軌跡問題 立體幾何核心考點專練 高三數(shù)學一輪復習

立體幾何核心考點（三）軌跡問題這類問題的特征是空間幾何體上的動點在運動過程中始終保持與某一固定的幾何結構如固定的線段或者固定的平面垂直或者平行，或者動點到某個定點的距離為定值.在這樣的約束條件下，看似毫無規(guī)律的動點運動將會有跡可循，從而為我們后續(xù)進一步的討論打下基礎.需要注意的是，在上述約束條件的翻譯過程中，幾何法和坐標法均可適用，所以不必拘泥于哪種方法，重要的是將約束條件準確翻譯，從而找到動點實際的運動蹤跡.經(jīng)典例題1.已知長方體，，，是的中點，點在長方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是A．6 B． C． D．92.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若面，則線段的長度范圍是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，在棱長為的正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且面，則在側面上的軌跡的長度是B．C． D．4．已知在三棱錐中，為中點，平面，，，下列說法中錯誤的是A．若為的外心，則 B．若為等邊三角形，則 C．當時，與平面所成角的范圍為 D．當時，為平面內(nèi)動點，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長度為25.若點是棱長為2的正方體表面上的動點，點是棱的中點，，則線段長度的最大值為（

）A． B． C．3 D．二．習題演練1．棱長為1的正方體中，為正方體表面上的一個動點，且總有，則動點的軌跡所圍成圖形的面積為A． B． C． D．12．（多選）已知正方體的棱長為1，動點在其表面上運動，且，其中點的軌跡長度為，給出下列結論正確的有A． B．（1） C． D．6．在四棱錐中，平面，，點是矩形內(nèi)（含邊界）的動點，且，，直線與平面所成的角為．記點的軌跡長度為，則；當三棱錐的體積最小時，三棱錐的外接球的表面積為．7．若四棱錐的側面內(nèi)有一動點，已知到底面的距離與到點的距離之比為正常數(shù)，且動點的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，的值為．2024屆立體幾何核心考點（三）軌跡問題一．經(jīng)典例題解析1.已知長方體，，，是的中點，點在長方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是A．6 B． C． D．9解析：如圖所示，，，，，分別為，，，，的中點，則，，所以平面平面，所以動點的軌跡是六邊形及其內(nèi)部．因為，，所以，，，到的距離為，所以．2.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若面，則線段的長度范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題意，取的中點，的中點，連接，，，，，作圖如下：在正方體中，易知，，，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，當平面時，平面，正方體的棱長為，在中，，解得，同理，在中，，解得，則中邊上的高，即，故選：D.3．如圖所示，在棱長為的正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且面，則在側面上的軌跡的長度是B．C． D．4．已知在三棱錐中，為中點，平面，，，下列說法中錯誤的是A．若為的外心，則 B．若為等邊三角形，則 C．當時，與平面所成角的范圍為 D．當時，為平面內(nèi)動點，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長度為2解析：為的外心，可得，平面，可得，即有，正確；若為等邊三角形，若，又，可得平面，即，由可得，矛盾，故錯誤；若時，設與平面所成角為，可得，，設到平面的距離為，由，可得，即有，當且僅當取得等號，可得的最大值為，，即有的范圍為，，正確；取的中點，的中點，連接，，，由中位線定理可得，，可得平面平面，可得在線段上，而，可得正確．故選：．5.若點是棱長為2的正方體表面上的動點，點是棱的中點，，則線段長度的最大值為（

）A． B． C．3 D．解析：分別取，中點，，連接，，，首先與平行且相等，與平行且相等，因此與平行且相等，四邊形是平行四邊形，在同一平面內(nèi)，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.而，則平面，所以點軌跡是矩形（除點）.四邊形是矩形，當與重合時，最大，且最大值為.故選：C.二．習題演練解析1．棱長為1的正方體中，為正方體表面上的一個動點，且總有，則動點的軌跡所圍成圖形的面積為A． B． C． D．1解析：連接，，，則可證平面，故點軌跡圍成圖形為△，又，．2．（多選）已知正方體的棱長為1，動點在其表面上運動，且，其中點的軌跡長度為，給出下列結論正確的有A． B．（1） C． D．解析：動點在其表面上運動，且，點的軌跡是以為球心，為半徑的球的球面與正方體的面的交線，當時，點的軌跡如圖，則，所以，故選項不符合題意；（1），故選項符合題意；當時，點的軌跡是三段相等圓弧，在與點不相鄰的三個面上，圓弧半徑，圓弧的圓心角為，，故選項符合題意；當時，點的軌跡是三段相等圓弧，圓弧的長是四分之一個圓，半徑是1，如圖，這條軌跡的長度是：，故選項不符合題意．故選：．6．在四棱錐中，平面，，點是矩形內(nèi)（含邊界）的動點，且，，直線與平面所成的角為．記點的軌跡長度為，則；當三棱錐的體積最小時，三棱錐的外接球的表面積為．解析：因為平面，垂足為，則為直線與平面所成的角，所以；因為，所以，所以點位于底面矩形內(nèi)的以點為圓心，2為半徑的圓上，記點的軌跡為圓弧，連接，則；因為，，所以；則弧的長度為，所以．當點位于時，三棱錐的體積最小，又，所以三棱錐的外接球球心為的中點；因為，所以三棱錐的外接球的表面積為．7．若四棱錐的側面內(nèi)有一動點，已知到底面的距離與到點的距離之比為正常數(shù)，且動點的