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2.3.2平面與平面垂直的判定(1)
水壩在修建的時候,為了堅固耐用,水壩的坡面與水平面要成一個適當(dāng)?shù)慕嵌?水平面水壩半平面半平面半平面探究點1二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.記為:二面角簡記:二面角的定義思考1我們常說“把門開大些”,是指哪個角開大一些,我們應(yīng)該怎么刻畫二面角的大???解答:二面角的平面角注意:二面角的平面角必須滿足:3)角的邊都要垂直于二面角的棱1)角的頂點在棱上2)角的兩邊分別在兩個面內(nèi)
以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10
lOAB二面角的度量二面角θ的取值范圍為0°≤θ≤180°β平面角的大小與棱上點的選取無關(guān).【即時訓(xùn)練】如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,不作輔助線,寫出二面角A1-AB-D的一個平面角為
.
解析:因為AD?平面ABD,A1A?平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以∠A1AD是二面角A1-AB-D的一個平面角,同理∠B1BC也是它的一個平面角.答案:∠A1AD(或∠B1BC)求二面角的步驟:1、找(作)出二面角的平面角;2、證明找到角就是二面角的平面角;3、求出此平面角的大小。一“找”二“證”三“求”
關(guān)鍵:確定二面角的平面角.解:(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,又AB⊥AD,因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角.在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°,所以二面角D′-AB-D的大小為45°.D中點如圖,在三棱錐S-ABC中,都是等邊三角形,且BC=1,則二面角S-BC-A的大小為
.D端點中點【尋找二面角的一般規(guī)律】中點EGF2.3.2平面與平面垂直的判定(2)
建筑施工時,為了保證墻面是豎直的,常使用鉛錘來檢測,這是什么道理呢?αP思考3
教室的相鄰兩面墻與地面可以構(gòu)成幾個二面角?分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及度數(shù)?探究點2平面垂直αβaBbCEAD一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.記作α⊥β平面與平面垂直的定義βααβ注意:把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.圖形表示思考4
如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直?抽象出平面與平面垂直的判定
一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.符號表示:線面垂直面面垂直平面與平面垂直的判定定理設(shè)有直線m,n和平面α,β,則下列結(jié)論中正確的是(
)①若m∥n,n⊥β,m?α,則α⊥β;②若m⊥n,α∩β=m,n?α,則α⊥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β.A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【即時訓(xùn)練】B【互動探究】如果直線l,m與平面α,β,γ滿足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么有(
)A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β和α⊥γA例1如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點,求證:平面PAC⊥平面PBC.分析:找出在一個面內(nèi)與另一個面垂直的直線.BC⊥平面PAC證明:設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件,有PA⊥α,BC在α內(nèi),所以PA⊥BC,因為點C是圓周上不同于A,B的任意一點,AB為⊙O的直徑,所以∠BCA=90°,即BC⊥CA.又因為
PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線,所以
BC⊥平面PAC,又因為BC在平面PBC內(nèi),所以平面PAC⊥平面PBC.如圖所示:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直,為什么?PABC【變式練習(xí)】PABC1.空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,則給出下列四種關(guān)系,正確的是(
)A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面BDCD2.經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有(
)A.0個 B.1個C.無數(shù)個 D.1個或無數(shù)個D3.(2015·石家莊高一檢測
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