電路 (第四版) 課件 第15章 拉普拉斯變換及其在電路中的應(yīng)用

第15章拉普拉斯變換及其在

電路中的應(yīng)用15.1拉普拉斯變換的定義15.2拉普拉斯變換的性質(zhì)15.3s域電路定律和運算電路模型15.4F(s)的分解及拉普拉斯反變換15.5拉普拉斯變換在線性電路分析中的應(yīng)用15.6s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)15.7卷積積分

動態(tài)電路的方程是微分方程,當(dāng)方程較為簡單(一階或二階)時,求解較為容易;當(dāng)方程復(fù)雜(三階或高階)時,求解將變得十分繁瑣和困難。但是,如果利用數(shù)學(xué)變換,即拉普拉斯變換將時域中的微分方程變換為s域中的代數(shù)方程,就可以回避那些復(fù)雜的微積分運算,方便電路的分析和求解。事實上,拉普拉斯變換及其反變換是一對可逆變換。利用該變換可以將描述電路的微分方程變換為s域的代數(shù)方程,可以求出s域的解;

然后,通過拉普拉斯反變換將電路方程s域的解,變換為人們習(xí)慣的時域解,如圖15-1所示。

圖15-1動態(tài)電路拉普拉斯求解過程示意圖

15.1拉普拉斯變換的定義

一個定義在[0,∞)上的函數(shù)f(t),其拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)的定義為

例15-1求以下函數(shù)的像函數(shù)。

(1)單位階躍函數(shù)。

(2)單位沖激函數(shù)。

(3)指數(shù)函數(shù)。

解階躍函數(shù)和沖激函數(shù)是兩種“基本”函數(shù)。從數(shù)學(xué)分析角度看,任何激勵信號都是由單位階躍信號(或單位沖激信號)構(gòu)成的,所以研究以上基本函數(shù)特別有意義。

15.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

15.2.1線性性質(zhì)

例15-2函數(shù)f(t)=sin(ωt)和f(t)=K(1-e-αt)的定義域均為[0,∞),求它們的像函數(shù)。

15.2.2微分性質(zhì)

例15-3應(yīng)用拉氏變換的微分性質(zhì)求下列函數(shù)的像函數(shù)。

(1)f(t)=cos(ωt)

(2)f(t)=δ(t)

15.2.3積分性質(zhì)

例15-4利用拉氏變換的積分性質(zhì)求f(t)=t的像函數(shù)。

15.2.4延遲性質(zhì)

例15-5求圖15-2所示矩形脈沖f(t)=ε(t)-ε(t-τ)的像函數(shù)。圖15-2例15-5圖

根據(jù)拉氏變換的定義及其基本性質(zhì),還可求得其他常用函數(shù)的像函數(shù),如表15-1所示。

15.3s域電路定律和運算電路模型

15.3.1s域電路定律如前所述,基爾霍夫定律的時域表示為根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)可以得出s域基爾霍夫定律的表達(dá)式為

15.3.2基本電路元件的s域模型

圖15-3(a)所示為電阻元件,其時域VCR為u(t)=Ri(t),兩邊取拉氏變換,得

由此關(guān)系得出電阻元件的s域電路模型(稱為運算電路模型)如圖15-3(b)所示。

圖15-3電阻的運算電路模型

圖15-4電感元件及運算電路模型

圖15-5電容元件及運算電路模型

圖15-6耦合電感及運算電路模型

15.3.3s域電路方程

有了基本元件的s域電路(運算電路)模型以后,就可以將時域電路模型轉(zhuǎn)換成s域的運算電路模型,然后根據(jù)s域的KCL和KVL以及基本分析方法列出s域電路方程。

例15-6RLC串聯(lián)電路如圖15-7(a)所示。設(shè)電感初始電流和電容初始電壓分別為iL(0-)和uC(0-),試畫出運算電路模型并列出運算電路的KVL方程。圖15-7RLC串聯(lián)電路的運算電路模型

15.4F(s)的分解及拉普拉斯反變換

15.4.1單根情況

15.4.2共軛復(fù)根情況

15.4.3重根情況

15.5拉普拉斯變換在線性電路分析中的應(yīng)用

和相量法類似,在用運算法分析動態(tài)電路時,首先應(yīng)將時域電路模型轉(zhuǎn)換成運算電路模型,然后根據(jù)s域電路的KCL和KVL以及電路的基本分析方法列出s域電路方程,求解方程便可以得出電路的s域響應(yīng),最后通過拉氏反變換得出電路的時域響應(yīng)。有了電路的運算模型以后就可以將電阻電路中學(xué)過的各種分析方法和定理等移植到s域電路中。

例15-10已知圖15-8(a)所示電路處于穩(wěn)態(tài),電容C上的原始儲能為零。在t=0時將開關(guān)S閉合,試用運算法求解電流i1。圖15-8例15-10圖

例15-11電路如圖15-9(a)所示,已知uS=Umsin(ωt)V,

i(0-)=0,在t=0時將開關(guān)S閉合,試用運算法求解電流i(t)。圖15-9例15-11圖

圖15-10例15-11電流i的波形圖

例15-12圖15-11(a)所示為RC并聯(lián)電路,激勵為電流源iS(t),在下列兩種情況下,試求電路響應(yīng)u(t)。

(1)iS(t)=ε(t)A

(2)iS(t)=δ(t)A圖15-11例15-12圖

解運算電路如圖15-11(b)所示。

例15-13圖15-12(a)所示電路處于穩(wěn)態(tài),在t=0時將開關(guān)S閉合,已知uS=5e-2tV,iS=2A,R1=R2=5Ω,L=1H,求t≥0時的uL(t)。圖15-12例15-13圖

例15-14在圖15-13(a)所示電路中,已知R1=1Ω,R2=2Ω,L1=2H,L2=1H,M=1H,uS=6ε(t)V。試求電壓u2(t)。圖15-13例15-14圖

15.6s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

15.6.1s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義電路(或網(wǎng)絡(luò))在單一獨立激勵下,零狀態(tài)響應(yīng)r(t)的像函數(shù)R(s)與其激勵e(t)的像函數(shù)E(s)的比定義為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s),即

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義可以由圖15-14表示。圖15-14(a)所示為線性電路(網(wǎng)絡(luò)或系統(tǒng))的框圖,設(shè)零狀態(tài)條件下,在e(t)激勵下產(chǎn)生的響應(yīng)為r(t);電路轉(zhuǎn)換到s域的框圖如圖15-14(b)所示,其中E(s)為s域激勵,R(s)為s域響應(yīng),H(s)為s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

圖15-14網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義框圖

例15-15-圖15-15(a)所示為RLC串聯(lián)電路,已知激勵為電壓源uS,響應(yīng)為電容電壓uC,求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)圖15-15-例15-15圖

解因為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是零狀態(tài)條件下響應(yīng)與激勵之比,由s域電路模型圖15-15(b),得

可見,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)只與電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),而與激勵無關(guān)。

例15-16求圖15-16所示電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=

和沖激響應(yīng)h(t),若iS(t)=ε(t)-ε(t-2),計算在該激勵下的響應(yīng)io(t)。圖15-16例15-16圖

解根據(jù)運算電路模型和分流公式可得其網(wǎng)絡(luò)函數(shù),即

15.6.2s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點和極點

由上面的分析知道,電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是網(wǎng)絡(luò)(電路)零狀態(tài)下的激勵與響應(yīng)之比,其結(jié)果和激勵無關(guān),而是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的,在形式上網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)是s域的有理分式,即分子和分母都是s的多項式,它的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為

將例15-15的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)重新寫為

得其極點為

例15-17電路如圖15-17(a)所示已達(dá)穩(wěn)態(tài),已知R=4Ω,L=1H,C=0.02F,求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=Io(s)/US(s),零點、極點以及沖激響應(yīng)h(t)。圖15-17例15-17圖

15.6.3極點與沖激響應(yīng)

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點和極點可能是實數(shù),也可能是虛數(shù)或者復(fù)數(shù),如例15-17所示。因為s=σ+jω,若以實部σ為橫軸,虛部jω為縱軸,就可以得到一個關(guān)于s的復(fù)頻域平面,簡稱為復(fù)平面或s平面。在復(fù)平面上,若H(s)的零點用“。”表示,極點用“×”表示,于是就可以得到零點與極點在s平面上的分布。零點與極點在s平面上的分布情況與其時域響應(yīng)有著密切的關(guān)系。

圖15-18極點與沖激響應(yīng)的關(guān)系示意圖

值得指出的是:

(1)H(s)極點pi的位置是由網(wǎng)絡(luò)自身結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的,所以將pi稱為固有頻率或自然頻率。

(2)根據(jù)傅里葉的觀點,虛部較小的極點pi對應(yīng)于h(t)的基頻成分,所以h(t)的特征主要由靠近原點的極點決定的。

(3)H(s)是從復(fù)頻域描述電路內(nèi)部固有特性的。在復(fù)頻域分析線性動態(tài)電路不僅簡化了分析過程,而且為其賦予了鮮明的物理意義。

例15-18在例15-17中,若設(shè)uS=4e-2tV,求電路的響應(yīng)io(t)。

例15-19例133中圖1315(a)所示的電路,用s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)重新求取H(jω)=圖15-19例133圖1315(a)s域電路模型

解根據(jù)已知參數(shù),畫出圖1315(a)電路對應(yīng)的s域模型如圖15-19所示。

根據(jù)分流公式首先求得s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù),即

令s=jω,得

和例133所得結(jié)果相同。

15.7卷積積分

15.7.1卷積積分的定義如前所述,電路的沖激響應(yīng)和電路的零輸入響應(yīng)相同,零輸入響應(yīng)只與電路的性質(zhì)(結(jié)構(gòu)和參數(shù))有關(guān)。因此,沖激響應(yīng)是電路本身性質(zhì)的反映。下面將會看到,一旦知道了電路的沖激響應(yīng)就可以求出該電路在任意激勵下的響應(yīng)。更有意義的是,如果能夠通過實驗的方法測(得)到電路的沖激響應(yīng),即使不知道電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù),也可以根據(jù)沖激響應(yīng)和已知激勵直接求出電路的時域響應(yīng)。

圖15-20卷積積分的推導(dǎo)過程

15.7.2拉普拉斯變換的卷積定理

設(shè)e(t)和h(t)拉氏變換的像函數(shù)分別為E(s)和H(s),則拉氏變換的卷積定理為

圖15-21階躍函數(shù)與階躍延遲函數(shù)

15.7.3卷積積分在電路分析中的應(yīng)用

由以上分析知道,任意激勵e(t)產(chǎn)生的電路響應(yīng)r(t),除了可利用式R(s)=H(s)E(s)及其拉氏反變換r(t)=L-1[R(s)]=L

-1[H(s)E(s)]進(jìn)行計算外,也可利用卷積積分直接計算,即

圖15-22例15-20圖

例15-21圖15-23所示為RC并聯(lián)電路。其中,R=200kΩ,

C=10μF,iS(t)=20e-t

μA。設(shè)電容上原始儲能為零,求u(t)。圖15-23例15-21圖

本章我們利用拉氏變換這一數(shù)學(xué)工具,解決了線性動態(tài)電路的分析問題,即運用運算法求解動態(tài)電路。拉氏變換與反變換是一對可逆變換,可將時域求解微分方程的問題映射

(轉(zhuǎn)換)到s域的求解代數(shù)方程的問題,將求解所得s域的響應(yīng)通過拉氏反變換可得到時域響應(yīng)。需要注意的是,利用運算法求解的電路響應(yīng),包括穩(wěn)態(tài)(強制)響應(yīng)和暫態(tài)(自由)響應(yīng),兩者相加即是電路的全響應(yīng)。s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的引入為分析零狀態(tài)電路提供了方便,如果知道了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)就可以