物理中的數(shù)學(xué)

物理學(xué)中的數(shù)學(xué)物理學(xué)的研究?jī)?nèi)容：物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律描述問題所涉及的物理量是變量！研究的是變量間的關(guān)系

本次講課的內(nèi)容：與物理學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)根本概念和簡(jiǎn)單的計(jì)算方法講述方法：不求嚴(yán)格和完整，較多地借助于直觀并結(jié)合物理學(xué)習(xí)的需要一、微積分初步為什么需要這一工具？涉及隨時(shí)間、空間變化的問題！將一小球從某點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出，當(dāng)小球落回該拋出點(diǎn)時(shí)速率為vt，小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力大小與小球的速度大小成正比，求小球從拋出到落回原處所用的時(shí)間。上升階段：

下降階段：

1、極限數(shù)列：排成一列的無窮多個(gè)實(shí)數(shù)并非所有數(shù)列都有極限假設(shè)有極限，那么極限只有一個(gè)該數(shù)列的極限是個(gè)常數(shù)記作：收斂數(shù)列發(fā)散數(shù)列－半徑為R的正多邊形的面積Sn當(dāng)邊數(shù)無限增大時(shí)面積趨向外接圓的面積,周長(zhǎng)Ln趨向外接圓的周長(zhǎng)極限的另一個(gè)例子函數(shù)的極限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0〔記作x→x0〕時(shí)，函數(shù)f(x)的數(shù)值無限趨近某一確定的數(shù)值a，那么a稱為時(shí)函數(shù)f(x)的極限值記作：讀作：當(dāng)x趨近x0時(shí)，f(x)的極限值等于a。直觀：當(dāng)自變量x趨于a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化趨勢(shì)是否與x=a時(shí)的函數(shù)值一致？當(dāng)x→1時(shí)f(x)=?無意義！x→1時(shí)f(x)的變化情況：xx2-1x-1f(x)0.90.990.9990.99990.19-0.0199-0.001999-0.000199-0.1-0.01-0.001-0.00011.91.991.9991.99991.11.011.0011.00012.12.012.002.000.10.010.0010.00012.12.012.002.00可見當(dāng)x→1時(shí)，f(x)→2這就是x→1時(shí)f(x)的極限值！實(shí)際求極限時(shí)可以看出當(dāng)x趨于1時(shí)f(x)趨于2。即：自變量x趨于x0的方式可以各種各樣，但不管何種方式，其函數(shù)值都趨向同一個(gè)常數(shù)。假設(shè)自變量x以不同方式趨于x0時(shí)函數(shù)趨向不同的數(shù)，那么可以判斷x趨于x0時(shí)函數(shù)的極限不存在自變量x趨于x0的兩種根本方式：左右極限當(dāng)且僅當(dāng)左右極限存在且相等時(shí)極限存在。分段函數(shù)x2x+1xx-11.13.20.9-0.11.013.020.99-0.011.0013.0020.999-0.0011.00013.00020.9999-0.0001…………1+31-0x→1時(shí)極限不存在函數(shù)極限的其他形式當(dāng)x→∞時(shí)的極限極限不存在極限是否存在？直接用法那么不能直接用極限四那么運(yùn)算法那么時(shí)，可以先作恒等變換，再用法那么分子分母同除一個(gè)不為零的量分子或分母有理化后化簡(jiǎn)因式分解,約簡(jiǎn)通分、化簡(jiǎn)其他求極限的方法直接應(yīng)用法那么的例：不能直接應(yīng)用法那么的例：不能直接應(yīng)用法那么創(chuàng)造條件變?yōu)槟軕?yīng)用法那么的情況不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么不能直接應(yīng)用法那么研究當(dāng)n→∞時(shí)，的極限。n1

2

3

?

10

?100

?1000?10000?2

2.25

2.37?

2.594?2.705?2.717?2.718

?可以看到，單調(diào)增大，但增大幅度不斷減小，表現(xiàn)出與某一常數(shù)越來越接近的趨勢(shì)。該常數(shù)即為e，e=2.71828。總結(jié)：極限的運(yùn)算法那么物理中的例子直線運(yùn)動(dòng)s=s(t)研究一段時(shí)間內(nèi)位置改變的快慢程度平均速率如：x=4.5t2-2t3(SI)，第2秒內(nèi)平均速率？平均速率僅反映Dt內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢，Dt越小，就越能反映t0時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢，把Dt

→0時(shí)Ds/Dt的極限值稱為瞬時(shí)速率。面積為s的導(dǎo)線回路內(nèi)有與回路平面垂直，隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，B=B0sint，e=?無窮小的概念假設(shè)變量y在一個(gè)無限變化過程中以0為極限，那么稱y為無窮小量。如：數(shù)列在n→∞時(shí)趨于0，所以，在n→∞時(shí)是無窮小。在x→0時(shí)sinx是無窮小。無窮小不是一個(gè)很小的數(shù)，而是一個(gè)趨于零的變量！若那么y-A是一個(gè)無窮小。令一個(gè)有極限的變量可以表示為其極限值〔常數(shù)〕和一個(gè)無窮小〔變量〕之和。當(dāng)x→∞時(shí)，1/x，1/x2都是無窮小，但后者趨于0比前者快。無窮小的比較1/x2與1/x相比仍是無窮小。高階無窮小假設(shè)a、b都是無窮小，那么：當(dāng)時(shí)b是比a高階的無窮小。當(dāng)時(shí)b與a是等價(jià)無窮小。稱a是b的主部，即主要局部。2、函數(shù)的變化率―導(dǎo)數(shù)

x=4.5t2-2t3、Fm=B0ssint通常在研究函數(shù)關(guān)系時(shí)，除數(shù)值上的對(duì)應(yīng)關(guān)系外，往往需研究其變化趨勢(shì)、增減的快慢等，此即函數(shù)的“變化率〞變量的增量：增量可正可負(fù)，負(fù)增量表示變量減小。函數(shù)在x0到x0

+Dx區(qū)間內(nèi)的平均變化率：它在Dx

→0時(shí)的極限值稱為函數(shù)f(x)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)或微商記作：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率而非增量！導(dǎo)數(shù)通常還表示為函數(shù)y=f(x)在x=a點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y=f(x)在x=a處的變化率求平均變化率作差作商求極限導(dǎo)數(shù)定義 定義中以平均變化率的極限存在為前提可導(dǎo)不可導(dǎo)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)y=xn反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)lsj求曲柄連桿機(jī)構(gòu)中滑塊的速度，轉(zhuǎn)速為w。導(dǎo)數(shù)的幾何意義yxDyDxAxBx+Dx割線AB，其方向可由AB與x間夾角描述當(dāng)B沿曲線無限逼近A，割線無限逼近切線直線與x軸正向間夾角的正切稱為該直線的斜率曲線上某點(diǎn)切線的斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)變化率的大小，即函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。由曲線切線傾斜情況判斷函數(shù)變化率的大小曲線最陡的地方是函數(shù)值變化率最大的地方曲線最平坦的地方是函數(shù)變化率最小的地方函數(shù)的可導(dǎo)性研究y=|x|在x=0處的可導(dǎo)性不存在y=|x|在x=0處不可導(dǎo)yxO函數(shù)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)！連續(xù)：當(dāng)Dx→0時(shí)Dy→0可導(dǎo)是否一定連續(xù)？導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)定理

一、二、三、四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求的導(dǎo)數(shù)。求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)：由方程確定的函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)即對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后再一次求導(dǎo)數(shù)加速度求的導(dǎo)數(shù)。練習(xí)如圖示小船在繩子的牽引下運(yùn)動(dòng)，求船速靠岸的速率。解：或：由：和得到船的靠岸速度：sh較數(shù)學(xué)的方法xylv0hq3、微分變量x的微分即它的任意一個(gè)無限小增量，用dx表示。函數(shù)的微分即它的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分，用dy或df(x)表示。幾何意義yxDxDydydy是Dy的線性主部當(dāng)Dx很小時(shí)，二者近似相等！即在x0附近很小區(qū)間可用直線代替該區(qū)間內(nèi)的曲線。但假設(shè)x?x0較大呢？除線性主部外還應(yīng)加上高階無窮小項(xiàng)！泰勒級(jí)數(shù)一個(gè)靜止的處于激發(fā)態(tài)的氫原子在向低能級(jí)躍遷時(shí)會(huì)向外發(fā)出一個(gè)光子，假設(shè)發(fā)出的光子能量為hn，那么該光子也具有相應(yīng)的動(dòng)量hn/c，因此原來靜止的氫原子也將產(chǎn)生反沖運(yùn)動(dòng)。設(shè)其由高能級(jí)En向基態(tài)躍遷，假設(shè)計(jì)及氫原子的反沖，那么該氫原子發(fā)出的光子頻率n為多少？假設(shè)不考慮反沖時(shí)光子頻率為n0，那么(n0-n)/n0數(shù)量級(jí)為多少？這一結(jié)果說明了什么？〔氫原子的質(zhì)量mH=1.66×10-27kg〕躍遷過程滿足能量、動(dòng)量守恒解得可見反沖的影響可以忽略。函數(shù)的增減若，則當(dāng)x增大時(shí)函數(shù)值也在增大。反之亦然討論函數(shù)的增減區(qū)間。當(dāng)時(shí)函數(shù)增當(dāng)時(shí)函數(shù)減當(dāng)時(shí)函數(shù)增函數(shù)的極值yxyxyx結(jié)論：處為極大值處為極小值處為拐點(diǎn)注：極大值不一定是最大值！勢(shì)能曲線

雙原子分子的勢(shì)能曲線：Oroz重力勢(shì)能曲線or引力勢(shì)能曲線ox彈性勢(shì)能曲線雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為：，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離；(4)勢(shì)阱深度Ed；(5)畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。解：xEp(1)xmin當(dāng)動(dòng)能Ek=0時(shí)，Ep為最大，兩原子之間有最小距離:平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為：(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離xEpx1xminx2將平衡位置兩原子之間的距離x1代入勢(shì)函數(shù)公式，失勢(shì)阱深度：在位置x1處，保守力F為零。在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置x2

處，保守力F有最小值。(4)勢(shì)阱深度Ed(5)畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。xEpx1xminx2xF解：而Fx=0(x<0)(0<x<a)0(x>a)一帶正電的點(diǎn)電荷在某電場(chǎng)中的電勢(shì)能曲線如下圖，OA段為拋物線，且x=a處Ep=E0，假設(shè)點(diǎn)電荷的總能量為E0，求:點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力及F與x的關(guān)系曲線?！?〕Ep與x的關(guān)系axEpE0OAⅠⅡⅢxOaFx(0<x<a)曲率曲率—曲線的彎曲程度如何描述彎曲程度？abl1l2l1=l2，a>b長(zhǎng)度相等，兩端點(diǎn)切線間角度越大，彎曲越厲害。兩端點(diǎn)切線間角度相等，線段長(zhǎng)度越長(zhǎng)，彎曲越厲害。al1<l2l1l2對(duì)于任意曲線弧段，其兩端點(diǎn)切線的交角j與弧長(zhǎng)l之比稱為其平均曲率。假設(shè)B沿曲線無限逼近A，即得A點(diǎn)曲率。Dsaa+DaDaAB當(dāng)B沿曲線無限逼近A時(shí)運(yùn)動(dòng)方程，求。[解法一]質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)大小相等的力作用下運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線，相應(yīng)方程為y2=2px。其中一力的方向指向拋物線焦點(diǎn)(p/2,0)，大小與質(zhì)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離成反比；另一力與對(duì)稱軸平行并指向軸的正向。證明：質(zhì)點(diǎn)以勻速率沿拋物線運(yùn)動(dòng)。xybaqrF1

F2

p/24、積分物理中的例子變速直線運(yùn)動(dòng)的路程tt1t2vtt1t2vtt1t2v顯然當(dāng)n→∞，Dt→0時(shí)得到嚴(yán)格、無近似的結(jié)果。曲邊梯形的面積求由拋物線y=x2，直線x=1，x=2和x軸所圍成的面積。將區(qū)間[1，2]分成n個(gè)小區(qū)間Dx。根本思想：分割、取近似、求和、取極限。以不變代變，以直代曲。定積分定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]連續(xù)，把[a，b]分為n各小區(qū)間[xi，xi+1]〔i=1,2,?,n-1)，令Dx=(b-a)/n，作和式在Dx→0時(shí)該和式的極限稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的積分，記為積分上限被積函數(shù)積分下限積分記號(hào)積分變量xyab幾何意義xyabxyabc面積相加面積加倍函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的平均值xyab積分中值定理平均沖力定積分的根本定理假設(shè)被積函數(shù)f(x)是某個(gè)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，那么在x=a到x=b區(qū)間內(nèi)f(x)對(duì)x的定積分等于F(x)在此區(qū)間內(nèi)的增量。即證明：設(shè)當(dāng)Dx→0時(shí)有從圖形上看當(dāng)D→0時(shí)即曲邊梯形下面積。tvabxixi+1可見，F(xiàn)(x)的意義應(yīng)為從原點(diǎn)到x區(qū)間f(x)?x曲線下的面積加上一任意常數(shù)C。F(x)稱為f(x)的原函數(shù)積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算由于同樣成立，因此f(x)的原函數(shù)是一族！把f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作積分的計(jì)算根本積分公式根本方法換元法令u=x2

a，b，m為常數(shù)，m≠-1令，即令令總結(jié)：令從而把積分化成另一個(gè)較容易的積分算出這個(gè)積分后，再將結(jié)果中的t變換為原來的變量x。練習(xí)分部積分法被積函數(shù)是兩個(gè)不同類型函數(shù)的乘積分部積分公式能否令選擇u，dv的原那么：盡量使u'比u簡(jiǎn)單，而v不比v'復(fù)雜。關(guān)于積分常數(shù)C

定積分給出確定的值：不定積分給出一族函數(shù)：xF(x)x積分常數(shù)C確定某一條曲線！只要知道當(dāng)x=x時(shí)的F(x)值，即可確定C。物理中的例子質(zhì)點(diǎn)以恒定加速度沿直線運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。假設(shè)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為v0，那么有？假設(shè)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于x0處，那么有t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度v0，位置x0稱為運(yùn)動(dòng)的初始條件，由此可確定積分常數(shù)。如何用定積分求?

質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其速度與x成反比，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于x=1m時(shí)其速度為v=2m/s。那么質(zhì)點(diǎn)由x=1m到x=2m所需時(shí)間多少？作圖1O1/vx21/v21/v1Dxi以k=1時(shí)，v=2代入，得k=2

質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其速度與x成反比，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于x=1m時(shí)其速度為v=2m/s。那么質(zhì)點(diǎn)由x=1m到x=2m所需時(shí)間多少？在積分的應(yīng)用中如何構(gòu)造被積函數(shù)？根本思想：選取積分元〔無限分割〕根據(jù)規(guī)律〔物理、數(shù)學(xué)〕得到相應(yīng)變量之間的關(guān)系即確定被積函數(shù)確定初始條件〔積分上下限〕統(tǒng)一變量積分求解xx+dx求所圍成的圖形面積。xy11聯(lián)立可解得交點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)、(1，1)取x→x+dx的無窮小區(qū)間相應(yīng)面積為：積分上下限：x從0→1

假設(shè)用不定積分：求y=sinx在[0，2p]上與x軸圍成的面積。yx?OP求螺旋曲線r=a+bq(0<q<2p)與OP軸圍成的面積。dqr可近似視為扇形wab矩形板勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，單位面積所受阻力f=kv，求該板受到的阻力大小。v0質(zhì)量m的滑塊在光滑水平面運(yùn)動(dòng)，以v0進(jìn)入半徑為R的四分之一圓弧軌道，擋板與滑塊間摩擦因數(shù)為m，求離開圓弧軌道時(shí)的速度。？?jī)蛇叿e分？密度為r1的液體，上方懸一長(zhǎng)為l，密度為r2的均質(zhì)細(xì)棒AB，棒的B端剛好和液面接觸。今剪斷繩，并設(shè)棒只在重力和浮力作用下下沉，求：〔1〕棒剛好全部浸入液體時(shí)的速度?！?〕假設(shè)r2<r1/2，棒浸入液體的最大深度?！?〕棒下落過程中能到達(dá)的最大速度。BAoxx解：〔1〕x=l

時(shí)：〔2〕最大深度時(shí)有v=0求極值〔3〕質(zhì)量m、長(zhǎng)l的均勻鏈條，一局部放在光滑桌面上,另一局部從桌面邊緣下垂,下垂局部長(zhǎng)b，假定開始時(shí)鏈條靜止，求鏈條全部離開桌面瞬間的速度。[解法一]

由動(dòng)能定理xO

由牛頓定律a也可由機(jī)械能守恒定律計(jì)算。[解法二]a牛頓定律的初積分別離變量均勻長(zhǎng)直帶電線的電場(chǎng)。dqrddEqj無限長(zhǎng)：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)。由對(duì)稱性，只有x分量。均勻帶電圓盤〔s〕軸線上的電場(chǎng)。RxPrdrR→∞，無限大帶電平板。v0va斜面上的木塊，摩擦系數(shù)m=tga，以水平初速v0開始運(yùn)動(dòng)。v()=?vfmgsina絕熱過程聯(lián)立上式得1、定義標(biāo)量:只有數(shù)值和單位的量。(如t,m,q等)二、矢量矢量:既有數(shù)值和單位,又有方向的量。(如)等（或A）表示一個(gè)矢量,它的大小稱為矢量的模,用A或表示。稱為單位矢量，它常用平行四邊形法那么:三角形法那么：多邊形法那么：2、矢量加法3、矢量之差4、矢量乘標(biāo)量〔數(shù)乘〕一個(gè)矢量A乘以一個(gè)標(biāo)量結(jié)果仍為矢量，A=C。這個(gè)矢量的大小是C=||A；當(dāng)>0時(shí)，它和原矢量平行；如果<0，那么反平行。數(shù)乘滿足:結(jié)合律

(A)=(

)A分配律(

+

)A=A+A

(A+B)=A+B5、點(diǎn)積WhatdoesA

B=0mean？AeA

e=Acos

A

e=?

6、矢量積(矢積或叉積)大小:方向:從A沿小于π的θ角轉(zhuǎn)到B的右手螺旋前進(jìn)的方向。A〔BC〕=B(CA)-C(AB)正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系基矢量(i,j,k)都是單位矢量,且滿足正交和右手螺旋關(guān)系:i

j=j

k=k

i=0,i

i=j

j=k

k=1i

j=k,j

k=i,k

i=jxyzijk7、矢量的直角坐標(biāo)分量表示0xyz8.矢量函數(shù)的微商注:矢量函數(shù)的微商在直角坐標(biāo)中的表示：注：1、直角坐標(biāo)系的基矢量〔i，j，k〕是大小和方向都不變的單位矢量。2、Ax〔t〕、Ay〔t〕、Az〔t〕是普通函數(shù)，就是普通的微商極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系的基由徑向基矢量和橫向基矢量組成〔e，e〕，它們滿足以下關(guān)系：O

e

e

e

e

=e

e

=1，e

e

=0平面內(nèi)任意矢量可表為：A=A

e

+A

e

位置矢量：=

e

其分量為〔，0〕，其端點(diǎn)坐標(biāo)為〔，〕直角坐標(biāo)中分量和端點(diǎn)坐標(biāo)是一致的，而在極坐標(biāo)中兩者卻不一致。直角坐標(biāo)中基矢的大小和方向是不變的，而極坐標(biāo)基矢大小不變，方向隨時(shí)間變化。注：極坐標(biāo)基矢與直角坐標(biāo)基矢關(guān)系：e

=cos

i+sin

j，e

=-sin

i+cos

j極坐標(biāo)的兩個(gè)基矢隨時(shí)間的變化為：d

e

de

e

+de

極坐標(biāo)系中的速度表示時(shí)，方向：大?。嘿|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程r=r0+v0t，q=wt，〔1〕軌跡；〔2〕速度。解〔1〕由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間矢徑隨幅角線性增加，阿基米德螺線?！?〕應(yīng)用：矢徑勻速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿矢徑勻速運(yùn)動(dòng)桿上下勻速運(yùn)動(dòng)xO切向、法向加速度oo大小：為