一維雙原子鏈諧振器的色散關系

一維雙原子鏈諧振器的色散關系

網(wǎng)格振動是研究晶體宏觀性質和微觀過程的重要基礎。由于網(wǎng)格的周期性，網(wǎng)格的振動模型具有波的形狀，通常被稱為格波。在固體物理中，格波的頻率和波數(shù)之間的關系通常被稱為網(wǎng)格振動的色散關系。祖母行業(yè)的具體研究形式是研究晶體的一個重要方面。它在研究晶體的性質、熱學性質、物理性質、超導電性、磁性、結構函數(shù)學等方面發(fā)揮著重要作用。然而，由于晶體中的原子數(shù)量很大，原子和原子之間存在相互作用，實際靜氣中的原子鏈可能含有一定的雜質，因此很難嚴格解決網(wǎng)格振動。為了探索網(wǎng)格振動的基本特征，采用了幾種近似方法，包括簡單的和諧近似、當前相鄰形狀和周期性邊界條件。在簡合近似和當前相鄰特征的情況下，討論分析了自由邊界和駐波邊境下二維雙原子鏈振動的振動模式和色散關系，并確定了不同邊界條件下的色散關系是相同的。在小波的情況下，本文討論了非簡合元素對二維雙原子鏈骨骼振動色散關系的影響。在簡合近似和周期性邊界條件下，我們研究了相鄰相鄰近似和所有原子之間的光束振動關系，并研究了不同相鄰原子作用下色散關系的差異。1[u2n][1]考慮由2N個正負離子(N個原胞)組成的一維雙原子鏈,離子質量分別為m和M(m<M)、電荷為±e,正負離子的平衡間距為a,即原胞的大小為2a.在簡諧近似下,正負離子間的庫侖作用力常數(shù)β=(d2Udr2)r=aβ=(d2Udr2)r=a,則第一近鄰原子間的庫侖作用力常數(shù)為β=-2e2/a3,第二到第四近鄰的庫侖作用力常數(shù)依次為β2=-β/8、β3=β/27、β4=-β/64,其他的多近鄰原子間庫侖作用如此類推,即距離為ka的原子間對應的庫侖作用力常數(shù)為βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.假設第一近鄰原子間作用力常數(shù)為β′1=α+β,其中α是短程力常數(shù),所用約化單位取為1,此時β的大小表示了庫侖力和短程力的抗爭,而其他原子間不考慮短程力作用.只考慮離子沿鏈的方向上運動,第2n-1和2n個離子偏離平衡位置的位移分別用u2n-1和u2n表示,其中n=1,2,…,N.因此,在周期性邊界條件下,考慮多近鄰原子作用的原子運動方程為:{Μ¨u2n-1=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n-1+k+u2Ν+2n-1-k-2u2n-1]}+α[u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1]m¨u2n=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n+k+u2Ν+2n-k-2u2n]}+α[u2n+1+u2n-1-2u2n](1)?????????????????????????Mu¨2n?1=∑k=1S{(?1)k+1βk3[u2n?1+k+u2N+2n?1?k?2u2n?1]}+α[u2n+u2N+2n?2?2u2n?1]mu¨2n=∑k=1S{(?1)k+1βk3[u2n+k+u2N+2n?k?2u2n]}+α[u2n+1+u2n?1?2u2n](1)式中,S取正整數(shù)且S≤(2N-1),當S=1時,表示只考慮了最近鄰原子的作用;當S=2時,表示考慮了從第一近鄰原子到第二近鄰原子的作用,即考慮到了次近鄰原子的作用;當S=2N-1時,表示考慮了N個原胞中所有原子的作用.由晶格的周期性,可設方程組式(1)的試探解為{u2n-1=Bei[ωt-(2n-1)aq]u2n=Aei[ωt-(2n)aq](2)式中,q為波矢,ω為晶格振動的頻率,A和B表示兩種原子的振幅.根據(jù)式(1)和式(2),下面將具體推導出3種不同近鄰原子作用下的色散關系:(1)當S=1時,只考慮了最近鄰原子作用,式(1)的原子運動方程變?yōu)?{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1a)將試探解式(2)代入方程組式(1a),并利用波恩-卡曼周期性邊界條件u2n-1=u2N+2n-1、u2n=u2N+2n,得到方程組:{(2β′1cosaq)A+(Μω2-2β′1)B=0(mω2-2β′1)A+(2β′1cosaq)B=0(3)方程組式(3)可看作是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程.根據(jù)其有解的條件是其系數(shù)行列式的值為零,得到如下方程:mΜω4-2β′1(m+Μ)ω2+4β′21(1-cos2aq)=0(4)令C=-2β′1=-2α-2β?D=2β′1cosaq=2αcosaq+2βcosaq(5)可以得到:mΜω4+C(m+Μ)ω2+C2-D2=0(6)解方程式(6),得到最近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動的色散關系表達式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}(7)把式(5)代入式(7),可得最近鄰近似下的色散關系:{ω2o=β′1mΜ{(m+Μ)+[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}ω2A=β′1mΜ{(m+Μ)-[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}(8)式(8)即為一般教科書中最近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動的色散關系.其中屬于ωo的格波稱為光學波,屬于ωA的格波稱為聲學波.(2)當S=2時,表示考慮了從第一近鄰原子到第二近鄰原子的庫侖作用,即考慮到了次近鄰原子的作用.因此,式(1)的原子運動方程變?yōu)?{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)-β8(u2n+1+u2Ν+2n-3-2u2n-1)=α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)+β(u2n+u2Ν+2n-2-74u2n-1-18u2n+1-18u2Ν+2n-3)Μ¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)-β8(u2n+2+u2Ν+2n-2-2u2n)=α(u2n+1+u2n-1-2u2n)+β(u2n+1+u2n-1-74u2n-18u2n+2-18u2Ν+2n-2)(1b)仍然取式(2)形式的試探解,代入式(1b)并利用波恩-卡曼周期性邊界條件得:{(2αcosqa+2βcosqa)A+[Μω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]B=0[mω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]A+(2αcosqa+2βcosqa)B=0(9)令:C=-2α+(-14cos2qa-74)β?D=2αcosqa+2βcosqa(10)同理,可得與式(6)相同的方程:mMω4+C(m+M)ω2+C2-D2=0.解上述方程,得到考慮次近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動的色散關系表達式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式與式(7)相同,只是其中C和D由式(10)確定.(3)當S=2N-1時,表示考慮了N個原胞中所有原子的長程庫侖作用.由于距離為ka的原子間對應的庫侖作用為βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.當k為奇數(shù)時,令k=2l-1;當k為偶數(shù)時,令k=2l,其中l(wèi)=1,2,…,N.式(1)的原子運動方程變?yōu)閧Μ¨u2n-1=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-2+u2Ν+2n-2l-2u2n-1]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-1-u2n+2l-1-u2Ν+2n-2l-1]}+α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-1+u2Ν+2n-2l+1-2u2n]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-u2Ν+2n+2l-u2n+2l]}+α(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1c)將試探解式(2)代入方程組式(1c),并利用波恩-卡曼周期性邊界條件,得到方程組:{{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}A+{Μω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}B=0{mω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}A+{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}B=0(11)同理,方程組式(11)有解的條件是其系數(shù)行列式為零,從而可得到考慮所有原子相互作用下一維雙原子鏈晶格振動的色散關系表達式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式同樣與式(7)相同,只是其中C和D由下式?jīng)Q定.{C=-2α+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]D=2αcosqa+Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa](12)當N的取值足夠大時,就可以得到考慮所有原子相互作用的無限長一維雙原子鏈晶格振動的色散關系.2原子間庫侖作用的影響根據(jù)以上推導的3種色散關系表達式,考慮N=50個原胞的一維雙原子鏈晶格振動,并給定兩離子質量分別為M=1.0、m=0.5.在最近鄰原子短程力常數(shù)α=1不變下,分析和討論原子間庫侖作用(這里用第一近鄰原子間的庫侖作用力常數(shù)β值表示)對色散關系的影響,并在第一布里淵區(qū)中比較上述3種色散關系,以揭示不同近鄰原子作用下色散關系的差異.2.13布里淵區(qū)中心的開展圖1給出了3種色散關系在第一布里淵區(qū)中心和邊緣的ωo和ωA隨β的變化情況,其中a表示只考慮最近鄰近似的情況、b表示考慮到次近鄰近似的情況、c表示考慮了所有原子相互作用的情況.如圖1所示,3種色散關系在第一布里淵區(qū)中心的ωo和邊緣的ωo及ωA都隨β絕對值的增大而減小;最近鄰近似的色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模頻率始終大于邊緣的光學模頻率,光學支和聲學支被一個禁帶隔開;但是,次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模頻率并不總是大于邊緣的光學模和聲學模頻率.由圖1可見,次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模頻率曲線與邊緣的光學模和聲學模頻率曲線依次相交,交點分別表示布里淵區(qū)中心的光學模頻率ωo與邊緣的光學模頻率ωo和聲學模頻率ωA相等;并且,隨著β絕對值的增大,交點就是布里淵區(qū)中心的ωo從大于變?yōu)樾∮谶吘壍摩豲及ωA的臨界點.于是,由這些臨界點和布里淵區(qū)中心ωo等于零的點可確定相應的β值變化區(qū)間.對于次近鄰近似的色散關系,當|β|>0.666時(點A),布里淵區(qū)中心的光學模頻率降低,而邊緣的光學模挪到了光學支的最高頻,但仍有明顯的禁帶;到|β|>0.886時(點B),光學支就開始掉入聲學支中,禁帶消失;直到|β|=1.0時(點C),布里淵區(qū)中心的光學模頻率降為零.對于所有原子相互作用的色散關系,當|β|>0.642時(點D),布里淵區(qū)中心的光學模頻率小于邊緣的光學模頻率,也仍有明顯的帶隙;到|β|>0.844時(點E),布里淵區(qū)中心的光學模頻率不僅小于邊緣的光學模頻率,而且小于邊緣的聲學模頻率,禁帶消失;而到|β|≥0.953時(點F),布里淵區(qū)中心的光學模頻率已經(jīng)降為零.由此可見,次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模因大的β絕對值而向低頻方向移動,而且所有原子相互作用下布里淵區(qū)中心的光學振動模軟化更顯著.2.23種以為依托的3種分離法根據(jù)上述圖1的結果分析,若給定β=-0.2,-0.75,-0.953時,圖2分別給出了相同β值的3種色散關系曲線.其中,a表示只考慮最近鄰近似的情況,b表示考慮到次近鄰近似的情況,c表示考慮了所有原子相互作用的情況.由圖2可見,隨著β絕對值的增大,3種晶格振動色散關系的頻率逐漸減小、頻隙位置降低、頻隙不斷減小,但最近鄰近似的色散關系曲線形狀基本不變,而次近鄰近似和所有原子相互作用下的色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模逐漸向低頻方向移動,并且所有原子的相互作用比次近鄰原子的相互作用使布里淵區(qū)中心光學模向低頻方向移動更快,這一結果與圖1是完全一致的.即使在相同的β值(β≠0)條件下,3種色散關系曲線在第一布里淵區(qū)中總是按bca從上到下依次排列,并且不同近鄰原子作用下的色散關系也有差異.如圖2(a)所示,當β絕對值較小時,3種色散關系都被一個禁帶隔開,布里淵區(qū)中心的光學支頻率總是大于邊緣的光學支頻率;但是,最近鄰原子的相互作用對色散關系影響最大,次近鄰原子的相互作用也比較大,其它更遠距離原子的相互作用的影響不是很明顯.然而,當β絕對值較大時,如圖2(b)和2(c)所示,次近鄰原子的相互作用和所有原子相互作用對色散關系光學支的影響非常顯著;β絕對值越大,這兩種色散關系在布里淵區(qū)中心的光學模頻率不僅小于邊緣的光學模頻率,而且小于邊緣的聲學模頻率,并且所有原子的相互作用比次近鄰原子的相互作用使布里淵區(qū)中心光學模軟化更顯著.3不同近鄰原子作用下3種以明確規(guī)定的染色關系在簡諧近似和周期性邊界條件下,得到了最近鄰近似、次近鄰近似和所有原子相互作用下一維雙原子鏈晶格振動的色散關系.當最近鄰原子間短程作用相同時,分析和討論了原子間庫侖作用(用β值表示)對色散關系的影響,并在第一布里淵區(qū)中比較了不同近鄰原子作用下色散關系的差異.結果表明:隨著β絕對值的增大,3種色散關系的頻率減小、頻隙位置降低、頻隙逐漸減小直到消失;而且不同近鄰原子作用下色散關系的差異也變大.具體表現(xiàn)為:當原子間庫侖作用較弱時,3種色散關系在布里淵區(qū)中心的光學支頻率總是大于邊緣的光學支頻率,對色散關系貢獻最大的是最近鄰原子的相互作用,次近鄰原子的相互作用也