新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專(zhuān)題7.4數(shù)列求和（講）解析版

專(zhuān)題7.4數(shù)列求和新課程考試要求1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用..核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測(cè)1.等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合確定基本量，利用“裂項(xiàng)相消法”“錯(cuò)位相減法”等求和.2.簡(jiǎn)單的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和..3.往往以數(shù)列求和問(wèn)題為先導(dǎo)，在解決數(shù)列基本問(wèn)題后考查數(shù)列求和，在求和后再與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合，近幾年難度有所降低，.考查公式法求和、“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”較多.4.復(fù)習(xí)中注意:（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減法．【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一．?dāng)?shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：公式法、分組轉(zhuǎn)化法求和【典例1】（2021·全國(guó)高三其他模擬）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，________，在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)填入以上橫線上，并求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【解析】選條件①時(shí)，直接利用數(shù)列遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和；選條件②時(shí)，首先利用構(gòu)造新數(shù)列法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步用公式法求出求出數(shù)列的和；選條件③時(shí)，首先利用構(gòu)造新數(shù)列法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和.【詳解】解：選條件①時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0選條件②時(shí)，SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．選條件③時(shí)，由于SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，②，①－②得：SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．【典例2】（2019·天津高考真題（理））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)(i).所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(ii).【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來(lái)求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．3．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類(lèi)數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4．倒序相加法：類(lèi)似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，.【變式探究】1.（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三二輪檢測(cè)）已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明：因?yàn)樗?又因?yàn)?則,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知,所以,所以2．（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用定義法求SKIPIF1<0為定值即可；（2）利用分組求和法求得SKIPIF1<0，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.考點(diǎn)二：錯(cuò)位相減法求和【典例3】（2021·陜西高三其他模擬（理））數(shù)列SKIPIF1<0前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）利用SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0變形，再利用累加法即可解出SKIPIF1<0，則可求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減，求出SKIPIF1<0即可.【詳解】（1）數(shù)列SKIPIF1<0前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0；①式轉(zhuǎn)換為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，利用疊加法：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），故SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①-②得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.【典例4】（2019·天津高考真題（文））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【解析】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（II），記①則②②①得，，所以.【規(guī)律方法】1.錯(cuò)位相減法求和的策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．2．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯(cuò)位相減并整理即得.【變式探究】1.（2020屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）數(shù)列滿足：（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）令時(shí)，時(shí)，，滿足所以；（2）由，①②①②得2.（2021·新安縣第一高級(jí)中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）設(shè)SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的值，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，利用定義可證明出數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求得SKIPIF1<0，然后利用錯(cuò)位相減法可求得SKIPIF1<0.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，上述兩式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，兩式作差得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消法求和【典例5】（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，變形為SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系即可得出答案；（2）將SKIPIF1<0裂項(xiàng)為SKIPIF1<0，裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)也成立，所以SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例6】（2020·山東滕州市第一中學(xué)高三3月模擬）已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）∵數(shù)列為等差數(shù)列，且，．∵成等比數(shù)列，∴，即，又∴，∴，∴.（2）證明：由（1）得，∴．∴．∴．【典例7】（2019·浙江高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.其前n項(xiàng)和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式可得：，則.【總結(jié)提升】1.裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．2.常見(jiàn)“裂項(xiàng)”方法：【變式探究】1.（2021·四川眉山市·仁壽一中高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0為等比數(shù)列（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列定義可得；（2）由裂項(xiàng)相消法求得SKIPIF1<0即可證明.【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵S