在Dx→0時該和式的極限稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的積分，記為積分上限被積函數(shù)積分下限積分記號積分變量xyab幾何意義xyabxyabc面積相加面積加倍函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的平均值xyab積分中值定理平均沖力定積分的根本定理假設(shè)被積函數(shù)f(x)是某個函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，那么在x=a到x=b區(qū)間內(nèi)f(x)對x的定積分等于F(x)在此區(qū)間內(nèi)的增量。即證明：設(shè)當(dāng)Dx→0時有從圖形上看當(dāng)D→0時即曲邊梯形下面積。tvabxixi+1可見，F(xiàn)(x)的意義應(yīng)為從原點到x區(qū)間f(x)?x曲線下的面積加上一任意常數(shù)C。F(x)稱為f(x)的原函數(shù)積分是求導(dǎo)的逆運算由于同樣成立，因此f(x)的原函數(shù)是一族！把f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作積分的計算根本積分公式根本方法換元法令u=x2

a，b，m為常數(shù)，m≠-1令，即令令總結(jié)：令從而把積分化成另一個較容易的積分算出這個積分后，再將結(jié)果中的t變換為原來的變量x。練習(xí)分部積分法被積函數(shù)是兩個不同類型函數(shù)的乘積分部積分公式能否令選擇u，dv的原那么：盡量使u'比u簡單，而v不比v'復(fù)雜。關(guān)于積分常數(shù)C

定積分給出確定的值：不定積分給出一族函數(shù)：xF(x)x積分常數(shù)C確定某一條曲線！只要知道當(dāng)x=x時的F(x)值，即可確定C。物理中的例子質(zhì)點以恒定加速度沿直線運動，求其運動規(guī)律。假設(shè)t=0時質(zhì)點速度為v0，那么有？假設(shè)t=0時質(zhì)點位于x0處，那么有t=0時質(zhì)點的速度v0，位置x0稱為運動的初始條件，由此可確定積分常數(shù)。如何用定積分求?

質(zhì)點從原點出發(fā)沿x軸作直線運動，其速度與x成反比，當(dāng)質(zhì)點位于x=1m時其速度為v=2m/s。那么質(zhì)點由x=1m到x=2m所需時間多少？作圖1O1/vx21/v21/v1Dxi以k=1時，v=2代入，得k=2

質(zhì)點從原點出發(fā)沿x軸作直線運動，其速度與x成反比，當(dāng)質(zhì)點位于x=1m時其速度為v=2m/s。那么質(zhì)點由x=1m到x=2m所需時間多少？在積分的應(yīng)用中如何構(gòu)造被積函數(shù)？根本思想：選取積分元〔無限分割〕根據(jù)規(guī)律〔物理、數(shù)學(xué)〕得到相應(yīng)變量之間的關(guān)系即確定被積函數(shù)確定初始條件〔積分上下限〕統(tǒng)一變量積分求解xx+dx求所圍成的圖形面積。xy11聯(lián)立可解得交點坐標(biāo)(0，0)、(1，1)取x→x+dx的無窮小區(qū)間相應(yīng)面積為：積分上下限：x從0→1

假設(shè)用不定積分：求y=sinx在[0，2p]上與x軸圍成的面積。yx?OP求螺旋曲線r=a+bq(0<q<2p)與OP軸圍成的面積。dqr可近似視為扇形wab矩形板勻速轉(zhuǎn)動，單位面積所受阻力f=kv，求該板受到的阻力大小。v0質(zhì)量m的滑塊在光滑水平面運動，以v0進入半徑為R的四分之一圓弧軌道，擋板與滑塊間摩擦因數(shù)為m，求離開圓弧軌道時的速度。？兩邊積分？密度為r1的液體，上方懸一長為l，密度為r2的均質(zhì)細棒AB，棒的B端剛好和液面接觸。今剪斷繩，并設(shè)棒只在重力和浮力作用下下沉，求：〔1〕棒剛好全部浸入液體時的速度?！?〕假設(shè)r2<r1/2，棒浸入液體的最大深度?！?〕棒下落過程中能到達的最大速度。BAoxx解：〔1〕x=l

時：〔2〕最大深度時有v=0求極值〔3〕質(zhì)量m、長l的均勻鏈條，一局部放在光滑桌面上,另一局部從桌面邊緣下垂,下垂局部長b，假定開始時鏈條靜止，求鏈條全部離開桌面瞬間的速度。[解法一]

由動能定理xO

由牛頓定律a也可由機械能守恒定律計算。[解法二]a牛頓定律的初積分別離變量均勻長直帶電線的電場。dqrddEqj無限長：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場。由對稱性，只有x分量。均勻帶電圓盤〔s〕軸線上的電場。RxPrdrR→∞，無限大帶電平板。v0va斜面上的木塊，摩擦系數(shù)m=tga，以水平初速v0開始運動。v()=?vfmgsina絕熱過程聯(lián)立上式得1、定義標(biāo)量:只有數(shù)值和單位的量。(如t,m,q等)二、矢量矢量:既有數(shù)值和單位,又有方向的量。(如)等（或A）表示一個矢量,它的大小稱為矢量的模,用A或表示。稱為單位矢量，它常用平行四邊形法那么:三角形法那么：多邊形法那么：2、矢量加法3、矢量之差4、矢量乘標(biāo)量〔數(shù)乘〕一個矢量A乘以一個標(biāo)量結(jié)果仍為矢量，A=C。這個矢量的大小是C=||A；當(dāng)>0時，它和原矢量平行；如果<0，那么反平行。數(shù)乘滿足:結(jié)合律

(A)=(

)A分配律(

+

)A=A+A

(A+B)=A+B5、點積WhatdoesA

B=0mean？AeA

e=Acos

A

e=?

6、矢量積(矢積或叉積)大小:方向:從A沿小于π的θ角轉(zhuǎn)到B的右手螺旋前進的方向。A〔BC〕=B(CA)-C(AB)正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系基矢量(i,j,k)都是單位矢量,且滿足正交和右手螺旋關(guān)系:i

j=j

k=k

i=0,i

i=j

j=k

k=1i

j=k,j

k=i,k

i=jxyzijk7、矢量的直角坐標(biāo)分量表示0xyz8.矢量函數(shù)的微商注:矢量函數(shù)的微商在直角坐標(biāo)中的表示：注：1、直角坐標(biāo)系的基矢量〔i，j，k〕是大小和方向都不變的單位矢量。2、Ax〔t〕、Ay〔t〕、Az〔t〕是普通函數(shù)，就是普通的微商極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系的基由徑向基矢量和橫向基矢量組成〔e，e〕，它們滿足以下關(guān)系：O

e

e

e

e

=e

e

=1，e

e

=0平面內(nèi)任意矢量可表為：A=A

e

+A

e

位置矢量：=

e

其分量為〔，0〕，其端點坐標(biāo)為〔，〕直角坐標(biāo)中分量和端點坐標(biāo)是一致的，而在極坐標(biāo)中兩者卻不一致。直角坐標(biāo)中基矢的大小和方向是不變的，而極坐標(biāo)基矢大小不變，方向隨時間變化。注：極坐標(biāo)基矢與直角坐標(biāo)基矢關(guān)系：e

=cos

i+sin

j，e

=-sin

i+cos

j極坐標(biāo)的兩個基矢隨時間的變化為：d

e

de

e

+de

極坐標(biāo)系中的速度表示時，方向：大?。嘿|(zhì)點運動方程r=r0+v0t，q=wt，〔1〕軌跡；〔2〕速度。解〔1〕由運動方程消去時間矢徑隨幅角線性增加，阿基米德螺線?！?〕應(yīng)用：矢徑勻速轉(zhuǎn)動質(zhì)點沿矢徑勻速運動桿上下勻速運動xO切向、法向加速度oo大?。簽?/p>