如何求定積分的原函數(shù)_第1頁
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如何求定積分中被積函數(shù)的原函數(shù)com利用微積分根本定理以求定積分的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù),即尋找滿足的函數(shù).如何求出一個被積函數(shù)的原函數(shù)呢?我們知道求一個函數(shù)的原函數(shù)與求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運算,所以要求被積函數(shù)的原函數(shù),首先要明確它們之間的關(guān)系:原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù),并且導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的,而被積函數(shù)的原函數(shù)是不唯一的.即假設(shè),那么被積函數(shù)的原函數(shù)為〔為常數(shù)〕.類型一被積函數(shù)為根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這種類型被積函數(shù)的原函數(shù),關(guān)鍵是要記準(zhǔn)上述根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,找到對應(yīng)的被積函數(shù).由根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知:假設(shè)是被積函數(shù),為原函數(shù),那么有:假設(shè),那么為常數(shù)〕;假設(shè),那么,為常數(shù)〕;假設(shè),那么為常數(shù)〕;假設(shè),那么為常數(shù)〕;假設(shè),那么〔其中為常數(shù)〕;假設(shè),那么〔為常數(shù)〕;假設(shè),那么〔為常數(shù)〕.例1計算以下積分:〔1〕;〔2〕.分析:解決問題的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的一個原函數(shù),根據(jù)積分的性質(zhì),先求出一些簡單被積函數(shù)的原函數(shù),然后再進(jìn)行相應(yīng)的運算.顯然,只由熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,才會比擬熟練地找出相應(yīng)的原函數(shù).的一個原函數(shù)為,的一個原函數(shù)為;的一個原函數(shù)為,的一個原函數(shù)為.解:〔1〕函數(shù)的一個原函數(shù)是,所以.〔2〕函數(shù)的一個原函數(shù)是,所以.評注:在求這種類型的定積分時,要熟記根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法那么,利用這些公式的逆運算便可求出原函數(shù).在計算定積分時我們一般取時對應(yīng)的原函數(shù),這樣可減少運算量.類型二被積函數(shù)為分段函數(shù)根據(jù)定積分的定義以及微積分根本定理,定積分可以分解為多個區(qū)間上的定積分的和,所以求分段函數(shù)的原函數(shù),必須根據(jù)被積函數(shù)的定義在不同區(qū)間上進(jìn)行求解,然后根據(jù)定積分的運算法那么進(jìn)行計算.例2求以下定積分:〔1〕;〔2〕,其中.分析:這兩個小題實質(zhì)上都是求分段函數(shù)的積分,可以利用定積分的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)⒎e分區(qū)間分成幾段,代入相應(yīng)的解析式,分別求出積分值,相加即可.解:〔1〕∵,∴.〔2〕.∴.評注:分段函數(shù)在不同的取值范圍內(nèi)對應(yīng)不同對應(yīng)法那么的一個函數(shù),不是多個函數(shù),所以求解這類函數(shù)的原函數(shù)時,要根據(jù)分段函數(shù)的定義,把被積函數(shù)分解到不同的區(qū)間內(nèi),分別求出原函數(shù),然后利用定積分的運算性質(zhì),把不同區(qū)間內(nèi)的定積分求和即可.類型三被積函數(shù)為積或商的形式這種形式中的被積函數(shù),很難直接求出原函數(shù),需要對被積函數(shù)進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為一些根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差,然后利用定積分的運算性質(zhì)進(jìn)行求解.例3求.分析:該積分中的被積函數(shù)式比擬復(fù)雜,無法直接求出原函數(shù),所以應(yīng)先化簡,轉(zhuǎn)化為一些被積函數(shù)的和或差,然后求定積分.解析:∵,∴.所以.評注:這種類型的定積分,僅限于被積函數(shù)由根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行簡單的加、減運算得到,可通過化簡轉(zhuǎn)化為幾個被積函數(shù)的和或差的形式,根據(jù)定積分的運算性質(zhì),

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