第五章 彎曲位移

第五章梁彎曲時的位移位移的度量§1梁的位移---撓度及轉(zhuǎn)角ω－撓度θ－轉(zhuǎn)角撓曲線－－梁變形后各截面形心的連線撓度向下為正，向上為負.轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。§2梁的撓曲線近似微分方程及積分梁撓曲線近似微分方程在小變形情況下，任一截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的切線斜率。通過積分求彎曲位移的特征：1、適用于細長梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況下的對稱彎曲。2、積分應遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛度不連續(xù)處，其撓曲線的近似微分方程應分段列出，并相應地分段積分。3、積分常數(shù)由位移邊界條件確定。積分常數(shù)C1、C2由邊界條件確定XyXy

求圖所示懸臂梁A端的撓度與轉(zhuǎn)角。

例題5.1

邊界條件

求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。

例題5.3

AC段CB段

求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。例題5.3

最大轉(zhuǎn)角力靠近哪個支座，哪邊的轉(zhuǎn)角最大。最大撓度令x=a轉(zhuǎn)角為零的點在AC段一般認為梁的最大撓度就發(fā)生在跨中

例題5.4

畫出撓曲線大致形狀。圖中C為中間鉸。兩根梁由中間鉸連接，撓曲線在中間鉸處，撓度連續(xù)，但轉(zhuǎn)角不連續(xù)。

例題5.5

用積分法求圖示各梁撓曲線方程時,試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應分幾段;將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件撓曲線方程應分兩段AB,BC.共有四個積分常數(shù)xy邊界條件連續(xù)條件

例題5.5

用積分法求圖示各梁撓曲線方程時,試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應分幾段;將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件xy撓曲線方程應分兩段AB,BC.共有四個積分常數(shù)邊界條件連續(xù)條件

例題5.5

用積分法求圖示各梁撓曲線方程時,試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應分幾段;將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件xy撓曲線方程應分兩段AB,BC.共有四個積分常數(shù)邊界條件連續(xù)條件L1全梁僅一個撓曲線方程共有兩個積分常數(shù)邊界條件

例題5.5

用積分法求圖示各梁撓曲線方程時,試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應分幾段;將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件xy§3按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角疊加法計算位移的條件：1、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；2、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線性關系；3、梁上每個荷載引起的位移，不受其他荷載的影響。

由疊加法得：直接查表

AB梁的EI為已知,試用疊加法,求梁中間C截面撓度.

例題5.7

計算C點撓度將三角形分布荷載看成載荷集度為q0的均布載荷的一半查表

例題5.8

試用疊加法求圖示梁C截面撓度.EI為已知。

例題5.9

變截面梁如圖示，試用疊加法求自由端的撓度ωc.

例題5.10

多跨靜定梁如圖示，試求力作用點E處的撓度ωE.

例題5.11

圖示簡支梁AB，在中點處加一彈簧支撐,若使梁的C截面處彎矩為零,試求彈簧常量k.C處撓度等于彈簧變形。根據(jù)對稱關系平衡關系疊加法求撓度

例題5.12

懸臂梁受力如圖示.關于梁的撓曲線,由四種答案,請分析判斷,哪一個是正確的?(a)(b)(C)(d)AB,CD段彎矩為零，所以這兩段保持直線不發(fā)生彎曲變形。AB,BC,CD三段變形曲線在交界處應有共切線。§5梁的剛度校核.提高梁的剛度的措施1,梁的剛度校核將吊車梁簡化為如圖例6-12b所示的簡支梁。計算梁撓度的有關數(shù)據(jù)為：P=50+5=55kN

（1）計算變形

由型鋼表查得

因P和q而引起的最大撓度均位于梁的中點C，由表6-1查得：由疊加法，得梁的最大撓度為：（2）校核剛度將梁的最大撓度與其比較知：故剛度符合要求。吊車梁的許用撓度為：將主軸簡化為如圖例6-13b所示的外伸梁，主軸橫截面的慣性矩為材料的彈性模量：（1）計算變形由表6-1查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉(zhuǎn)角（圖c）為：由表查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉(zhuǎn)角（d）為：主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：故主軸滿足剛度條件

（2）校核剛度

例題5.13

懸臂梁承受荷載如圖示。已知均布荷載集度q=15kN/m，梁的長度L=2a=2m，材料的彈性模量E=210GPa，許用正應力[σ]=160MPa，梁的許可撓度[ω/L]=1/500。試選擇工字鋼的型號。1.按強度選擇查表：選16號工字鋼2.按剛度選擇查表：選22a號工字鋼2,提高剛度的途徑提高剛度主要是指減小梁的彈性位移彈性位移不僅與載荷有關，而且與桿長和梁的彎曲剛度(EIZ)有關對于梁,其長度對彈性位移影響較大.因此減小彈性位移除了采用合里的截面形狀以增加慣性矩IZ外,主要是減小梁的長度,當梁的長度無法減小時,則可增加中間支座.§6梁內(nèi)的彎曲應變能橫力彎曲軸向拉壓扭轉(zhuǎn)內(nèi)力分量內(nèi)力分量軸力FN扭矩T對稱彎曲內(nèi)力分量彎矩M,剪力FS應力分布規(guī)律應力分布規(guī)律正應力均勻分布切應力與距圓心距離成正比分布應力分布規(guī)律正應力與中性軸距離成正比切應力沿截面高度呈拋物線應力狀態(tài)應力狀態(tài)應力狀態(tài)單軸應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)單軸應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)強度條件強度條件軸向拉壓扭轉(zhuǎn)對稱彎曲強度條件變形公式變形公式變形公式軸向線應變單位長度扭轉(zhuǎn)角撓曲線曲