2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第五單元扇形篇（解析版）人教版

2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第五單元扇形篇（解析版）編者的話：《2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題、專項(xiàng)練習(xí)、分層試卷三大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。分層試卷部分是根據(jù)試題難度和掌握水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。本專題是第五單元扇形篇。本部分內(nèi)容是第五單元扇形部分，包括扇形的認(rèn)識(shí)、扇形的弧長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積以及部分重難點(diǎn)，部分考點(diǎn)綜合性較強(qiáng)強(qiáng)，建議作為本章重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為七個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！究键c(diǎn)一】扇形的認(rèn)識(shí)?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”，一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2.同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角有關(guān)，同一個(gè)圓中，扇形的圓心角越大，扇形越大。3.同一個(gè)圓中，扇形圓心角與圓周角的比值等于扇形面積與圓面積的比值。【典型例題1】認(rèn)識(shí)扇形。如圖，圓周上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做（

），由半徑OA、OB和孤AB圍成的涂色部分是（

），這一部分面積是圓面積的。解析：弧；扇形；【對(duì)應(yīng)練習(xí)】如下圖，圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做()，讀作()，圖中涂色的部分叫做()形。解析：弧；弧AB；扇【典型例題2】認(rèn)識(shí)圓心角。下面圖形中哪些角是圓心角？在（

）里畫“√”。解析：根據(jù)圓心角的定義判斷如下：【對(duì)應(yīng)練習(xí)】下列各圓中，陰影部分是不是扇形？是的在括號(hào)里畫“√”。解析：由分析可知：【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在同一個(gè)圓中，扇形的大小與()有關(guān)，以圓為弧的扇形圓心角是()度。解析：圓心角的大?。?0【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)扇形的圓心角是80°，扇形的面積占它所在圓的面積的()。解析：【考點(diǎn)二】扇形的弧長(zhǎng)和周長(zhǎng)?！痉椒c(diǎn)撥】1.扇形弧長(zhǎng)：扇形弧長(zhǎng)=（其中n表示圓心角的度數(shù)）。2.扇形周長(zhǎng)：扇形周長(zhǎng)=扇形弧長(zhǎng)+兩條半徑的長(zhǎng)?！镜湫屠}1】下圖是直徑6cm的圓。其中陰影扇形的半徑是()厘米，圓心角是()度，弧AB長(zhǎng)()cm。解析：直徑6cm的圓。其中陰影扇形的半徑是3厘米，圓心角是360÷4＝90°，弧AB長(zhǎng)：3.14×6×＝18.84×＝4.71（厘米）【典型例題2】已知一個(gè)扇形的半徑為6厘米，圓心角為120°，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為（）厘米，周長(zhǎng)是（）厘米，解析：弧長(zhǎng)：＝12.56（厘米）周長(zhǎng)：12.56＋2×6＝12.56＋12＝24.56（厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】在一個(gè)半徑是2厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)圓心角是90°的扇形，這個(gè)扇形的周長(zhǎng)是()厘米，解析：90°÷360°＝這個(gè)扇形的周長(zhǎng)：2×3.14×2×＋2×2＝6.28×2×＋4＝12.56×＋4＝7.14（厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖中圓的半徑是4cm，那么陰影部分的周長(zhǎng)是()cm。解析：3.14×4×2÷4＋4×2＝6.28＋8＝14.28（cm）【考點(diǎn)三】扇形的面積?！痉椒c(diǎn)撥】在計(jì)算扇形面積時(shí)要還是看扇形的圓心角，圓心角占周角的幾分之幾，扇形面積就占這個(gè)圓面積的幾分之幾。扇形面積=（其中n表示圓心角的度數(shù)）?！镜湫屠}】圓心角為45度，半徑是8厘米的扇形，它的面積是()。解析：3.14×82×＝200.96×＝25.12（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，一個(gè)圓的半徑是4cm，它的直徑是()cm，周長(zhǎng)是()cm，面積是()cm2。在這個(gè)圓中有一個(gè)圓心角為90°的扇形，這個(gè)扇形的面積是()cm2。解析：4×2＝8（cm）3.14×8＝25.12（cm）3.14×42＝50.24（平方厘米）50.24×＝12.56（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)扇形的半徑是6cm，圓心角是90°，這個(gè)扇形的面積是()cm2。解析：（3.14×62）÷360°×90°＝113.04÷360°×90°＝28.26（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)扇形的圓心角是90°，半徑是2cm，它的面積是()cm2。解析：3.14×22×＝3.14×4×＝3.14（平方厘米）【考點(diǎn)四】扇環(huán)的面積。【方法點(diǎn)撥】1.扇環(huán)：扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分2.扇環(huán)面積=大扇形的面積-小扇形的面積?！镜湫屠}】如圖，一把折扇的骨架長(zhǎng)是30厘米，扇面寬為20厘米，完全展開時(shí)圓心角為135°，扇面的面積為（）平方厘米。解析：觀察圖形可知，扇面的面積等于圓心角是135°、半徑30厘米的扇形的面積與圓心角是135°，半徑30－20＝10厘米的扇形的面積之差，據(jù)此利用扇形的面積＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可解答問(wèn)題。30－20＝10（厘米）－＝－＝1059.75－117.75＝942（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖是一幅扇面畫的示意圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，求它的面積。解析：3.14×[（18＋12）2－122]×＝3.14×[302－122]×＝3.14×756×＝2373.84×＝593.46（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】你能求出下面陰影部分的面積嗎？（單位：dm）解析：3.14×[52－（5－2）2]×＝3.14×16×＝3.14×4＝12.56（平方分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：＝＝＝＝28.26（平方厘米）答：陰影部分的面積是28.26平方厘米。【考點(diǎn)五】扇形面積的實(shí)際問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】解答扇形相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于熟練掌握并正確計(jì)算扇形的面積?！镜湫屠}】在比賽中，鉛球投擲的落點(diǎn)區(qū)域是一個(gè)圓，某運(yùn)動(dòng)員最遠(yuǎn)投擲距離為16米，鉛球可能的落點(diǎn)區(qū)域面積是多少？解析：＝50.24×16×＝803.84×＝200.96（平方米）答：鉛球可能的落點(diǎn)區(qū)域面積是200.96平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)掛鐘的時(shí)針長(zhǎng)5厘米，分針長(zhǎng)8厘米，從中午12時(shí)到下午3時(shí)，分針尖端“走了”多少厘米？時(shí)針“掃過(guò)”的面積是多少平方厘米？解析：2×3.14×8×3＝150.72（厘米）3.14×52×＝19.625（平方厘米）答：分針尖端“走了”150.72厘米，時(shí)針“掃過(guò)”的面積是19.625平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)石英鐘的分針長(zhǎng)10cm，分針旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積是157cm。求分針走了多少分鐘？解析：轉(zhuǎn)一圈面積＝3.14×10×10＝314（平方厘米）157÷314×60＝30（分鐘）答：分針走了30分鐘?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】張大爺用一條長(zhǎng)15.7米的籬笆，要在墻角圍成一個(gè)菜園，張大爺應(yīng)該怎么圍（畫出示意圖）？這樣圍菜地可以有多少面積？（如果除不盡，保留2位小數(shù)）解析：如果圍墻角圍成一個(gè)圓形的菜園，則籬笆的長(zhǎng)度，就是這個(gè)圓的弧長(zhǎng)，利用圓的周長(zhǎng)公式即可求出這個(gè)圓的半徑是：15.7×4÷3.14÷2=10米，再利用圓的面積公式即可求出這個(gè)菜地的面積。解：根據(jù)題干分析可得：如果圍墻角圍成一個(gè)圓形的菜園，如上圖所示，則這個(gè)圓的半徑是：15.7×4÷3.14÷2=62.8÷3.14÷2=10（米）菜地的面積是：3.14×102×=314×=78.5（平方米）答：這樣圍成的菜地的面積是78.5平方米。【考點(diǎn)六】利用多邊形內(nèi)角和求扇形的面積。【方法點(diǎn)撥】1.扇形的拼接：一個(gè)扇形可以分割成若干個(gè)半徑相等的小扇形，反之若干個(gè)半徑相等的小扇形也可以拼成一個(gè)大扇形，并且這些小扇形的圓心角之和正好等于大扇形的圓心角。2.思路：計(jì)算與多邊形內(nèi)角和結(jié)合的扇形面積時(shí)，將若干個(gè)半徑相等的小扇形拼成一個(gè)大扇形，大扇形的圓心角等于各小扇形的圓心角之和，然后根據(jù)圓心角與周角的倍數(shù)關(guān)系計(jì)算出大扇形的面積，也就計(jì)算出了多個(gè)小扇形總共的面積?！镜湫屠}1】如圖兩個(gè)圓的半徑都是4厘米，涂色部分的面積之和是（）平方厘米。解析：從圖中看出，涂色部分的角的度數(shù)和是90°，所以涂色部分的面積之和＝πr2×涂色部分占整個(gè)圓的幾分之幾，其中，涂色部分占整個(gè)圓的幾分之幾＝涂色部分的角的度數(shù)和÷360°。3.14×42×＝12.56平方厘米，所以涂色部分的面積之和是12.56平方厘米?！镜湫屠}2】圖形探索：根據(jù)情境完成填空。情境描述：一天，六（1）班的牛牛同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)任意的四邊形，接著他又分別以四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫了4個(gè)半徑是3cm的扇形，再給這4個(gè)扇形涂上陰影，如圖，畫完后，他好奇地發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：陰影部分的面積是多少呢？經(jīng)過(guò)他深入探索，他突然興奮地嚷道：“太簡(jiǎn)單了！用四年級(jí)學(xué)過(guò)的多邊形的內(nèi)角和知識(shí)不就解決了嗎?！比绻襾?lái)解決，按照牛牛同學(xué)的思路，這4個(gè)扇形剪下來(lái)正好可以拼成一個(gè)()，因?yàn)?)，所以陰影部分的面積()cm2。解析：圓；四邊形的內(nèi)角和是360°；28.26【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圖中陰影部分的面積之和是()cm2。解析：3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】三個(gè)半徑2cm的圓的圓心正好在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，你能算出涂色部分的面積嗎？（提示：三角形的內(nèi)角和是180°）解析：3.14×22×3－3.14×22÷2＝37.68－6.28＝31.4（cm2）答：涂色部分的面積是31.4cm2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，四個(gè)圓的直徑都是10cm，陰影部分的面積是()cm2。（π≈3）解析：3×（10÷2）2＝3×25＝75（cm2）【考點(diǎn)七】與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形和陰影部分圖形的面積?！痉椒c(diǎn)撥】解決與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形或陰影部分面積，關(guān)鍵在于熟練掌握常見平面圖形的面積公式，本考點(diǎn)具體拓展部分請(qǐng)參考《圓的面積提高篇》?！镜湫屠}】求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：陰影部分面積為：（平方厘米）答：陰影部分的面積為19.44平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如下圖，在直角梯形ABCO中，OA是圓的半徑，，，求陰影部分的面積。（單位：厘米，取3.14）解析：（4＋8）×4÷2－3.14×42×＝12×2－3.14×16×＝24－12.56＝11.44（平方厘米）答：陰影部分的面積是11.44平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，四邊形ABCD是周長(zhǎng)為80厘米的正方形，在以C為圓心、CD為半徑的扇形中，∠DCE＝90°。求陰影部分的面積。（圓周率取3.14）解析：80÷4＝20（厘米）20×20×＝200（平方厘米）3.14×20×20×＝314（平方厘米）200＋