6年高考4年模擬-第六章第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和第一部分六年高考題薈萃2010年高考題一、選擇題1.（2010浙江理）（3）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，則（A）11（B）5（C）（D）解析：通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬中檔題2.（2010全國卷2理）（4）.如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】3.（2010遼寧文）（3）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，，則公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B解析：選B.兩式相減得，，.4.（2010遼寧理）（6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和。已知a2a4=1,,則（A）(B)(C)(D)【答案】B【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學(xué)們解決問題的能力?！窘馕觥坑蒩2a4=1可得，因此，又因為，聯(lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。5.（2010全國卷2文）(6)如果等差數(shù)列中，++=12，那么++???…+=（A）14(B)21(C)28(D)35【答案】C【解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識?！?，∴6.（2010安徽文）(5)設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為（A）15(B)16(C)49（D）64【答案】A【解析】.【方法技巧】直接根據(jù)即可得出結(jié)論.7.（2010浙江文）(5)設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，則(A)-11 (B)-8(C)5 (D)11解析：通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式8.（2010重慶理）（1）在等比數(shù)列中，，則公比q的值為A.2B.3C.4D.8【答案】A解析：9.（2010廣東理）4.已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若，且與2的等差中項為，則=A．35B.33C.31D.29【答案】C解析：設(shè){}的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即。由與2的等差中項為知，，即．∴，即．，即．10.（2010廣東文）11.（2010山東理）12.（2010重慶文）（2）在等差數(shù)列中，，則的值為（A）5（B）6（C）8（D）10【答案】A解析：由角標(biāo)性質(zhì)得，所以=5二、填空題1.（2010遼寧文）（14）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則。解析：填15.,解得，2.（2010福建理）11．在等比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】由題意知，解得，所以通項?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。3.（2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_________解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。 在點(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時，解得，所以。三、解答題1.（2010上海文）21.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小題滿分8分。已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解析：(1)當(dāng)n1時，a114；當(dāng)n≥2時，anSnSn15an5an11，所以，

又a1115≠0，所以數(shù)列{an1}是等比數(shù)列；

(2)由(1)知：，得，從而(nN*)；

由Sn1>Sn，得，，最小正整數(shù)n15．2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分） 已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項; （Ⅱ）求數(shù)列{2an}的前n項和Sn. 解（Ⅰ）由題設(shè)知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得＝， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通項an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比數(shù)列前n項和公式得 Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和。【解析】本題考查了數(shù)列通項、前項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。（1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于與的方程求得與，可求得數(shù)列的通項公式。（2）由（1）中求得數(shù)列通項公式，可求出bn的通項公式，由其通項公式化可知其和可分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。4.（2010江西理）22.（本小題滿分14分）證明以下命題：對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列?！窘馕觥孔鳛閴狠S題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。（1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則，分解得：選取關(guān)于n的一個多項式，做兩種途徑的分解對比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù)m，n，若△m，△相似：則三邊對應(yīng)成比例，由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。5.（2010安徽文）（21）（本小題滿分13分)設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.(Ⅰ)證明：為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項公式，代入數(shù)列，然后用錯位相減法求和.【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項與之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時，通常是利用前n項和乘以公比，然后錯位相減解決.6.（2010重慶文）（16）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分.）已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前項和.（Ⅰ）求通項及；（Ⅱ）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項和.7.（2010浙江文）（19）（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍。8.（2010北京文）（16）（本小題共13分）已知為等差數(shù)列，且，。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，，求的前n項和公式解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差。因為所以解得所以（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為因為所以即=3所以的前項和公式為9.（2010四川理）（21）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………(2)當(dāng)n∈N*時，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數(shù)列則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.當(dāng)q＝1時，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)當(dāng)q≠1時，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.兩邊同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述兩式相減得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2·－2nqn＝2·所以Sn＝2·綜上所述，Sn＝…………12分10.（2010全國卷1理）（22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列中，.（Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍.11.（2010山東理）（18）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項和=。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。2009年高考題一、選擇題1.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.B.C.D.2【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B2.(2009安徽卷文）已知為等差數(shù)列，，則等于A.-1 B.1 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?！敬鸢浮緽3.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則等于A.18B.24C.60D.90【答案】C【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C4.（2009湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于()A．13B．35C．49D．63【解析】故選C.或由,所以故選C.5.（2009福建卷理）等差數(shù)列的前n項和為，且=6，=4，則公差d等于A．1BC.-2D3【答案】：C[解析]∵且.故選C6.（2009遼寧卷文）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝A.－2B.－C.D.2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B7.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝1008.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則A.38B.20C.10D.9【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選.C。9..（2009重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和二、填空題10.（2009全國卷Ⅰ理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則=答案24解析是等差數(shù)列,由,得.11.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則．答案：15解析對于12.（2009北京文）若數(shù)列滿足：，則；前8項的和.（用數(shù)字作答）答案225.解析本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.，易知，∴應(yīng)填255.13.（2009全國卷Ⅱ文）設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。若，則=×答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=314.（2009全國卷Ⅱ理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則解析為等差數(shù)列，答案915.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列的前項和為，且則解析∵Sn＝na1＋n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4答案三、解答題16.（2009浙江文）設(shè)為數(shù)列的前項和，，，其中是常數(shù)．（I）求及；（II）若對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．解（Ⅰ）當(dāng)，（）經(jīng)驗，（）式成立，（Ⅱ）成等比數(shù)列，，即，整理得：，對任意的成立，17.（2009北京文）設(shè)數(shù)列的通項公式為.數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前2m項和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.解（Ⅰ）由題意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.（Ⅱ）由題意，得，對于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.∴.（Ⅲ）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.∵,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有，即對任意的正整數(shù)m都成立.當(dāng)（或）時，得（或），這與上述結(jié)論矛盾！當(dāng)，即時，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，..18.(2009山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項和為，已知對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時，記求數(shù)列的前項和解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以（2）當(dāng)b=2時，,則相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前項和.19.（2009全國卷Ⅱ文）已知等差數(shù)列{}中，求{}前n項和.解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。解：設(shè)的公差為，則即解得因此20.（2009安徽卷文）已知數(shù)列{}的前n項和，數(shù)列{}的前n項和（Ⅰ）求數(shù)列{}與{}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，＜【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出后，進而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法?！窘馕觥?1)由于當(dāng)時,又當(dāng)時數(shù)列項與等比數(shù)列,其首項為1,公比為(2)由(1)知由即即又時成立,即由于恒成立.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,21.（2009江西卷文）數(shù)列的通項，其前n項和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故22.（2009天津卷文）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)（Ⅰ）若,求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若成等比數(shù)列，求q的值。（Ⅲ）若（1）解：由題設(shè)，代入解得，所以（2）解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設(shè)，可得，則①②①-②得，①+②得，③③式兩邊同乘以q，得所以（3）證明：=因為，所以若，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設(shè)知，，且當(dāng)時，，由，即，所以因此當(dāng)時，同理可得因此綜上，【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。23.（2009全國卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列的前項和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項公式。解：（I）由及，有由，．．．①則當(dāng)時，有．．．．．②②－①得又，是首項，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得，數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列．，評析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找．第（II）問中由（I）易得，這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。24.（2009遼寧卷文）等比數(shù)列{}的前n項和為，已知,,成等差數(shù)列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依題意有由于，故又，從而5分（Ⅱ）由已知可得故從而10分25.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項公式。（1）證當(dāng)時，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時，當(dāng)時，。所以。26.（2009湖北卷文）已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55,a2+a7(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式：（Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn解（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得將其代入②得。即（2）令兩式相減得于是=-4=27.（2009福建卷文）等比數(shù)列中，已知（I）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和。解：（I）設(shè)的公比為由已知得，解得（Ⅱ）由（I）得，，則，設(shè)的公差為，則有解得從而所以數(shù)列的前項和28（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問3分，（Ⅱ）問4分，（Ⅲ）問5分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項和，求證：；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ），所以（Ⅱ）由得即所以當(dāng)時，于是所以（Ⅲ）當(dāng)時，結(jié)論成立當(dāng)時，有所以2005—2008年高考題一、選擇題1.（2008天津）若等差數(shù)列的前5項和，且，則()A.12B.13C.14D.15答案B2.（2008陜西）已知是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案B3.（2008廣東）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．16 B．24 答案D4.（2008浙江）已知是等比數(shù)列，，則=（）A.16（）B.6（）C.（）D.（）答案C5.（2008四川）已知等比數(shù)列中，則其前3項的和的取值范圍是()A.B.C.D.答案D6.（2008福建)設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若n1=7,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項的和為()A.63 B.64 C.127 D.128答案C7.（2007重慶）在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（）A．2B．3C．4D．8答案A8.（2007安徽）等差數(shù)列的前項和為若（）A．12B．10C．8D答案B9.（2007遼寧）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．63B．45C．36D．27答案B10.(2007湖南)在等比數(shù)列（）中，若，，則該數(shù)列的前10項和為（）A．B．C．D．答案B11.(2007湖北)已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A．2B．3C．4D．5答案D12.(2007寧夏)已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點是，則等于（）A．3B．2C．1D．答案D13.(2007四川)等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（）A．9B．10C．11D答案B14.（2006湖北）若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則A．4B．2C．－2D答案D解析由互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比數(shù)列可得d＝6，所以a＝－4，選D15.（2005福建）已知等差數(shù)列中，的值是 （）A．15 B．30 C．31 D．64答案A16.（2005江蘇卷）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，首項a1=3，前三項和為21，則a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.189答案C二、填空題17.（2008四川）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為______.答案418.（2008重慶)設(shè)Sn=是等差數(shù)列{an}的前n項和，a12=-8,S9=-9,則S16=.答案-7219.(2007全國I)等比數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為．答案20.（2007江西）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則 ．答案721.（2007北京）若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為 ；數(shù)列中數(shù)值最小的項是第 項．答案 22.（2006湖南）數(shù)列滿足：，2，3….則.答案解析數(shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴.三、解答題23.（2008四川卷）．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知（Ⅰ）證明：當(dāng)時，是等比數(shù)列；（Ⅱ）求的通項公式解由題意知，且兩式相減得即①（Ⅰ）當(dāng)時，由①知于是又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知，即當(dāng)時，由由①得因此得24.（2008江西卷）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，.（1）求；（2）求證.解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有①由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解①得故（2）∴25..（2008湖北）.已知數(shù)列和滿足：,其中為實數(shù)，為正整數(shù).（Ⅰ）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè),為數(shù)列的前項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，（滿分14分）（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列.(Ⅱ)解：因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(λ+18),所以當(dāng)λ＝－18，bn=0(n∈N+),此時｛bn｝不是等比數(shù)列：當(dāng)λ≠－18時，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故當(dāng)λ≠-18時，數(shù)列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數(shù)列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立，即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①當(dāng)n為正奇數(shù)時，1<f(n)∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<當(dāng)a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b>3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn26.（2005北京）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；（II）的值.解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2),∴數(shù)列{an}的通項公式為27.（2005福建）已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設(shè){}是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當(dāng)n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由.解：（Ⅰ）由題設(shè)（Ⅱ）若當(dāng)故若當(dāng)故對于第二部分四年聯(lián)考題匯編2010年聯(lián)考題題組二（5月份更新）一、填空題1．（岳野兩校聯(lián)考）等差數(shù)列中，，公差，且、、恰好是某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列的公比為（）A．2 B． C．D．4答案D2.（三明市三校聯(lián)考）在等比數(shù)列中，已知，則的值為（）A．16B．24C答案A3.（昆明一中一次月考理）已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.則A．1或B．1C．D．答案:A4.(安徽六校聯(lián)考)若等差數(shù)列的前項和為，且為確定的常數(shù)，則下列各式中，也為確定的常數(shù)是()A.B.C.D.答案B5．（昆明一中四次月考理）等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）（A）（B）（C）8（D）6答案：A6.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)）已知等差數(shù)列的前項和為，若等于（）A．18B．36C．54D答案D7．（玉溪一中期中理）等差數(shù)列中，，其前項和為，且（）A．B．1C．0D．2答案：C8.（祥云一中二次月考理）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若則等于（）A.16B.26C.30D.80答案：C9.（祥云一中二次月考理）在數(shù)列的值為（）A.4950B4951C答案：B10.（祥云一中二次月考理）在等差數(shù)列成等比數(shù)列，則的通項公式為（）A.B.C.D.或答案：D二、填空題11．（安慶市四校元旦聯(lián)考）對于數(shù)列{}，定義數(shù)列{}為數(shù)列{}的“差數(shù)列”，若，{}的“差數(shù)列”的通項為，則數(shù)列{}的前項和=答案12．（祥云一中三次月考理）已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和為,則=_________答案：113.（祥云一中三次月考文）數(shù)列中，，則=答案：2三、解答題14.（池州市七校元旦調(diào)研）在數(shù)列中，,（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式;（II）求數(shù)列的前項和解：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=15.（三明市三校聯(lián)考）（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和為，，且（為正整數(shù)）（Ⅰ）求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若對任意正整數(shù)，恒成立，求實數(shù)的最大值.解：（Ⅰ），①當(dāng)時，.②由①-②，得..又，，解得.數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列.（為正整數(shù)）……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由題意可知，對于任意的正整數(shù)，恒有，.數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，數(shù)列中的最小項為，必有，即實數(shù)的最大值為1………………（13分）16.（安慶市四校元旦聯(lián)考）（本題滿分16分）各項均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，對任意，有；⑴求常數(shù)的值；⑵求數(shù)列的通項公式；⑶記，求數(shù)列的前項和。解：（1）由及，得：（2）由①得②由②—①，得即：由于數(shù)列各項均為正數(shù)，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項公式是（3）由，得：17.（祥云一中二次月考理）（本小題滿分12分）在數(shù)列（1）（2）設(shè)（3）求數(shù)列18.解（1）（2）證法一：對于任意=，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列.證法二：（等差中項法）（3）由（2）得，，即設(shè)則兩式相減得，整理得，從而題組一（1月份更新）一、選擇題1、（2009濱州一模）等差數(shù)列中，，，則的值為A．15 B．23 C．25 D．37答案B2、（2009昆明市期末）已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的值為 （） A． B． C． D．答案D3、（2009番禺一模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項之積為，若＝，則必有（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1答案B4、（2009昆明一中第三次模擬）己知等比數(shù)列滿足則=()A．64B81C答案A5、（2009茂名一模）已知等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列，則等于（）A、-4B、-6C、-8D、8答案D6、（2009牟定一中期中）等比數(shù)列中，若、是方程的兩根，則的值為()（A）2（B）（C）（D）答案B7、（2009上海十四校聯(lián)考）無窮等比數(shù)列…各項的和等于 （） A． B． C． D．答案B8、（2009江門一模）已知數(shù)列的前項和，是等比數(shù)列的充要條件是A.BC.D.答案D9、（2009杭州高中第六次月考）數(shù)列{}滿足，，是的前項和，則的值為（） A． B． C．6 D．10答案A10、（2009聊城一模）兩個正數(shù)a、b的等差中項是5，等比例中項是4，若a>b，則雙曲線的離心率e等于 （）A．B．C．D．答案B11、（2009深圳一模）在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項和，則A． B． C． D．答案B二、填空題1、（2009上海十四校聯(lián)考）若數(shù)列為“等方比數(shù)列”。則“數(shù)列是等方比數(shù)列”是“數(shù)列是等方比數(shù)列”的條件2、（2009上海八校聯(lián)考）在數(shù)列中，，且，_________。答案25503、（2009江門一模）是等差數(shù)列的前項和，若，，則．答案4、（2009寧波十校聯(lián)考）已知是等差數(shù)列，，則該數(shù)列前10項和=________答案100三、解答題1、（2009杭州二中第六次月考）數(shù)列中，其中且，是函數(shù)的一個極值點．（Ⅰ）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求．（1）由題意得即，，當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（2）即，此式對也成立．2、（2009濱州一模）已知曲線過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點，點列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中．（I）求與的關(guān)系式；（II）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）若（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。解：過的直線方程為聯(lián)立方程消去得∴即（2）∴是等比數(shù)列，;（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．ⅰ。當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ<（）n－1恒成立．又（）n－1的最小值為1．∴λ<1． 10分ⅱ。當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>－（）n-1恒成立，又－（）n－1的最大值為－，∴λ>－． 11分即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數(shù)，∴λ＝－1，使得對任意n∈N*,都有． 12分3、（2009臺州市第一次調(diào)研）已知數(shù)列的首項，前n項和.（Ⅰ）求證：;（Ⅱ）記，為的前n項和，求的值.解：（1）由①，得②，②-①得：. 4分（2）由求得. 7分∴， 11分∴. 14分4、（2009上海青浦區(qū)）設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，一般地，（）．（1）求；（2）求；（3）求和：．（1）；……3分（2）當(dāng)時，（），……6分所以，（）．……8分（3）與（2）同理可求得：，……10分設(shè)=，則，（用等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法），相減得，所以．……14分5、（2009上海八校聯(lián)考）已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、、構(gòu)成以為頂點的等腰三角形。（1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證:對任意的，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式；（3）對上述等腰三角形添加適當(dāng)條件，提出一個問題，并做出解答。（根據(jù)所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）解:(1)依題意有,于是.所以數(shù)列是等差數(shù)列..4分(2)由題意得,即,()①所以又有.②由②①得：,所以是常數(shù)．６分由都是等差數(shù)列.，那么得,.(８分故1０分(3)提出問題①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數(shù)提出問題②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數(shù)解：問題①1１分當(dāng)為奇數(shù)時,,所以當(dāng)為偶數(shù)時,所以作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：.１３分當(dāng)為奇數(shù)時,有,即①，當(dāng),不合題意.15分當(dāng)為偶數(shù)時,有，,同理可求得當(dāng)時,不合題意.1７分綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值為或或.1８分解：問題②1１分當(dāng)為奇數(shù)時,,所以當(dāng)為偶數(shù)時,所以作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.１３分當(dāng)為奇數(shù)時,有,即①，當(dāng)時，.不合題意．15分當(dāng)為偶數(shù)時,有，,同理可求得.；；當(dāng)時，不合題意．1７分綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為；；；1８分6、（2009廣州一模）已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，且a1=1.(1)求證：數(shù)列{an－×2n}是等比數(shù)列；(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項的和，問是否存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.(本題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前n項和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)(1)證法1：∵an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，∴……2分由an+an+1=2n，得，故數(shù)列是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.……4分證法2：∵an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，∴……2分∵，故數(shù)列是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.……4分(2)解：由(1)得，即，∴……6分∴Sn=a1+a2+a3+…+an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+(－1)2+…+(－1)n]，……8分要使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，即對任意n∈N*都成立.①當(dāng)n為正奇數(shù)時，由(*)式得，即，∵2n+1－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，有最小值1，∴λ<1.……10分①當(dāng)n為正奇數(shù)時，由(*)式得，即，∵2n+1－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，有最小值1，∴λ<1.……10分②當(dāng)n為正偶數(shù)時，由(*)式得，即，∵2n－1>0，∴對任意正偶數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，有最小值1.5，∴λ<1.5.……12分綜上所述，存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).……14分7、（2009宣威六中第一次月考）已知數(shù)列滿足，且（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）若，且，求無窮數(shù)列所有項的和。解：8、（2009廣東三校一模）,是方程的兩根,數(shù)列的前項和為,且(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)記=,求數(shù)列的前項和.解：(1)由.且得2分,4分在中,令得當(dāng)時,T=,兩式相減得,6分.8分(2),9分,,10分=2=,13分14分9、（2009江門一模）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列，，．⑴求、；⑵對，試比較、的大??；⑶設(shè)的前項和為，是否存在常數(shù)、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說明理由．解：⑴由，得-------1分由且得-------2分所以，-------4分⑵顯然，時，；時，，，-------5分時，-------6分-------7分因為、，所以時，-------8分⑶-------9分，恒成立，則有-------11分，解得，-------12分，-------13分所以，當(dāng)，時，恒成立-------14分10、（2009汕頭一模）在等比數(shù)列｛an｝中，an＞0(nN＊），公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2aa3與as的等比中項為2。（1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)設(shè)bn＝log2an，數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn當(dāng)最大時，求n的值。解：（1）因為a1a5+2a3a5+a2a8＝25，所以，+2a3a5+＝25又an＞o，…a3＋a5＝5，…………2分又a3與a5的等比中項為2，所以，a3a5＝4而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，…………6分（2）bn＝log2an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，所以，{bn}是以4為首項，－1為公差的等差數(shù)列。。。。。。。。。9分所以，所以，當(dāng)n≤8時，＞0，當(dāng)n＝9時，＝0，n＞9時，＜0，當(dāng)n＝8或9時，最大?！?2分11、（2009深圳一模文）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且對任意正整數(shù),點在直線上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.（Ⅲ）求證：.解：(Ⅰ)由題意可得：①時,②……1分①─②得，……3分是首項為，公比為的等比數(shù)列，………………4分（Ⅱ）解法一:………………5分若為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列,………………6分得………………8分又時，，顯然成等差數(shù)列，故存在實數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.………………9分解法二:………………5分……………7分欲使成等差數(shù)列,只須即便可.……………8分故存在實數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.………………9分（Ⅲ）……10分…………11分…………12分又函數(shù)在上為增函數(shù)，，…………13分，．………14分2009年聯(lián)考題一、選擇題1.(北京市朝陽區(qū)2009年4月高三一模理)各項均不為零的等差數(shù)列中，若，則等于（）A．0B．2C．2009D．4018答案D2.(北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試?yán)?若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（）A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為的等差數(shù)列C.公比為2的等比數(shù)列D.公比為的等比數(shù)列答案A3.（2009福州三中）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則的值為（） A．2 B．4 C．7 D．8答案B4.（2009廈門一中文）在等差數(shù)列中，,則其前9項的和S9等于（）A．18B27C36D9答案A5.（2009長沙一中期末）各項不為零的等差數(shù)列中，，則的值為 （）A． B．4 C． D．答案B6.（2009宜春）在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前9項之和等于 （）A.66B．99C．144答案B7.（遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為 （）A．18 B．17 C．16 D．15答案：C.二、填空題8.(北京市東城區(qū)2009年3月高中示范校高三質(zhì)量檢測理)已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則的值為．答案9.（2009福州八中）已知數(shù)列則＿＿＿＿,＿＿＿＿答案100．5000；10.（2009寧鄉(xiāng)一中第三次月考）11、等差數(shù)列中，且，則公差=答案1011.（2009南京一模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，前三項的和為21，則答案16812.（2009上海九校聯(lián)考）已知數(shù)列的前項和為，若，則.答案128三、解答題13.（2009龍巖一中）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，當(dāng)時，有．（I）求、的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項；(Ⅲ)記，證明，對任意，.解（Ⅰ）時，，由已知，得，因為為正整數(shù)，所以，同理………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：?！?分證明：①時，命題成立；②假設(shè)當(dāng)與時成立，即，?！?分于是，