中職數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）課件9.3 直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角

9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角第九章立體幾何在如圖所示的長(zhǎng)方體中，直線和直線AD是異面直線，度量和，發(fā)現(xiàn)它們是相等的．

如果在直線AB上任選點(diǎn)P，那么過點(diǎn)P分別作直線與直線AD相等？

的平行線，它們所成的角是否與創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入1異面直線所成的角兩條相交直線的夾角是這兩條直線相交所成的最小的正角．經(jīng)過空間任意一點(diǎn)分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角叫做兩條異面直線所成的角．動(dòng)腦思考探索新知nmnOnmO如圖所示，∥m、∥n，則與的夾角就是異面直線m與n所成的角．為了簡(jiǎn)便，經(jīng)常取一條直線與過另一條直線的平面的交點(diǎn)作為點(diǎn)O．如下圖動(dòng)腦思考探索新知ABCD例1

如圖所示的長(zhǎng)方體中，，求下列異面直線所成的角：

(1)與DC；(2)與解（1）因?yàn)镈C∥AB，所以為異面直線與DC所成的角．即所求角為（2）因?yàn)椤?，所以為異面直線與所成的角．

在直角△中，

所以即所求的角為鞏固知識(shí)典型例題在如圖所示的正方體中，求下列各直線所成的角的度數(shù)：運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)正方體中，直線與直線AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？

可以發(fā)現(xiàn)，這些個(gè)角都是直角．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入2直線與平面所成的角如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就稱直線l與的交點(diǎn)叫做垂足．垂直，記作．直線l叫做平面的垂線，垂線l與平面平面畫表示直線l和平面垂直的圖形時(shí)，要把直線l畫成與平行四邊形的橫邊垂直（如圖所示），其中點(diǎn)A垂足．

動(dòng)腦思考探索新知將一根木棍PA直立在地面上，用細(xì)繩依次度量點(diǎn)P與地面上的點(diǎn)A、B、C、D的距離（如圖），發(fā)現(xiàn)PA最短．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入直線PB與平面相交但不垂直，則稱直線PB與平面斜交，直線PB叫做的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．點(diǎn)P與斜足B之間的線段叫做點(diǎn)P平面到這個(gè)平面的斜線段．

過垂足與斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．如圖所示，直線AB是斜線PB在平面內(nèi)的射影．

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面引垂線段和斜線段，垂線段最短．因此，將從平面外一點(diǎn)P到平面的的距離．

垂線段的長(zhǎng)叫做點(diǎn)P到平面如圖所示，，線段PA叫做垂線段，垂足A叫做點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影．

動(dòng)腦思考探索新知就是直線PB與平面如圖所示，所成的角．

斜線l與它在平面內(nèi)的射影的夾角，叫做直線l與平面所成的角．規(guī)定：當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，所成的角是直角；當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，所成的角是零角．顯然，直線與平面所成角的取值范圍是動(dòng)腦思考探索新知如果兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？動(dòng)腦思考探索新知例2

如圖所示，等腰ABC的頂點(diǎn)A在平面外，底邊BC在平面內(nèi)，已知底邊長(zhǎng)BC=16，腰長(zhǎng)AB=17，又知點(diǎn)A到平面的垂線段AD=10．求

（1）等腰ABC的高AE的長(zhǎng)；

（2）斜線AE和平面所成的角的大?。ň_到1o）．

解(1)在等腰ABC中，，故由BC=16可得BE=8.

在AEB中，∠AEB=90°，因此

鞏固知識(shí)典型例題例2

如圖所示，等腰ABC的頂點(diǎn)A在平面外，底邊BC在平面內(nèi)，已知底邊長(zhǎng)BC=16，腰長(zhǎng)AB=17，又知點(diǎn)A到平面的垂線段AD=10．求

（1）等腰ABC的高AE的長(zhǎng)；

（2）斜線AE和平面所成的角的大?。ň_到1o）．

（2）聯(lián)結(jié)DE.因?yàn)锳D是平面的垂線，AE是的斜線，內(nèi)的射影.所以DE是AE在是AE和平面所成的角.因此ADE中，

在所以即斜線AE和平面所成的角約為鞏固知識(shí)典型例題長(zhǎng)方體ABCD?中，高DD1=4cm，底面是邊長(zhǎng)為3cm的正方形，求對(duì)角線D1B與底面ABCD所成角的大?。ň_到1′）.

運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)在建筑房屋時(shí)，有時(shí)為了美觀和排除雨水的方便，需要考慮屋頂面與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D（1））；在修筑河堤時(shí)，為使它經(jīng)濟(jì)且堅(jiān)固耐用，需要考慮河堤的斜坡與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D（2））．（2）（1）創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入3二面角的概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，每一部分叫做一個(gè)半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．以直線l（或CD）為棱，兩個(gè)半平面分別為的二面角，記作二面角（或）（如圖）．

圖9?40CD圖9?41loNMCD動(dòng)腦思考探索新知圖9?40CD圖9?41loNMCD過棱上的一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作與棱垂直的射線，以的棱l上任意選取一點(diǎn)O

，以點(diǎn)O為垂足，在面與面內(nèi)分別作，則就是這個(gè)二面角的平面角．

這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角．如圖所示，在二面角動(dòng)腦思考探索新知二面角的平面角的大小由的相對(duì)位置所決定，與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，當(dāng)二面角給定后，它的平面角的大小也就隨之確定．因此，二面角的大小用它的平面角來度量．

當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角為零角；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角為平角．因此二面角取值范．

圍是平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墻壁與地面就組成直二面角，此時(shí)稱兩個(gè)平面垂直．平面與平面垂直記作動(dòng)腦思考探索新知例3

在正方體中（如圖），求二面角的大?。?/p>

解

AD為二面角的棱，與是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)并且與棱AD垂直的射線，為二面角的平面角．

所以因?yàn)樵谡襟w中，所以二面角為90°.

是直角．鞏固知識(shí)典型例題在正方體中，求二面角的