第四章 參數(shù)估計(jì)2014

第4章參數(shù)估計(jì)7.1

參數(shù)估計(jì)的一般問題

7.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.4樣本容量的確定湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli不像其他科學(xué)，統(tǒng)計(jì)從來(lái)不打算使自己完美無(wú)缺，統(tǒng)計(jì)意味著你永遠(yuǎn)不需要確定無(wú)疑。

Gudmund

R.Iversen湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？為了解學(xué)生每周上網(wǎng)花費(fèi)的時(shí)間，中國(guó)人民大學(xué)公共管理學(xué)院的4名本科生對(duì)全校部分本科生做了問卷調(diào)查。調(diào)查的對(duì)象為中國(guó)人民大學(xué)在校本科生，調(diào)查內(nèi)容包括上網(wǎng)時(shí)間、途徑、支出、目的、關(guān)心的校園網(wǎng)內(nèi)容，以及學(xué)生對(duì)收費(fèi)的態(tài)度，包括收費(fèi)方式、價(jià)格等問卷調(diào)查由調(diào)查員直接到宿舍發(fā)放并當(dāng)場(chǎng)回收。對(duì)四個(gè)年級(jí)中每年級(jí)各發(fā)60份問卷，其中男、女生各30份。共收回有效問卷共200份。其中有關(guān)上網(wǎng)時(shí)間方面的數(shù)據(jù)經(jīng)整理如下表所示湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？回答類別人數(shù)（人）頻率（%）3小時(shí)以下32163～6小時(shí)3517.56～9小時(shí)3316.59～12小時(shí)2914.512小時(shí)以上7135.5合計(jì)200100平均上網(wǎng)時(shí)間為8.58小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為0.69小時(shí)。全校學(xué)生每周的平均上網(wǎng)時(shí)間是多少？每周上網(wǎng)時(shí)間在12小時(shí)以上的學(xué)生比例是多少？你做出估計(jì)的理論依據(jù)是什么？湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli4.1參數(shù)估計(jì)的一般問題

估計(jì)量與估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值

的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用

表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值

x

=80，則80就是

的估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值

(estimator&estimatedvalue)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli參數(shù)估計(jì)的方法矩估計(jì)法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計(jì)量法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli點(diǎn)估計(jì)

(pointestimate)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)無(wú)法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點(diǎn)估計(jì)的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無(wú)法給出估計(jì)的可靠性的度量湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%

樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)實(shí)例：HMO湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)實(shí)例：HMO樣本均值是未知總體均值的自然的估計(jì)量，因?yàn)樗臒o(wú)偏性。作為總體均值的估計(jì)有多可靠？顯然再進(jìn)行一次抽樣，肯定不會(huì)給出405.02的值。要了解此種估計(jì)方法的可靠性，需要知道樣本均值的分布，即抽樣分布。由中心極限定理（CLT）知，樣本均值近似服從正態(tài)分布湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)實(shí)例：HMO假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差等于樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=112.08，在大樣本（n=453）下此近似是合理的。根據(jù)樣本均值的抽樣分布可得：變換后可得：統(tǒng)計(jì)推斷的語(yǔ)言是用長(zhǎng)期會(huì)發(fā)生的事實(shí)來(lái)表達(dá)對(duì)任何一個(gè)樣本結(jié)果的可信程度。Stata命令：ttestHMO==400湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)實(shí)例：HMO我們通過(guò)一個(gè)過(guò)程達(dá)到這些數(shù)值，此過(guò)程能在95%的時(shí)間里給出準(zhǔn)確結(jié)果。置信區(qū)間：一個(gè)參數(shù)的1-α水平的置信區(qū)間有兩部分：從數(shù)據(jù)計(jì)算的區(qū)間，一般形式為：

估計(jì)值邊際誤差置信水平1-α，給出在重復(fù)樣本中此區(qū)間包含真實(shí)參數(shù)的概率。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的置信區(qū)間從未知均值和已知標(biāo)準(zhǔn)差的總體中獲取容量為n的SRS，的置信水平為1-α的置信區(qū)間為：其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線右側(cè)的概率為的臨界值。稱為邊際誤差。此區(qū)間在正態(tài)總體時(shí)是準(zhǔn)確的，在其他總體分布但n很大時(shí)是近似正確的。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli置信區(qū)間如何變化估計(jì)總體均值的邊際誤差可說(shuō)明置信區(qū)間的重要性質(zhì)：高置信水平1-α?xí)黾?，從而增加邊際誤差。我們當(dāng)然希望高置信水平和小邊際誤差，但改進(jìn)一個(gè)會(huì)惡化另一個(gè)。有三種方式減小邊際誤差：1.使用較低的置信水平；2.減少σ

3.增加樣本容量n湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)注意事項(xiàng)：數(shù)據(jù)必須是總體的一個(gè)SRS。對(duì)于比SRS復(fù)雜的概率抽樣設(shè)計(jì)方案以上公式是不正確的?？梢垣@得其他概率抽樣的相關(guān)公式。對(duì)于帶有未知大小偏誤的隨意收集的數(shù)據(jù)，沒有正確的推斷方法。好的公式不能挽救壞的數(shù)據(jù)。因?yàn)闃颖揪凳遣荒涂沟?，異常值?huì)對(duì)置信區(qū)間產(chǎn)生很大影響。應(yīng)該搜索異常值并試圖修正或說(shuō)明去除的理由，然后再計(jì)算置信區(qū)間。如果異常值不能去除，需要采用對(duì)異常值不敏感的方法。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)注意事項(xiàng)：如果樣本容量小且總體不是正態(tài)分布，真實(shí)的置信水平會(huì)不同于1-α。仔細(xì)檢查數(shù)據(jù)的偏斜程度和其他非正態(tài)的跡象。置信區(qū)間只依賴樣本均值的分布，即使在很小樣本容量下樣本均值比單個(gè)值更接近正態(tài)分布，當(dāng)n>=15，置信區(qū)間不會(huì)受到非正態(tài)總體很大的影響，除非有極端數(shù)值或存在強(qiáng)烈的偏斜。必須知道總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，這對(duì)應(yīng)用產(chǎn)生限制，稍后會(huì)討論σ未知的情形。當(dāng)樣本容量很大時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差是合適的。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)注意事項(xiàng)：關(guān)于置信區(qū)間的最重要的警示是，置信區(qū)間的邊際誤差只包括隨機(jī)抽樣誤差。抽樣調(diào)查中實(shí)際的困難如代表不足和不回應(yīng)，會(huì)產(chǎn)生其他誤差。這些誤差可能大于隨機(jī)抽樣誤差，特別是在大的樣本容量下。調(diào)查的實(shí)際實(shí)施會(huì)在很多方面影響結(jié)果的可靠性，但這些方面沒有包括在報(bào)告的邊際誤差里。使用概率方法容易指出某個(gè)推斷方法完全正確的條件，但這些條件在實(shí)際中不可能完全滿足。決定什么時(shí)候某個(gè)統(tǒng)計(jì)方法在實(shí)際中應(yīng)該使用經(jīng)常需要在數(shù)據(jù)的探索性分析下的判斷。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)注意事項(xiàng)：上例中，我們說(shuō)有95%的相信程度總體均值在394.48到415.56之間，這是指區(qū)間的計(jì)算是通過(guò)一種方法完成，此方法可以在所有可能樣本的95%給出正確結(jié)果。不能說(shuō)有95%的可能真實(shí)均值μ落在394.48到415.56之間。一旦我們抽取一個(gè)特定樣本并從中獲得一個(gè)特定區(qū)間后隨機(jī)性不存在了，真實(shí)的總體均值μ要么在394.48到415.56之間，要么不在。概率作為長(zhǎng)期相對(duì)頻數(shù)的解釋在此情形下沒有意義。湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli區(qū)間估計(jì)的圖示

x95%的樣本

-1.96

x

+1.96

x99%的樣本

-2.58

x

+2.58

x90%的樣本

-1.65

x

+1.65

x湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-

為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例

常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的

為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間

用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯(cuò)誤的置信區(qū)間

(confidenceinterval)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli置信區(qū)間

(95%的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間

點(diǎn)估計(jì)值湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-

)區(qū)間包含了

的區(qū)間未包含

1–aa/2a/2湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli影響區(qū)間寬度的因素1.

總體數(shù)據(jù)的離散程度，用

來(lái)測(cè)度樣本容量，置信水平(1-

)，影響

z的大小湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli無(wú)偏性(unbiasedness)無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli有效性(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli一致性(consistency)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli4.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)4.2.2總體比例的區(qū)間估計(jì)4.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比例方差湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、

２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(大樣本)1.

假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量（單位：g）如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g統(tǒng)計(jì)函數(shù)—CONFIDENCE湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲統(tǒng)計(jì)函數(shù)—CONFIDENCE湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、

２未知、小樣本)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(

２)

未知小樣本

(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianlit分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h～1503.2h湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體比例的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體比例的區(qū)間估計(jì)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體方差的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體方差的區(qū)間估計(jì)1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差

2

的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4.總體方差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體方差的區(qū)間估計(jì)

(圖示)

2

21-

2

總體方差1-

的置信區(qū)間自由度為n-1的

2湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間

25袋食品的重量單位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:已知n＝25，1-

＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為

該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli4.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)4.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)4.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值差比例差方差比湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(獨(dú)立大樣本)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(大樣本)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，

1２，

2２已知若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n1

30和n2

30)兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(大樣本)1.

1２，

2２已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為

1２，

2２未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)【例】某地區(qū)教育管理部門想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表所示。建立兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間

兩個(gè)樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)

中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8

S2=7.2English湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)解:兩個(gè)總體均值之差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為

兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為5.03分~10.97分湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(獨(dú)立小樣本)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:

12=

22

)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知但相等：

1２=

2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計(jì)量估計(jì)量

x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:

12=

22

)兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間(單位：min)如下表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得合并估計(jì)量為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.14min~7.26min湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:

12

22

)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知且不相等：

1２

2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計(jì)量湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:

12

22

)

兩個(gè)總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為自由度湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)【例】沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得自由度為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.192min~9.058min湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(匹配樣本)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(匹配大樣本)假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n1

30和n2

30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(匹配小樣本)假定條件兩個(gè)匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布

兩個(gè)總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)【例】由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如右表。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差

d=

1-

2

95%的置信區(qū)間

10名學(xué)生兩套試卷的得分學(xué)生編號(hào)試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916STATISTICS湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分~15.67分湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體比例之差區(qū)間的估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli1. 假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的2. 兩個(gè)總體比例之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

(例題分析)【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間12湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

(例題分析)解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-

=95%，z/2=1.96

1-

2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)1. 比較兩個(gè)總體的方差比用兩個(gè)樣本的方差比來(lái)判斷如果S12/S22接近于1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差很接近如果S12/S22遠(yuǎn)離1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差之間存在差異總體方差比在1-

置信水平下的置信區(qū)間為湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(圖示)FF1-

F

總體方差比1-

的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F(xiàn)1-/2(24)=1/1.98=0.505

12/22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.47~1.84

湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli4.4樣本容量的確定4.4.1估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定4.4.2估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定4.4.3估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)樣本容量的確定4.4.4估計(jì)兩個(gè)總體比例之差時(shí)樣本容量的確定湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量n為樣本容量n與總體方差

2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與總體方差成正比與邊際誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比樣本容量的圓整法則：當(dāng)計(jì)算出的樣本容量不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定

(例題分析)【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？湖北大學(xué)商學(xué)院chenqianli估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定

(例題分析)解:已知

=2000，E=400,1-

=95%，z/2=1.96

應(yīng)抽取的樣本容量為即應(yīng)抽取97人作為樣本湖北大學(xué)商學(xué)院