新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.3對(duì)數(shù)4.3.1對(duì)數(shù)的概念學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

4．3.1對(duì)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)．2．掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程．核心素養(yǎng)1．通過生活實(shí)例形成對(duì)數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．通過指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的概念(1)一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝_logaN_，其中a叫做對(duì)數(shù)的_底數(shù)_，N叫做_真數(shù)_.(2)ax＝N?x＝_logaN_.(3)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)，記作_lg_N_.自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)，記作_ln_N_.提醒：對(duì)數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算練一練：1．將ab＝N化為對(duì)數(shù)式是(B)A．logba＝N B．logaN＝bC．logNb＝a D．logNa＝b[解析]根據(jù)對(duì)數(shù)定義知ab＝N?b＝logaN，故選B.2．對(duì)數(shù)式loga8＝3改寫成指數(shù)式為(D)A．a(chǎn)8＝3 B．3a＝8C．83＝a D．a(chǎn)3＝8[解析]根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化可知，把loga8＝3化為指數(shù)式為a3＝8，故選D.知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)．(2)loga1＝_0_.(3)logaa＝_1_.練一練：填空：(1)lne＝_1_；(2)lg10＝_1_；(3)ln1＝_0_；(4)lg1＝_0_.知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)恒等式_N_；＝_b_.練一練：把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：[解析](1)log28＝3；(2)lnm＝eq\r(3)；(3)log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).題型探究題型一對(duì)數(shù)的定義典例1(1)在對(duì)數(shù)式y(tǒng)＝log(x－2)(4－x)中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_{x|2<x<4，且x≠3}_.(2)將下列對(duì)數(shù)形式化為指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式化為對(duì)數(shù)形式：[分析](1)底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，對(duì)數(shù)式才有意義．(2)由指、對(duì)數(shù)式互化的方法進(jìn)行互化．[解析](1)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3，所以2<x<4，且x≠3.(2)①由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.②由＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.③由lg1000＝3，可得103＝1000.④由lnx＝2，可得e2＝x.[歸納提升]1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法技巧(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式．(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．2．互化時(shí)應(yīng)注意的問題(1)利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時(shí)，要注意字母的位置改變．(2)對(duì)數(shù)式的書寫要規(guī)范：底數(shù)a要寫在符號(hào)“l(fā)og”的右下角，真數(shù)正常表示．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：[解析](1)log3eq\f(1,9)＝－2.(2)(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27.(4)(eq\r(x))－6＝64.題型二對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用典例2求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0；(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.[分析]利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化進(jìn)行解答．[解析](1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)由log3(log7x)＝1，得log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)由lg(lnx)＝1，得lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.[歸納提升]對(duì)數(shù)性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用(1)對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?求下列各式中x的值：[解析]即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r((\r(2)＋1)2))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.題型三對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用典例3計(jì)算：[解析][歸納提升]運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)注意事項(xiàng)(1)對(duì)于對(duì)數(shù)恒等式＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為對(duì)數(shù)的真數(shù)．(2)對(duì)于指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，應(yīng)充分考慮對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?計(jì)算：(1)＝_8_；＝_25_.[解析](1)＝2×4＝8.＋eq\f(9,9)＝25.1．下列說法：①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成為對(duì)數(shù)式；③以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；④以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①正確；②底數(shù)小于0的指數(shù)式不可以化成對(duì)數(shù)式；③④正確，故選C.2．在b＝log(a－2)(5－a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．(－∞，2) B．(2,3)∪(3,5)C．(2,5) D．(3,4)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))∴2<a<5且a≠3，故選B.3．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝