第02講 坐標與軸對稱(3類熱點題型講練)（解析版）

第02講坐標與軸對稱(3類熱點題型講練)1．探索圖形坐標變化的過程；(重點)2．了解掌握圖形坐標變化與圖形軸對稱之間的關(guān)系．(難點)知識點01坐標系中的平移（1）將點向右（或向左）平移a個單位可得對應(yīng)點或．（2）將點向上（或向下）平移b個單位可得對應(yīng)點或．總結(jié)：點的左右平移橫坐標滿足左減右加，點的上下平移縱坐標滿足上加下減．知識點02坐標系中的對稱（1）點關(guān)于x軸的對稱點是，即橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．（2）點關(guān)于y軸的對稱點是，即縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)．總結(jié)：點關(guān)于哪條坐標軸對稱則哪個坐標不變，另外一個坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)．（3）點關(guān)于坐標原點的對稱點是，即橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù)．（4）點關(guān)于點的對稱點是．（5）點關(guān)于的對稱點是．（6）點關(guān)于的對稱點是．（7）點關(guān)于一三象限的平分線的對稱點為．（8）點關(guān)于二四象限的平分線的對稱點為．題型01關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標【典例1】（2023·全國·八年級專題練習）點關(guān)于軸對稱點的坐標是，關(guān)于軸對稱點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，即可解答．【詳解】解：點關(guān)于于軸對稱點的坐標是，關(guān)于y軸對稱點的坐標是．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于x軸對稱點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同．【變式1】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測）點的坐標是，則點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，點關(guān)于軸對稱時，橫坐標不變，縱坐標為相反數(shù)，關(guān)于軸對稱時，橫坐標為相反數(shù)，縱坐標不變，即可求解．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱時，橫坐標不變，縱坐標為相反數(shù)，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，關(guān)于軸對稱時，橫坐標為相反數(shù)，縱坐標不變，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，故答案為，．【點睛】本題考查了坐標與軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·河南漯河·八年級校考期末）若點與點關(guān)于x軸對稱，則．【答案】2【分析】根據(jù)若兩點關(guān)于軸對稱，則橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，解得，∴．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)點關(guān)于坐標軸對稱的特征，熟練掌握若兩點關(guān)于軸對稱，則橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；若兩點關(guān)于y軸對稱，則橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變是解題的關(guān)鍵．題型02作圖——軸對稱變換【典例2】（2022秋·吉林·八年級?？计谥校┤鐖D，的三個頂點的坐標分別為，，．

(1)直接寫出點C關(guān)于x軸對稱的點的坐標；(2)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點B的對應(yīng)點的坐標；(3)在x軸上求作一點P，使點P到A、B兩點的距離和最小，請標出點P．【答案】(1)(2)見解析，(3)見解析【分析】（1）關(guān)于軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，由此可得答案．（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，再根據(jù)圖寫出點坐標即可．（3）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸交于點，連接，此時點到、兩點的距離和最小．【詳解】（1）解：（1）與關(guān)于軸對稱，，點．（2）解：如圖，即為所求，．

（3）解：如圖，點即為所標．

【點睛】本題考查作圖軸對稱變換，軸對稱最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為、、．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對稱的圖形；(2)在圖中，若與點關(guān)于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是__________，此時點關(guān)于這條直線的對稱點的坐標為__________；(3)的面積為__________；寫出計算過程．【答案】(1)見解析(2)y軸，(3)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的坐標特征：橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，得到A、B、C的對應(yīng)點、、的坐標，然后描點連線即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征：縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，得到點和點B的對稱軸為y軸，進而可得點的坐標；（3）根據(jù)網(wǎng)格特點和割補法求解面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作：

（2）解：如圖，∵，，∴點和點B的對稱軸為y軸，∵，∴點關(guān)于這條直線的對稱點的坐標為，故答案為：y軸，；（3）解：的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變換-軸對稱，熟練掌握關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征是解答的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學思想，借助于坐標系我們可以研究特殊的對稱關(guān)系．已知，，、關(guān)于直線的對稱點為、．

(1)寫出的坐標___________，的坐標___________；(2)寫出關(guān)于的對稱點的坐標___________；(3)寫出點關(guān)于直線的對稱點的坐標___________．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解；（2）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解；（3）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解．【詳解】（1）如圖，∵點與點關(guān)于直線對稱，∴，∴點與點縱坐標相同，橫坐標之和等于，∴點，同理：，

（2）∵關(guān)于直線對稱，∴對應(yīng)點縱坐標相同，橫坐標之和等于，∴點，（3）∵關(guān)于直線對稱，∴對應(yīng)點縱坐標相同，橫坐標之和等于，∴點，【點睛】此題考查坐標與圖形變化一對稱，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)．題型03平面直角坐標系中的規(guī)律探究【典例3】（2023春·河南安陽·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，，，．把一條長為2023個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的方向繞在四邊形的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)題意可得繞四邊形一周的細線長度為，再由，可得細線另一端在繞四邊形第145圈的第7個單位長度的位置，即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴，∴繞四邊形一周的細線長度為，∵，∴細線另一端在繞四邊形第145圈的第7個單位長度的位置，即從點B向下沿移動5個單位所在的點的坐標即為所求，也就是點．故答案為：．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探求，根據(jù)點的坐標求出四邊形一周的長度，從而確定2023個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·遼寧鞍山·七年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑢τ邳c，我們把叫做點P的伴隨點，已知的伴隨點為，的伴隨點為，…，這樣依次下去得到，，……，．若的坐標為，則的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)伴隨點的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點的坐標即可．【詳解】解：的坐標為，，，，，，依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，，點的坐標與的坐標相同，為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了坐標規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義，解題的關(guān)鍵是求出每個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)．【變式2】（2023春·山東德州·七年級?？计谥校┤鐖D，一個動點在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點，第4次運動到點，第5次運動到點……按這樣的運動規(guī)律，第2021次運動到點P，則點P的坐標是．

【答案】【分析】分析點P的運動規(guī)律，找到循環(huán)次數(shù)即可．【詳解】解：分析圖象可以發(fā)現(xiàn)，點P的運動每4次位置循環(huán)一次．每循環(huán)一次向右移動四個單位．∴，當?shù)?05循環(huán)結(jié)束時，點P位置在，在此基礎(chǔ)之上運動一次到，故答案為：．【點睛】本題是規(guī)律探究題，解題關(guān)鍵是找到動點運動過程中，每運動多少次形成一個循環(huán)．一、單選題1．（2023春·四川宜賓·八年級期末）點關(guān)于軸對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】關(guān)于y軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為．故選：B．【點睛】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律．關(guān)于x軸對稱的兩個點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．2．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，點的坐標是，則點P關(guān)于y軸對稱的點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征：縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，得到點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標，再根據(jù)象限內(nèi)點的坐標特征分析，即可得到答案．【詳解】解：點的坐標是，點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標是，點P關(guān)于y軸對稱的點所在的象限是第一象限，故選：A．【點睛】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征以及象限內(nèi)點的坐標特征，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知點與點關(guān)于軸對稱，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出，的值，進而得出答案．【詳解】解：∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，，解得：，，則的值為：．故選：B．【點睛】此題主要考查了關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．4．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）已知點與點關(guān)于某直線對稱，則這條直線是（

）A．x軸 B．y軸C．過點且垂直于x軸的直線 D．過點且垂直于軸的直線【答案】C【分析】由題意軸，所以過中點且垂直于x軸的直線即為所求的直線，然后根據(jù)選項內(nèi)容進行判斷．【詳解】解：∵點，點，∴軸，設(shè)的中點為M，則M點坐標為，即，∴點與點關(guān)于經(jīng)過點且垂直于軸的直線對稱，故選項A，B，D錯誤；又∵在這條直線上，∴選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查點的坐標及軸對稱，掌握軸對稱的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．5．（2023春·河南鄭州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，為等腰直角三角形，，邊在軸正半軸上，，點在第一象限內(nèi)，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)則第2023次旋轉(zhuǎn)后，點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察圖象可知，點旋轉(zhuǎn)8次一個循環(huán)，利用這個規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：∵為等腰直角三角形，，∴，觀察圖象可知，點旋轉(zhuǎn)8次一個循環(huán)，余數(shù)為7，點的坐標與相同，點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查坐標與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．二、填空題6．（2023·全國·八年級專題練習）點關(guān)于軸對稱點的坐標是，關(guān)于y軸對稱點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．【詳解】解：點關(guān)于軸對稱點的坐標是，關(guān)于y軸對稱點的坐標是．故答案為：；【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律．7．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學考試）點與關(guān)于x軸對稱，．【答案】3【分析】由點與關(guān)于x軸對稱，可得，計算求解即可．【詳解】解：∵點與關(guān)于x軸對稱，∴，解得，故答案為：3．【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點坐標的特征，解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：關(guān)于x軸對稱的點坐標，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．8．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學考試）已知點與點關(guān)于軸對稱，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的特征，“橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)”，得到方程組，求解即可．【詳解】解：點與點關(guān)于軸對稱則，解得，∴故答案為：【點睛】此題考查了坐標與圖形，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于軸對稱的點的特征，正確求得的值．9．（2022秋·甘肅定西·八年級?？计谥校┮阎c的坐標滿足等式，且點與關(guān)于軸對稱，則點的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)平方數(shù)，絕對值的非負性可求出的值，根據(jù)的符號與象限的特點，點關(guān)于軸對稱的特點即可求解．【詳解】解：，∵，，∴，，∴，，∴，∵點與關(guān)于軸對稱，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查平方數(shù)、絕對值的非負性，象限中符號的特點，點關(guān)于軸對稱的特點等知識，掌握平面直角坐標系中點的對稱是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點，…，按此作法進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】對奇數(shù)點，偶數(shù)點分開討論，找出點坐標與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查點坐標規(guī)律探索，由開始的幾個點坐標總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論．三、解答題11．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學校考期末）在如圖的直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，的三個頂點都在格點上（每個小方格的頂點叫格點），點A的坐標為．(1)請畫出關(guān)于x軸對稱的（不寫畫法，其中，，分別是A，B，C的對應(yīng)點）；(2)直接寫出，，三點的坐標：（______），（______），（______）；(3)在y軸上求作一點P，使的值最小并寫出最小值．【答案】(1)見解析(2)，，，，，(3)畫圖見解析，最小值為【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，進而得出答案；（2）利用所畫圖形寫出各點坐標即可；（3）利用軸對稱求出最短路徑，再利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；

（2）如圖所示：，，；（3）如圖所示：點即為所求，找到點關(guān)于軸對稱點，連接，交軸于點，此時的值最小，且為．【點睛】此題主要考查了軸對稱變換以及利用軸對稱求最短路徑，勾股定理，根據(jù)題意得出對應(yīng)點坐標是解題關(guān)鍵．12．（2023秋·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其行走路線如圖所示．

(1)填寫下列各點的坐標：（，），（，），（，）．(2)寫出點的坐標（n是正整數(shù)）；(3)指出螞蟻從點到點的移動方向．【答案】(1)2，0；4，0；6，0(2)(3)向上【分析】（1）觀察圖形可知，，，都在軸上，求出，，的長度，然后寫出坐標即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律寫出點的坐標即可；（3）根據(jù)到點的移動方向與到的方向一致，即可得到答案．【詳解】（1）解：由圖可知，，，都在軸上，螞蟻每次移動1個單位，，，，，，，故答案為：2，0；4，0；6，0；（2）解：根據(jù)（1）知：，，，……，點的坐標為；（3）解：，，螞蟻從點到點的移動方向與到的方向一致，移動方向為向上．【點睛】本題主要考查了點的變化規(guī)律，仔細觀察圖形，確定出都在軸上是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·山東泰安·七年級?？奸_學考試）在平面直角坐標系中，點、點、點、點都在由邊長為1的小正方形組成網(wǎng)格的格點上，的位置如圖所示．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對稱的；(2)的頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標為：________；的頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標為：________；(3)求的面積．(4)在軸上求作一點，使的值最小，保留畫圖痕跡，并寫出最小值_____