基本不等式練習(xí)題11

課題根本不等式(復(fù)習(xí)課)教師寄語(yǔ):時(shí)機(jī)總是給有準(zhǔn)備的人！復(fù)習(xí)目標(biāo):知識(shí)目標(biāo)

1.了解根本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用根本不等式解決證明以及簡(jiǎn)單的最大〔小〕值問(wèn)題.能力目標(biāo)

能夠利用根本不等式證明不等式，求函數(shù)的最值，掌握變形過(guò)程中的一些常用方法.情感目標(biāo)

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探索、主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考,通過(guò)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)論；進(jìn)一步滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法；感受數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.重

點(diǎn)

利用根本不等式求最值問(wèn)題.難

點(diǎn)配湊應(yīng)用根本不等式的條件，一正二定三相等.1．如果a＞0，b＞0，那么叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．2．如果a＞0，b＞0，那么叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)．3．重要不等式：a，b∈R，那么a2＋b2≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．4．根本不等式：a＞0，b＞0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．5．求最小值：a>0，b>0，當(dāng)ab為定值時(shí)，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.簡(jiǎn)記為：積定和最?。?．求最大值：a＞0，b＞0，當(dāng)a＋b為定值時(shí)，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2為定值時(shí)，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.簡(jiǎn)記為：和定積最大．7．拓展：假設(shè)a＞0，b＞0時(shí)，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤≤eq\f(a＋b,2)≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．1.設(shè)a，b∈R，且a＋b＝3，那么2a＋2b的最小值是A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(6)2.向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．假設(shè)m∥n，那么ab的最大值為()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．43.設(shè)f(x)＝lnx，0＜a＜b，假設(shè)p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，那么以下關(guān)系式中正確的選項(xiàng)是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q4.假設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，那么x2＋2y2的最小值為________．5.函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，那么實(shí)數(shù)a＝________.6．給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：①因?yàn)閍，b∈R＋，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；②因?yàn)閤，y∈R＋，所以lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)；③因?yàn)閍∈R，a≠0，所以eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4；④因?yàn)閤，y∈R，xy＜0，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2.其中正確的推導(dǎo)為〔填序號(hào)〕7．x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，那么eq\f(〔a＋b〕2,cd)的最小值為類型一利用根本不等式證明不等式例1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.變式1(1)證明：(2)類型二利用根本不等式求最值例2(1)函數(shù)y＝eq\f(〔x＋5〕〔x＋2〕,x＋1)(x＞－1)的值域?yàn)開_______．(2)如果函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A．16B．18C．25D.eq\f(81,2)【點(diǎn)撥】(1)根本不等式的應(yīng)用在于“定和求積，定積求和〞，必要時(shí)可以通過(guò)變形(拆補(bǔ))、配湊，常數(shù)代換、構(gòu)造“和〞或者“積〞，使之為定值．(2)此題要討論拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，根據(jù)所給單調(diào)區(qū)間找到m、n滿足的條件，再利用根本不等式求解．變式2(1)t＞0，那么函數(shù)f(t)＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為．(2)x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值．類型三利用根本不等式求參數(shù)范圍例3a>0，b>0，假設(shè)不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，那么m的最大值為()A．4B．16C．9D．【點(diǎn)撥】一般地，對(duì)含參的不等式求范圍問(wèn)題通常采用別離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，對(duì)于“恒成立〞的不等式，一般的解題方法是先別離然后求函數(shù)的最值．另外，要記住幾個(gè)常見(jiàn)的有關(guān)不等式的等價(jià)命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.變式3〔1〕函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．假設(shè)關(guān)于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．〔2〕假設(shè)不等式|2a－1|≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．類型四利用根本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例4某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保存空地邊上的一水塘(如圖中陰影局部)，水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，經(jīng)測(cè)量得到AE＝10m，EF＝20m，為保證平安同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄，設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)G作一直線分別交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場(chǎng)，設(shè)(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積．變式4如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔排出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am，高度為bm，排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60m2，問(wèn)a，b各為多少m時(shí)，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A1．要熟悉根本不等式的變式和推廣，這對(duì)提高解題能力是有幫助的，常見(jiàn)的根本不等式的變式和推廣有：①a2＋b2≥eq\f(〔a＋b〕2,2)；②ab≤eq\f(a2＋b2,2)；③ab≤eq\f(1,4)(a＋b)2；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)；⑤(a＋b)2≥4ab；⑥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))；⑦eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)；⑧abc≤eq\f(a3＋b3＋c3,3)等．對(duì)于以上各式，要明了其成立的條件和取“＝〞的條件．2．在利用根本不等式求最值時(shí)，要注意一正，二定，三相等．“一正〞是指使用均值