2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第3章 第2節(jié) 第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性

■二導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

［考試要求］

1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般

不超過三次）.

【走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€＞梳理?必備知識(shí)

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件結(jié)論

fU)>0/U）在（a,b）上單調(diào)遞增

函數(shù)y=7U）在

rw<o兀r）在（a,/?）上單調(diào)遞減

區(qū)間（a,加上可導(dǎo)

/a)=o/U）在（a,b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

提醒：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，

要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.

［常用結(jié)論］

1.在某區(qū)間內(nèi)/（x）＞O（/（x）V0）是函數(shù)/U）在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充今不

必要條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)/U）在（“，?上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)丫內(nèi)￡俱"切,…都有

［（無）20（1（力^0）且尸（；1）在（。，份上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

◎激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）如果函數(shù)/U）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有了（X）=0,則人外在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.

（）

（2）在（a,份內(nèi)片x）＜0且〃x）=0的根有有限個(gè)，則/U）在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）若函數(shù)/U）在定義域上都有了。）＞0,則/（X）在定義域上一定單調(diào)遞增.

)

(4)函數(shù)人x)=x—sinx在R上是增函數(shù).

()

［答案］(1)V(2)V(3)X(4)7

二'教材習(xí)題衍生

1.如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象，則下面判斷正確的是()

內(nèi)'㈤

A.在區(qū)間(一3,1)上加)是增函數(shù)

B.在區(qū)間(1,3)上yu)是減函數(shù)

C.在區(qū)間(4,5)上7U)是增函數(shù)

D.在區(qū)間(3,5)上於)是增函數(shù)

C［由圖象可知，當(dāng)xG(4,5)時(shí)，/'(x)>0,故/U)在(4,5)上是增函數(shù).］

2.函數(shù)y(x)=cosx—x在(0,兀)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

D［因?yàn)?(x)=-sinx-lV0在(0,兀)上恒成立，

所以五x)在(0,兀)上是減函數(shù)，故選D.］

3.函數(shù)?x)=x—lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(0,1)［函數(shù)火x)的定義域?yàn)閧x|x>0},由/(x)=l—；V0,得OVxVl,

所以函數(shù)7U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).］

4.已知人外二X3-or在［1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是.

3［f(x)=3x2—a^0,即4ZW3%2,

又因?yàn)?8),所以“W3,

即。的最大值是3.］

［細(xì)研考慮?突破題型］重難解惑■直擊高考

□考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性慵組通關(guān)

1.函數(shù)_/U)=f—21nx的遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,+°°)C.(一8,1)D.(-1,1)

2

22(x+1)(.x—1)

A[?：f(x)=2x--=--------(x>0),

...當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，f(x)<0,於)為減函數(shù);

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，f(%)>0,危)為增函數(shù).故選A.]

2.函數(shù).*x)=(x—3)e'的遞增區(qū)間是()

A.(一8,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+8)

D[f(x)=(x-3)第+(x-3)(ex),=(x-2)ev,

令/(x)〉0,解得x>2,故選D.]

3.已知定義在區(qū)間(0,兀)上的函數(shù)?r)=x+2cosx,則兀r)的單調(diào)遞增區(qū)間

為.

6)1^6,無)夕")=112sinx,x，(0‘兀)，

jr57r

令/(x)=0，得或》=下，

TT

當(dāng)OVxVg時(shí)，f(x)>0,

7T3兀

當(dāng)K得時(shí)，/(x)V0,

當(dāng)石'VxV無時(shí)，/'(x)>0,

二段)在(o,番和黑，兀)上單調(diào)遞增，在僅普上單調(diào)遞減.］

至反思領(lǐng)悟利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)一(X)的零點(diǎn)；

第3步，用了(x)的零點(diǎn)將於)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，判斷了(x)在各區(qū)

間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

口考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,新生共研

［典例1］已知函數(shù)/(%)=3加一(a+l)x+lnx,a>0,試討論函數(shù)y=/(x)的單

調(diào)性.

［解］函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

3

,..1ax1—(。+1)x+1

f(x)=ax—(a+l)+-="

(or—1)(x—1)

x?

①當(dāng)0<〃<1時(shí)，卜1,

...xC(0,1)和弓，+8)時(shí)，f(x)>0;

x[l，0時(shí)，f(x)<0,

...函數(shù)?x)在(0,1)和(：，+8)上單調(diào)遞增，

在[1,0上單調(diào)遞減；

②當(dāng)Cl=1時(shí)，-=1,

(x)>0在(0,+8)上恒成立，

.,.函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a>\時(shí)，0<[<1，

.?.xe[o,￡|和(1,+8)時(shí)，f(%)>0;

1時(shí)，f(x)<0,

，函數(shù)?x)在(o,，和(1，+8)上單調(diào)遞增，

在七，1)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)/U)在(0,1)和&+8)上單調(diào)遞增，在(1,0上

單調(diào)遞減；

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)火x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)於)在(0,0和(1，+8)上單調(diào)遞增，在g1)上單調(diào)遞減.

-[母題變遷]

若將本例中參數(shù)。的范圍改為aWR，其他條件不變，試討論五》)的單調(diào)性.

4

［解］當(dāng)a>0時(shí)，討論同例題解析；

當(dāng)aWO時(shí)，ax~1<0,

.?.xG(0,1)時(shí)，f(x)>0;xG(l,+8)時(shí)，f(x)<0,

...函數(shù)7U)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/U)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù),於)在(0,1)和(},+8)上單調(diào)遞增，在(1,上單調(diào)遞

減；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)<7>1時(shí)，函數(shù)/(X)在(°，0和(1，+8)上單調(diào)遞增，在1)上單調(diào)遞減.

⑨■反思領(lǐng)悟?qū)τ诤瑓?shù)的函數(shù)的單調(diào)性，常見的分類討論點(diǎn)按討論的先后

順序有以下三個(gè)：

分類討論點(diǎn)1：求導(dǎo)后，考慮了(x)=0是否有實(shí)數(shù)根，從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)2：求導(dǎo)后，/'(幻=0有實(shí)數(shù)根，但不清楚/(x)=0的實(shí)數(shù)根

是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)3：求導(dǎo)后，/(x)=0有實(shí)數(shù)根，/(x)=0的實(shí)數(shù)根也落在定義

域內(nèi)，但不清楚這些實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系，從而引起分類討論.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(2021.新高考II卷節(jié)選)已知函數(shù)/U)=(x—l)e'—加+4討論函數(shù)兀r)

的單調(diào)性.

［解］f(x)—xex—2ax=x(ex—2a),

①當(dāng)aWO時(shí)，令/(x)=0=>x=0,

且當(dāng)尤VO時(shí)，f(x)<0,1Ax)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

②當(dāng)OVavg時(shí)，令/(x)=0=>xi=0,%2=ln2a<0,

且當(dāng)xVln2a時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)ln2aVx<0時(shí)，f(x)<0,

.*x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,/U)單調(diào)遞增；

5

③當(dāng)a=g時(shí)，f(x)=x(e*—1)20,於)在R上單調(diào)遞增;

④當(dāng)時(shí)，令/(x)=0=>xi=0,X2=ln2a>0,

且當(dāng)xVO時(shí)，/'(x)>0,人尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)OVxVln2a時(shí)，f(x)<0,?r)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>ln2a時(shí)，f(x)>0,?v)單調(diào)遞增.

考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍H師生共研

［典例2］若函數(shù)式彳)=/一以2+1在區(qū)間口，2］上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍.￡垂

［四字解題］

讀想算思

函數(shù)的最值分離變量

1x)在［1,2］上單調(diào)/(x)WO對(duì)V尤e[l,'/⑴W0,

數(shù)形結(jié)合

遞減2]恒成立/(2)W0,

解不等式/(x)WO子集思想

［解］法一(分離變量法)：

f(x)=39—20r.

由/U)在口，2］上單調(diào)遞減知了(x)WO,

即3r一2QCW0在「1,2］上恒成立,

即心在［1,2］上恒成立.

故只需心閡max

故“23.

所以。的取值范圍是［3,+8).

法二(數(shù)形結(jié)合法)：

f'(x)=3x2—2ar.

由於)在［1,2］上單調(diào)遞減知了(x)WO對(duì)xW［l,2］恒成立.

f/(1)=3—2忘0,

所以<,,、/解得“23.

［f,(2)=12-4?<0,

所以a的取值范圍是［3,+8).

6

法三(集合關(guān)系法)：

f'(x)=3x2—2ar.

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)20,故y=/(x)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，與在

區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減不符，舍去.

2「2一

當(dāng)a<0時(shí)，由/(x)WO,得gaWxWO,即?x)的單調(diào)遞減區(qū)間為ga,0,與

兀。在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減不符，舍去.

當(dāng)a>0時(shí)，由/(x)W0得OWxWga,即寅x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,乎.

由於)在口，2］上單調(diào)遞減得第22,得心3.

綜上可知，a的取值范圍是［3,+8).

⑨反思領(lǐng)悟利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩類熱點(diǎn)問題的處理方法-

(1)函數(shù)在區(qū)間。上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間.

方法一：轉(zhuǎn)化為‘了(x)>0(〈0)在區(qū)間。上有解”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間。的一個(gè)子區(qū)間使了。)>0(或/a)vo)成立”.

(2)函數(shù)式x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增(減).

方法一：轉(zhuǎn)化為“/(x)20(W0)在區(qū)間。上恒成立”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間。是函數(shù)_/(無)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(1)已知函數(shù)_/(x)=2cosx(加一sin幻一3%在(一8,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是()

■1r

A.［―1,1］B.—2

C.11,D.一,(I

(2)已知函數(shù),外均二%3一日在(-3,1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍

是.在別3

(1)B(2)(0,27)［(l)/(x)=—2sinx(m—sinx)+2cosxcosx)—3.因?yàn)?(x)

在(一8,+8)上單調(diào)遞減，所以,(x)W0恒成立，整理得dsin?%—sinx—5<0.

設(shè)sinX="-1WW1),則不等式ga)=4p-2mL5W0在區(qū)間［-1,1］上恒成

7

g(—1)=4+2加-5W0,

立.于是有,、一

(1)=4—2機(jī)一5WO,

[=

‘"'5'「11]

即j故實(shí)數(shù)，”的取值范圍是一]，].故選B.

〃z2—?].

(2)法一(間接法)：若外)=尤3一依在(一3,1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則/(x)=3/

一女20在(-3,1)上恒成立，

即ZW3%2在(-3,1)上恒成立，故4W0.

若yOOnjc3一6在(-3,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則/(x)=3f—ZWO在(-3,

1)上恒成立，

即％231在(一3,1)上恒成立，故人227.

所以當(dāng)函數(shù)./0)=必一區(qū)在(一3,1)上是單調(diào)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)%的取值范圍是

ZWO或左227,

當(dāng)函數(shù)次》)=必一"在(一3,1)上不是單調(diào)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

0<K27.

法二(直接法)：由奇函數(shù)》:)=必一日得/(x)=3N—上當(dāng)A<0時(shí)，/(無)=3/

一人20,?r)在R上是增函數(shù)，不滿足題意；

當(dāng)攵>。時(shí)，由了(%)=3幺一攵<0,得一"yiqvijl，在[一■?"上八工)

是減函數(shù).

由/(x)=3f—4>0,得X<一?"JI或x>'/■?在1―8，一^+8)上

1x)是增函數(shù).

要滿足函數(shù)次X)=必一依在(一3,1)上不是單調(diào)函數(shù)，由對(duì)稱性得，一｛|>

-3,所以左<27.

綜上所述，實(shí)數(shù)Z的取值范圍是(0,27).]

□考點(diǎn)四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，多維探究

考向1比較大小

[典例3—1](1)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=?x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/(x),當(dāng)x

8

工，H"e)f(In2)/(-3)

>0時(shí)，xf右。=~~~,b=而1-,c=—,則nI。，b.

c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

(2)已知函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意的xe[o,習(xí)滿足/(幻(05%+火幻5抽尤=1+1111,

其中了(尢)是函數(shù)?r)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是()

A.也陪)</?佯)B.啦陪卜/用

C拘信)>拘住)D,亞@>/,)

f(x)xf(x)—f(x)

d)D(2)B[(1)設(shè)g(x)=乙丁，則g'Q)="-----J.，當(dāng)x>0時(shí)，

yf(x)—f(X)

xf(x)—%)V0,則g，(x)=J./VO,

即函數(shù)g(x)在x￡(0,+8)時(shí)為減函數(shù).

f(_3)f(3)

由函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)知八-3)=-A3),則c=-二一=-i-.

f(e)fJ(In2)f(3)

?.Z=r-=g(e),b=In2=g(ln2),c=，一=g(3),

且3>e>ln2,.?.g(3)Vg(e)Vg(ln2),

即c〈a〈b,故選D.

f(尤)

(2)設(shè)g(x)=,言丁，則

,f(x)cosx+/(x)sinx1+lnx<TI\

g(X)=2=2，x￡|0，彳.

b''cosxcosxt2j

令g，(x)=0得x=：,當(dāng)xG(0,J時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xwg，號(hào)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

..1.71717171

.；<6<4<3<2-

9

津三

222

化簡得物小/間,小f。>物目故選B.]

考向2解不等式

[典例3—2](1)(2021.沈陽模擬)已知函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽,71)=2,且

對(duì)任意x￡R,/'(x)>2,則危)>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(―°°,—1)D.(—8,4-oo)

(2)已知函數(shù)外)—2x+e*—上,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若加-1)+火24)

W0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(1)B(2)-1,I[(1)由/U)>2x+4,得兀0—2%—4>0.設(shè)/(x)=/(x)-2x

-4,則尸(九)=/(劃一2.因?yàn)?(x)>2,所以尸(x)>0在R上恒成立，所以尸(x)在

R上單調(diào)遞增.又尸(一1)=穴-1)-2><(-1)—4=2+2—4=0,故不等式.穴》)一

公一4>0等價(jià)于尸(%)>5(-1),所以尤>一1,故選B.

(2)因?yàn)榘?x)=-3+2尤+￡—e<?.=-/(x),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù).因?yàn)?(x)

=3x2-2-l-ex+e~x^3x2—2+2-\Jex?e~x^0,所以函數(shù).*x)在R上單調(diào)遞增.

又次a-l)+/(2a2)W0,所以屋—a),所以2a2或1一.，即2a2+。一

1W0,解得一iWaw/

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為一1,1.]

畬反思領(lǐng)悟

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：

(1)或x)>g(x)fF(x)=於)一g(x)；

10

⑵叭幻十治尸［浜以；

f(x)，.

(3必(工)於)f1

(4)/(x)+?r)-[e7U)了；

f(x)

(5)Xx)-/U)f『e，J

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.⑴已知函數(shù)外)(x￡R)滿足用)=1,/)的導(dǎo)數(shù)/'(x)<5則不等式於2)

2

蒼%+1抽解集為.

(2)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)_/U)滿足/⑴與㈤，則不等式e、7W勺(2%—1)的解集

為.

⑴(小>1或x<—1}(2)(1,4-eo)［⑴設(shè)中)=危)一5,所以廣⑴可⑴

~2~

因?yàn)?(x)V；，所以尸(x)=f(x)—；V0,

即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)?)V,+［火1)=1,

所以危2)一菱〈川)―/

所以FC^VFQ),所以光2>1,解得x>l或xV-l.

f(x),f(x)—f(x)

(2)設(shè)F(x)=/「，則尸(x)4----才------.

(x)次x),：.F'(A)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.

f(x)f(2x-1)

Ve-—,即F(x)<F(2x—l),

：.x<2x~l,即x>L.?.不等式尸7(x)勺(2x—l)的解集為(1,+8).］

技法戰(zhàn)高考

3.構(gòu)建模型求解?x)與/(%)

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共存的不等式問題

以抽象函數(shù)為背景，題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有'"(X)土g(x),/U)g(x),

f(x)

匕丁”等特征式，解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)

g(X)

數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決

問題.

模型1/(x)ga)切x)g'(x)型

[典例4](1)(2021.泰安模擬)設(shè)了(X)是奇函數(shù)_/U)(xGR)的導(dǎo)函數(shù),1-1)=0,

當(dāng)x>0時(shí)，㈤一心)<0,則使得?r)>0成立的x的取值范圍是()

A.(—8,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(l,+°o)

C.(—8,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,4-o°)

(2)設(shè)_/U),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)g(x)

+fix)g\x)>Q,且g(—3)=0,則不等式式x)g(x)<0的解集是.

(DA(2)(一8,-3)U(0,3)f(l)令g(x)=^~，則g'G)=

xf(x)—f(x)

p'

由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，g'(尤)<0,...ga)在(0,+8)上是減函數(shù).

是奇函數(shù)，大-1)=0,

.?.XD=-A-1)=O,

f(1)

???以1)='-=0'

.?.當(dāng)XG(O,1)時(shí)，g(x)>0,從而於)>0;

當(dāng)xW(L+8)時(shí),g(x)<0,從而犬x)<0.

又??F>)是奇函數(shù)，

二當(dāng)?〉(一8,一1)時(shí)，?x)〉0;

當(dāng)xG(-L0)時(shí)，/(x)<0.

綜上，所求x的取值范圍是(一8,-])U(0,1).

(2)借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，/(x)ga)+/U)g，(x)〉O0[/U)g(x)「>O,所以函數(shù)y

=/U)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增.又由題意知函數(shù)y=*x)g(X)為奇函數(shù)，所以其

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且過點(diǎn)(一3,0),(0,0),(3,0).數(shù)形結(jié)合可求得不等式_Ax)g(x)<0

12

的解集是(一8,-3)U(0,3).]

畬素養(yǎng)提能⑴對(duì)于不等式/(尤)土g，(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=/U)土g(x)；

特別地，對(duì)于不等式/(*)>%(或<k)(AWO),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/U)—Ax

(2)對(duì)于不等式/(x)g(x)+_Xx)g，(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)g(x)；

f(%)

(3)對(duì)于不等式/(x)g(x)—/(x)g，(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(X)(g(x)#O).

~~模型2肥(x)土?xí)r㈤型

[典例5](1)已知偶函數(shù)次x)(x#O)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足八-1)=0,當(dāng)x

>0時(shí)，2/(x)>xf(x),則使得人幻>0成立的x的取值范圍是.

(2)設(shè)7U)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，火力+獷(0<0,且八一4)=0,

則不等式動(dòng)M>0的解集為.

(1)(-1,0)U(0,1)(2)(—8,-4)U(0,4)[(1)

yll.

/rV

.f(x)

構(gòu)造F(x)=f，

當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)—紈幻VO,可以推出當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)'(x)V0,FU)在(0,

+8)上單調(diào)遞減.?.)㈤為偶函數(shù)，)，=/為偶函數(shù)，.?/(*)為偶函數(shù)，⑴在(一

8,0)上單調(diào)遞增.根據(jù)八-1)=0可得尸(-1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性

可得函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知兀0>0的解集為(-1,0)U(0,1).

(2)構(gòu)造F(x)=R(x),則戶(x)=/U)+4(x),當(dāng)xVO時(shí)，凡x)+WXx)VO,可以

推出當(dāng)xVO時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,

，F(xiàn)(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.?.?人力為偶函數(shù)，x為奇函數(shù)，

...尸(劃為奇函數(shù)，，尸(%)在(0,+8)上也單調(diào)遞減.根據(jù)八-4)=0可得F(一

4)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知?dú)g幻

>0的解集為(-8,-4)U(0,4).]

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金素養(yǎng)提能(1)對(duì)于不等式，次工)+0\工)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=V；/(x)；

f(尤)

(2)對(duì)于不等式xf(x)~植x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=--1.

模型3/(》)+川口)型

［典例6］(2021.海南省一模)已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為了。)，且對(duì)任意xWR，

f?-/%)<0,,A2)=e2,若八。<己則f的取值范圍為()

A.(0,2)B.(2,+8)

C.(0,e2)D.(e2,+0°)

B［構(gòu)造函數(shù)8⑺二工學(xué)一1,則g(2)=￡^-l=0.

'：g'?)=，⑺7⑺V0,函數(shù)g⑺在R上單調(diào)遞減，

-：J(t)<e',l<g(2),即g⑺Vg(2)，二/〉？，故

選B.］

畬素養(yǎng)提能(1)對(duì)于不等式/(x)+M>)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)/(?=心72；

f(%)

(2)對(duì)于不等式/(x)一次㈤>0(或v0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=—^r.

模型4/(%)、危)與sinx,cosx的組合型

［典例7］(2021?重慶模擬)若函數(shù)式外的導(dǎo)函數(shù)為/(x),對(duì)任意工￡(一兀，0),

/(x)sinx勺(x)cosx恒成立，則()

C［因?yàn)閷?duì)任意x￡(—兀，0),f(x)sinx</(x)cosx恒成立，即對(duì)任意

工￡(一兀，。)，/(x)sin尤一/(x)cosxvO恒成立，

又不￡(一兀，0)時(shí)，sinx<0,

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「/(x)1f(x)sinx—于(x)cosx

所以

sinxsin2x

f（x）

所以一在（一兀，0）上單調(diào)遞減,

?＞5兀3兀..

因?yàn)橐徊唬家涣?，所?/p>

in（一朗sin（一系

sin

3兀、

>----L,向故選C］

4

-

22

令素養(yǎng)提能sinx,cosx的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，其常見考查形式如下:

F(x)=/(x)sinx,F'(x)=/(x)sinx+J(x)cosx；

f（尤）f(x)sinx-/(x)cosx

及）=1口F'。尸

sin2x

F(x)=Xx)cosx,F'(x)=/(x)cosx—y(x)sinx；

?。鈌嬴（尤）,f