第6章 一次函數（壓軸必刷30題2種題型專項訓練）（解析版）

第6章一次函數（壓軸必刷30題2種題型專項訓練）一．一次函數的應用（共5小題）1．（2022秋?江都區(qū)期末）某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費，分兩檔收費：第一檔是當月用電量不超過240度時實行“基礎電價”；第二檔是當用電量超過240度時，其中的240度仍按照“基礎電價”計費，超過的部分按照“提高電價”收費．設每個家庭月用電量為x度時，應交電費為y元．具體收費情況如折線圖所示，請根據圖象回答下列問題：（1）“基礎電價”是0.5元/度；（2）求出當x＞240時，y與x的函數表達式；（3）小石家六月份繳納電費132元，求小石家這個月用電量為多少度？【分析】（1）由用電240度費用為120元可得；（2）當x＞240時，待定系數法求解可得此時函數解析式；（3）由132＞120知，可將y＝132代入（2）中函數解析式求解可得．【解答】解：（1）“基礎電價”是＝0.5元/度，故答案為：0.5；（2）當x＞240時，設y＝kx+b，由圖象可得：，解得：，∴y＝0.6x﹣24（x＞240）；（3）∵y＝132＞120∴令0.6x﹣24＝132，得：x＝260答：小石家這個月用電量為260度．【點評】本題主要考查一次函數的圖象與待定系數求函數解析式，分段函數是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，理解每個區(qū)間的實際意義是解題關鍵．2．（2022秋?泗陽縣期末）A、B兩家旅行社推出家庭旅游優(yōu)惠活動，兩家旅行社的票價均為每人90元，但優(yōu)惠的辦法不同．A旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優(yōu)惠；B旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家每人均按票價優(yōu)惠．設某一家庭共有x人，A、B兩家旅行社的收費分別是y1元，y2元．（1）請直接寫出y1，y2與x之間的函數關系式．（2）若小紅家共有5人一起去旅游，請通過計算說明小紅家選擇哪家旅行社費用較低．（3）請根據不同家庭的人數情況，說明選擇哪家旅行社費用較低．【分析】（1）A方案的費用＝90+45（x﹣1），化簡即可，B方案的費用＝×90x，化簡即可；（2）把x＝5代入代數式求值即可；（3）分情況討論，或A＜B，或A＝B，或A＞B，解不等式即可．【解答】解：（1）A：y1＝90+45（x﹣1）＝（45x+45）元；B：y2＝×90x＝60x（元）；（2）A：當x＝5時，45x+45＝270（元）；B：當x＝5時，60x＝300（元）；故應選擇A旅行社；（3）若45x+45＜60x時，即當家庭人數大于3時，A旅行社收費較低；若45x+45＝60x時，即當家庭人數等于3時，A、B旅行社收費一樣；若45x+45＞60x時，即當家庭人數小于3時，B旅行社收費較低．【點評】本題主要考查一次函數的應用，給出具體數值能代入代數式求值是截圖的關鍵．3．（2022秋?盱眙縣期末）A、B兩碼頭相距150千米，甲客船順流由A航行到B，乙客船逆流由B到A，若甲、乙兩客船在靜水中的速度相同，同時出發(fā)，它們距A的距離y（千米）與航行時間x（時）的關系如圖所示．（1）求客船在靜水中的速度及水流速度；（2）一艘貨輪由A碼頭順流航行到B碼頭，貨輪比客船早2小時出發(fā)，貨輪在靜水中的速度為10千米/時，在此坐標系中畫出貨輪航程y（千米）與時間x（時）的關系圖象，并求貨輪與客船乙相遇時距A碼頭的路程．【分析】（1）由圖象中路程與時間的關系可得客船在靜水中的順水，逆水速度，由于兩客船在靜水中的速度相同，又知水流速度不變，進而可得到關于速度的關系，可求解靜水中的速度及水速；（2）貨輪順風行駛，可得其速度，由有時間關系可得貨輪行駛的函數關系式，進而可求解客輪與貨輪之間距離的問題．【解答】解：（1）由圖象知，甲船順流航行6小時的路程為150千米，所以順流航行的速度為（千米/時）乙船逆流航行10小時的路程為150千米，所以逆流航行的速度為（千米/時）（2分）由于兩客船在靜水中的速度相同，又知水流速度不變，所以設客船在靜水中的速度為v1千米/時，水流的速度為v2千米/時，列方程組得解得（4分）答：客船在靜水中的速度為20千米/時，水流速度為5千米/時（5分）（2）由題意知，貨輪順流航行的速度為10+5＝15（千米/時）又知貨輪提前出發(fā)兩小時，所以該圖象過（0，30），（8，150）兩點，圖象如圖線段DE（6分）設DE的解析式為y＝k1x+b1所以，解得所以DE的解析式為y＝15x+30（7分）設BC的解析式為y＝k2x+b2所以，解得所以BC的解析式為y＝﹣15x+150（8分）解方程組得（9分）答：貨輪與客船乙相遇時距A碼頭的路程是90千米（10分）【點評】此題涉及船速，水速，順風，逆風問題，解答時一定要考慮是順風還是逆向行駛，不能把凈水速誤認為是船速，另外會求解函數的解析式，會畫簡單的函數圖形．4．（2022?揚州模擬）某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如表：x/元…152025…y/件…252015…已知日銷售量y是銷售價x的一次函數．（1）求日銷售量y（件）與每件產品的銷售價x（元）之間的函數表達式；（2）當每件產品的銷售價定為35元時，此時每日的銷售利潤是多少元？【分析】（1）根據題意可以設出y與x的函數關系式，然后根據表格中的數據，即可求出日銷售量y（件）與每件產品的銷售價x（元）之間的函數表達式；（2）根據題意可以計算出當每件產品的銷售價定為35元時，此時每日的銷售利潤．【解答】解：（1）設日銷售量y（件）與每件產品的銷售價x（元）之間的函數表達式是y＝kx+b，，解得，，即日銷售量y（件）與每件產品的銷售價x（元）之間的函數表達式是y＝﹣x+40；（2）當每件產品的銷售價定為35元時，此時每日的銷售利潤是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125（元），即當每件產品的銷售價定為35元時，此時每日的銷售利潤是125元．【點評】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．5．（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖1，一條筆直的公路上有A、B、C三地，甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地同時開出，沿公路勻速相向而行，駛往B、A兩地．甲、乙兩車到C地距離y1、y2（千米）與行駛時間x（時）的部分函數圖象如圖2所示．（1）M點的坐標是（，0）；（2）經過多長時間兩車相遇；（3）在圖2中補全甲車到C地的距離y1（千米）與行駛時間x（時）的函數圖象；（4）兩車行駛多長時間時到C地的距離相等？【分析】（1）由圖象可知AC＝60，CB＝120，從而求得AB的距離，進而求出兩車的速度，求出乙到達C的時間；（2）用總路程除以甲、乙速度之和即可得解；（3）設出直線的解析式，根據待定系數法求出解析式畫出圖形；（4）由圖象分別解出當1＜x＜1.2時和x＞1.2時甲、乙的解析式，令其相等，從而解出時間．【解答】解：（1）由圖象可知AC＝60，BC＝120，∴AB＝60+120＝180（km）；∵甲乙兩車勻速運動，∵AC＝60，BC＝120，∴v甲＝＝60（千米/小時），v乙＝＝90（千米/小時），∴乙到達C的時間為：t＝＝（小時），∴M點坐標為（，0）；故答案為：（，0）；（2）180÷（60+90）＝1.2（小時），答：經過1.2小時兩車相遇；（3）當x＞1時設y1＝ax+b，∵甲還要走120km到B處，∴用時t＝＝2，∵函數過點（1，0）、（3，120），代入y1＝ax+b得：，解得：∴y1＝60x﹣60，如圖：（4）由圖可知，當1＜x＜時，甲車經過C點，乙車還未到達C點，可得：y＝﹣90x+120＝60x﹣60，解得x＝1.2，當x＞時，y＝90x﹣120＝60x﹣60，解得x＝2，∴兩車行駛1.2或2個小時到C地距離相等．【點評】本題主要考查一次函數的應用以及動點問題的函數的圖象，解答本題的關鍵是結合圖形進行求解．二．一次函數綜合題（共25小題）6．（2023秋?武進區(qū)期中）如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A、B．（1）根據圖象，求一次函數y＝kx+b（k≠0）的表達式；（2）將直線AB向下平移5個單位后經過點（m，﹣5），求m的值；（3）P（0，a）為y軸上的一動點，當△ABP的面積為15時，求a的值．【分析】（1）根據待定系數法求得即可；（2）求得平移后的直線的解析式，代入點（m，﹣5），即可求得m的值；（3）根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．【解答】解：（1）由圖象可知，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A（2，6）、B（﹣4，﹣3），∴，解得，所以一次函數的表達式為：y＝x+3；（2）將直線AB向下平移5個單位后得到y(tǒng)＝x+3﹣5，即y＝x﹣2，∵經過點（m，﹣5），∴﹣5＝m﹣2，解得m＝﹣2；（3）在y＝x+3中，令x＝0，則y＝3，∵P（0，a）為y軸上的一動點，當△ABP的面積為15時，∴，解得a＝13或﹣7．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．7．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1＝x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E，且兩個函數圖象相交于點C（m，5）．（1）填空：m＝3，b＝6；（2）求△ACD的面積；（3）在線段AD上是否存在一點M，使得△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．（4）點P在線段AD上，連接CP，若△ACP是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P坐標．【分析】（1）由C（m，5）是一次函數y1＝x+2與y2＝﹣x+b的圖象的交點，即可解出；（2）由兩個一次函數解析式分別求出它們與x軸的交點坐標，得到AD的長，從而算出△ACD的面積；（3）由已知條件可得△ABM的面積，進而得出AM的長，即可得點M的坐標；（4）由△ACP是直角三角形、∠CAP是銳角，分∠APC＝90°和∠ACP＝90°兩種情況討論，利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函數y1＝x+2與y2＝﹣x+b的圖象的交點，∴m+2＝5，解得m＝3，∴﹣×3+b＝5，解得b＝6，故答案為：3，6；（2）一次函數y1＝x+2中，當y1＝0時，x＝﹣2；當x＝0時，y1＝2，∴A（﹣2，0），B（0，2），一次函數y2＝﹣x+6中，當y2＝0時，x＝18，∴D（18，0），∴AD＝18﹣（﹣2）＝20，∴S△ACD＝×20×5＝50，∴△ACD的面積為50；（3）如圖：在線段AD上存在一點M，使得△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21，∵△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21，∴S△ABM＝S△ACD＝×50＝8，∴AM?OB＝8，即AM×2＝8，∴AM＝8，∵點M在線段AD上，∴點M的坐標為（6，0）；（4）點P在線段AD上，∠CAP是銳角，若△ACP是直角三角形，則∠APC＝90°或∠ACP＝90°，設點P（p，0），∵A（﹣2，0），C（3，5），∴AC2＝（3+2）2+52，AP2＝（p+2）2，PC2＝（p﹣3）2+52，當∠APC＝90°時，AP2+PC2＝AC2，∴（p+2）2+（p﹣3）2+52＝（3+2）2+52，整理得，p2﹣p﹣6＝0，解得p＝3或﹣2（舍去），∴點P坐標為（3，0）；當∠ACP＝90°時，AC2+PC2＝AP2，∴（p+2）2＝（3+2）2+52+（p﹣3）2+52，解得p＝8，∴點P坐標為（8，0）；解法二：當∠APC＝90°時，CP⊥x軸．∴P（3，0）．當∠ACP＝90°時，△ACP是等腰直角三角形，可得P（8，0）．綜上所述，所有符合條件的點P坐標為（3，0）或（8，0）．【點評】本題是一次函數綜合題，主要考查一次函數的性質、三角形的面積、直角三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數的性質和分類討論的數學思想解答．8．（2022秋?興化市月考）在平面直角坐標系xOy中，對于線段AB和點C，若△ABC是以AB為一條直角邊，且滿足AC＞AB的直角三角形，則稱點C為線段AB的“從屬點”．已知點A的坐標為（0，1）．（1）如圖1，若點B為（2，1），在點C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，線段AB的“從屬點”是C1，C2；（2）如圖2，若點B為（1，0），點P在直線y＝﹣2x﹣3上，且點P為線段AB的“從屬點”，求點P的坐標；（3）點B為x軸上的動點，直線y＝4x+b（b≠0）與x軸，y軸分別交于M，N兩點，若存在某個點B，使得線段MN上恰有2個線段AB的“從屬點”，直接寫出b的取值范圍．【分析】（1）分別按照“從屬點”的定義對三個點進行分析即可；（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°兩種情況，借助等腰直角三角形的判定和性質求解；（3）畫出圖象，分b＞0和b＜0兩種情況，分別求出邊緣值，從而得到b的取值范圍．【解答】解：（1）C1（0，﹣2），則AC1＝3＞2＝AB，且△ABC為直角三角形，故C1是線段AB的“從屬點”；C2（2，2），則AC2＝＞2＝AB，且△ABC為直角三角形，故C2是線段AB的“從屬點”；C3（1，0），則AB不是直角邊，故C3不是線段AB的“從屬點”；C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是線段AB的“從屬點”；故答案為：C1，C2．（2）設點P的坐標為（a，﹣2a﹣3），∵點P為線段AB的“從屬點”，①當∠ABP＝90°時，由題意可知：OA＝OB＝1，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴∠OBP＝45°，過點P作PF⊥y軸，垂足為F，BP交y軸于點E，可知△OBE和△PEF為等腰直角三角形，∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a，∴OF＝1﹣a，則1﹣a＝2a+3，解得：a＝﹣，∴點P的坐標為（﹣，﹣），此時AP＞AB；②當∠BAP＝90°時，過點P作PG⊥x軸，垂足為G，AP交x軸于點H，同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，∴△AOH和△PHG為等腰直角三角形，∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3，∴OG＝2a+4，則﹣2a﹣4＝a，解得：a＝﹣，∴點P的坐標為（﹣，﹣），此時AP＝AH+HP＞AB；綜上，點P的坐標為：（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．（3）如圖，AC＝AE＝AB，由“從屬點”的定義可知：線段AB的從屬點在射線CC1、EE1、BD上，當b＞0時，當點B和原點重合時，若要滿足線段MN上恰有2個線段AB的“從屬點”，則點C在線段MN上，此時點C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5，從而當b＞5時，總能找到點B，滿足條件，故b＞5；當b＜0時，若要滿足線段MN上恰有2個線段AB的“從屬點”，如圖，當點E和M重合時，∵AB＝AE，∴△ABE為等腰直角三角形，可得：AO＝EO＝1，即E（1，0），代入y＝4x+b，得：b＝﹣4，而當b＞﹣4時，四條射線CC1、DD1、EE1、FF1無法與線段MN產生兩個交點，當b＜﹣4時，總能找到點B，滿足條件，此時b＜﹣4，綜上，b的取值范圍是：b＞5或b＜﹣4．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了一次函數的圖象和性質，直角三角形的性質，“從屬點”的新定義，等腰直角三角形的判定和性質，解題時要把握好“從屬點”的定義，結合一次函數圖象進行分析，難度較大．9．（2022秋?江都區(qū)期末）閱讀并解決下面問題：定義：把函數y＝kx+b中自變量x作為橫坐標，函數值y作為縱坐標，我們把坐標（x，kx+b）叫做函數y＝kx+b的函數坐標；反過來，把坐標（x，kx+b）中的橫坐標x看做自變量，縱坐標kx+b看作因變量y，得到函數y＝kx+b，我們把函數y＝kx+b叫做坐標（x，kx+b）的坐標函數．（1）坐標（m，2m+4）是函數y＝2x+4的函數坐標；（填函數表達式）（2）已知P（m，m+3），Q（n﹣1，n﹣4）兩點在同一直角坐標系中，則線段PQ的最短距離是3；（3）如圖，已知直線y＝﹣2x+8與兩坐標軸分別交于A，B兩點，與直線y＝2x交于點C，M是直線y＝2x上的動點，點M橫坐標為m，過點M作y軸的平行線，交直線y＝﹣2x+8于點N，且MN＝4，求點M的坐標；（4）在（3）的條件下，點D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的內部（不包括邊界），則t的取值范圍是4＜t＜．【分析】（1）直接根據定義即可得出答案；（2）由定義可得：點P（m，m+3）在直線y＝x+3上，點Q（n﹣1，n﹣4）在直線y＝x﹣3上，且PE∥QF，根據平行線間的距離即可求得答案；（3）由題意得：M（m，2m），N（m，﹣2m+8），可得MN＝|2m﹣（﹣2m+8）|＝|4m﹣8|，根據題意列方程求解即可；（4）根據點D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的內部（不包括邊界），列不等式組求解即可．【解答】解：（1）根據定義可得坐標（m，2m+4）是函數y＝2x+4的函數坐標，故答案為：y＝2x+4；（2）∵P（m，m+3），Q（n﹣1，n﹣4），∴點P（m，m+3）在直線y＝x+3上，點Q（n﹣1，n﹣4）在直線y＝x﹣3上，如圖，直線PE：y＝x+3經過點E（0，3），直線QF：y＝x﹣3經過點F（3，0），則PE∥QF，∵∠OEP＝∠OEF＝45°，∴∠PEF＝90°，∴EF⊥PE，EF⊥QF，∴直線PE與直線QF的距離為線段EF的長度，即線段PQ的最短距離為線段EF的長度，在Rt△OEF中，EF＝＝＝3，故答案為：3；（3）由題意得：M（m，2m），N（m，﹣2m+8），∴MN＝|2m﹣（﹣2m+8）|＝|4m﹣8|，∵MN＝4，∴|4m﹣8|＝4，解得：m＝3或1，當m＝3時，M（3，6），當m＝1時，M（1，2），綜上所述，點M的坐標為（3，6）或（1，2）；（4）如圖，由（2）知：點D（t﹣1，t﹣4）是直線LG：y＝x﹣3上的動點，由題意得，解得：，∴S（，），在y＝x﹣3中，令y＝0，得x﹣3＝0，解得：x＝3，∴L（3，0），∵點D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的內部（不包括邊界），∴，解得：4＜t＜，故答案為：4＜t＜．【點評】此題考查了一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組及一元一次不等式之間的聯系，平行線間距離等，運用數形結合與方程思想是解答本題的關鍵．10．（2021秋?江陰市校級月考）已知長方形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，6），點A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上的動點，設PC＝m，（1）已知點D在第一象限且是直線y＝2x+6上的一點，設D點橫坐標為n，則D點縱坐標可用含n的代數式表示為2n+6，此時若△APD是等腰直角三角形，求點D的坐標；（2）直線y＝2x+b過點（3，0），請問在該直線上，是否存在第一象限的點D使△APD是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出這些點的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）由點D在第一象限且是直線y＝2x+6上的一點，即可用含n的代數式表示D點縱坐標，y＝2x+6與x軸夾角＞45°，即∠DAB＞45°，故∠DAP＞45°，所以三角形APD是等腰直角的情況下，只能是∠DAP＝90°．作DE⊥y軸于E點，作PF⊥y軸于F點，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，再由三角形ADP為等腰直角三角形，得到AD＝AP，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的對應邊相等得到AE＝PF，由AE+OA求出OE的長，即為D的縱坐標，代入直線解析式求出D的橫坐標，即可確定出D的坐標；（2）存在點D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：由直線y＝2x+b過點（3，0）求出直線的解析式，分三種情況考慮：當∠ADP＝90°，AD＝PD時，根據等腰直角三角形的性質易得D點坐標；當∠APD＝90°，AP＝PD時，由全等三角形的性質表示出D點坐標為（14﹣m，m+8），列出關于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標；當∠ADP＝90°，AD＝PD時，同理求出D的坐標，綜上，得到所有滿足題意D得坐標．【解答】解：（1）如圖，作DE⊥y軸于E點，作PF⊥y軸于F點，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，∴DE∥PF∥OC，∵四邊形ABCO是矩形，∴AB∥OC，∴AB∥PF，∵△DAP為等腰直角三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝90°，∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，∴∠EAD＝∠BAP，∵AB∥PF，∴∠BAP＝∠FPA，∴∠EAD＝∠FPA，∵在△ADE和△PAF中，，∴△ADE≌△PAF（AAS），∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，設點D的橫坐標為n，∵點D在第一象限且是直線y＝2x+6上的一點，∴D點縱坐標可用含n的代數式表示為2n+6，∴14＝2n+6，得n＝4，∴點D的坐標是（4，14）；故答案為：2n+6，點D的坐標是（4，14）；（2）存在點D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：∵直線y＝2x+b過點（3，0），∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，∴直線解析式為y＝2x﹣6，當∠ADP＝90°，AD＝PD時，如圖，作DE⊥AB于E點，作DF⊥y軸于F點，∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，∵B的坐標為（8，6），∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，∴D點坐標（4，2）；當∠APD＝90°，AP＝PD時，如圖，作PE⊥y軸于E點，作DF⊥EP于F點，∵PC＝m，同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，則D點坐標為（8+6﹣m，m+8），∵點D在直線y＝2x﹣6上，∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，∴D點坐標（，）；當∠ADP＝90°，AD＝PD時，如圖，作DE⊥y軸于E點，作PF⊥ED于F點，同理可求得D點坐標（，），綜上，符合條件的點D存在，坐標為（4，2）或（，）或（，）．【點評】此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，利用了分類討論及數形結合的思想，本題第二問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．11．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝4，AD＝6．若動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著BC→CD→DA的路線向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，圖2是點P出發(fā)t秒后，△ABP的面積S與t的函數圖象．（1）a＝，b＝7；（2）求MN所在直線對應的函數表達式；（3）運動幾秒后，△ABP的面積為14？【分析】（1）根據題意可得當點P到達C點時，△ABP的面積S最大，根據三角形的面積公式求出BC＝9，即可得a的值，求出當點P到達D點時，△ABP的面積S，進而可得b的值；（2）由（1）可得M、N的坐標，利用待定系數法即可求解；（3）根據題意分3種情況討論：①當點P在BC上運動時，②當點P在CD上運動時，③當點P在AD上運動時，分別求解即可．【解答】解：（1）當點P到達C點時，△ABP的面積S最大為18，∴S＝BC?AB＝18，∴BC×4＝18，解得BC＝9，∵動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著BC→CD→DA的路線向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，∴t＝，∴a＝，當點P到達D點時，t＝10﹣6÷2＝7，∴b＝7，故答案為：，7；（2）當點P到達D點時，△ABP的面積S＝AB?AD＝×4×6＝12，∴N（7，12），由（1）知M（，18），設MN所在直線對應的函數表達式為S＝kt+b，∴，解得，∴MN所在直線對應的函數表達式為S＝﹣t+（）；（3）根據題意分3種情況討論：①當點P在BC上運動時，S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t（0＜t＜），∵△ABP的面積為14，∴4t＝14，∴t＝；②當點P在CD上運動時，由（2）知S＝﹣t+（），∴﹣t+＝14，∴t＝；③當點P在AD上運動時，S△ABP＝×AB×AP＝×4×（10×2﹣2t）＝﹣4t+40（7＜t≤10）；∴﹣4t+40＝14，綜上所述：t＝或t＝時，△ABP的面積為14．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，一次函數的性質、三角形的面積，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識，利用數形結合思想以及分類思想解題．12．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）（1）問題解決：①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，點A、B的坐標分別為A（﹣3，0）、B（0，1）．②求①中點C的坐標．小明同學為了解決這個問題，提出了以下想法：過點C向x軸作垂線交x軸于點D．請你借助小明的思路，求出點C的坐標；（2）類比探究數學老師表揚了小明同學的方法，然后提出了一個新的問題，如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標（0，﹣7），點B坐標（8，0），過點B作x軸垂線l，點P是l上一動點，點D是在一次函數y＝﹣2x+2圖象上一動點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D與點P的坐標D（1，0），P（8，2）或D（，﹣），P（8，﹣）．【分析】（1）利用坐標軸上點的特點建立方程求解，即可得出結論；（2）先構造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出結論；（3）同（2）的方法構造出△AFD≌△DGP（AAS），分兩種情況，建立方程求解即可得出結論．【解答】解：（1）針對于一次函數y＝x+1，令x＝0，∴y＝1，∴B（0，1），令y＝0，∴x+1＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），故答案為（﹣3，0），（0，1）；（2）如圖1，由（1）知，A（﹣4，0），B（0，1），∴OA＝3，OB＝1，過點C作CD⊥x軸于D，∴∠ADC＝∠BOA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，在△ADC和△BOA中，，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，∴OD＝OA+AD＝5，∴C（﹣5，3）；（3）如圖2，∵過點D作DF⊥y軸于F，延長FD交BP于G，∴DF+DG＝OB＝8，∵點D在直線y＝﹣2x+2上，∴設點D（m，﹣2m+2），∴F（0，﹣2m+2），∵BP⊥x軸，B（8，0），∴G（8，﹣2m+2），同（2）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），∴AF＝DG，DF＝PG，如圖2，DF＝m，∵DF+DG＝DF+AF＝8，∴m+|2m﹣9|＝8，∴m＝或m＝1，∴D（1，0）或（，﹣），當m＝1時，G（8，0），DF＝1，∴PG＝1，∴P（8，﹣1），當m＝時，G（8，﹣），DF＝，∴BG＝，∴P（8，﹣），即：D（1，0），P（8，2）或D（，﹣），P（8，﹣）．【點評】此題是一次函數綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，方程的思想，構造全等三角形是解本題的關鍵．13．（2022秋?南京期末）小明根據學習函數的經驗，對函數y＝﹣2|x﹣3|+4的圖象與性質進行了探究，并嘗試解決了相關問題．下面是小明的探究過程，請補充完成：（1）當x＝3時，y＝﹣2|x﹣3|+4＝4；當x＜3時，y＝﹣2|x﹣3|+4＝2x﹣2．當x＞3時，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣2x+10．（2）在平面直角坐標系中畫出y＝﹣2|x﹣3|+4的圖象，并寫出該函數的兩條不同類型的性質．（3）直接寫出關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0）解的個數及對應k的取值范圍．【分析】（1）根據題目中的函數解析式，可以分別寫出x＞3和x＜3時的函數解析式；（2）根據（1）中的結果，可以在坐標系中畫出函數y＝﹣2|x﹣3|+4的圖象；根據函數圖象，可以寫出函數y＝﹣2|x﹣3|+4的性質；（3）結合函數圖象分析，可得關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0）解的個數及對應k的取值范圍．【解答】解：（1）當x＜3時，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣6+2x+4＝2x﹣2，當x＞3時，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣2x+6+4＝﹣2x+10，故答案為：2x﹣2，﹣2x+10；（2）當x＜3時，y＝2x﹣2過點（2，2），（0，﹣2），當x＞3時，y＝﹣2x+10過點（4，2），（6，﹣2），函數y＝﹣2|x﹣3|+4的圖象如圖所示，由圖象可知，當x＞3時，y隨x的增大而減??；當x＜3時，y隨x的增大而增大；函數圖象關于直線x＝3對稱；（3）如圖：∵關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0），令y＝kx+6，則圖象過點（0，6），當y＝kx+6過點（3，4）時，3k+6＝4，∴k＝﹣，此時，關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0）有一個解；當直線y＝kx+6平行于y＝2x﹣2時，k＝2，∴k＞2時，關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0）有一個解；當直線y＝kx+6平行于y＝﹣2x+10時，k＝﹣2，∴k≤﹣2時，關于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k為常數，k≠0）有一個解；∴當﹣2＜k＜﹣時，方程有兩個解；當k＞2、k≤﹣2或k＝﹣時，方程有一個解；當﹣＜k＜0或0＜k≤2時，方程沒有解．【點評】本題是一次函數綜合題，考查一次函數的性質、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．14．（2022秋?太倉市期末）如圖，平面直角坐標系中，已知點A（10，0），點B（0，8），過點B作x軸的平行線l，點P是在直線l上位于第一象限內的一個動點，連接OP，AP．（1）如圖1，若將△BOP沿OP翻折后，點B的對應點B'恰好落在x軸上，則△BOP的面積S△BOP＝32；（2）如圖1，若OP平分∠APB，求點P的坐標；（3）如圖2，已知點C是直線上一點，若△APC是以AP為直角邊的等腰直角三角形，求點C的坐標．【分析】（1）將△BOP沿OP翻折后，點B的對應點B'恰好落在x軸上，則∠POB＝45°，則OB＝BP＝8，即可求解；（2）證明AP＝AO，即102＝（10﹣n）2+82，即可求解；（3）當點C在直線l的上方時，證明△PEA≌△CFP（AAS），得到AE＝PF且PE＝FC，即可求解；當點C在直線l的下方時，同理可解．【解答】解：（1）∵將△BOP沿OP翻折后，點B的對應點B'恰好落在x軸上，則∠POB＝45°，則OB＝BP＝8，則S△BOP＝＝＝32，故答案為：32；（2）設點P（n，8），∵直線l∥x軸，∴∠BPO＝∠POA，∵OP平分∠APB，∴∠BPO＝∠OPA，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO，即102＝（10﹣n）2+82，解得：n＝16或4，即點P（4，8）或（16，8）；（3）設點P（n，8）（n≠0），點C（m，m），當點C在直線l的上方時，如圖，過點P作直線FE，交x軸于點E，交過點C與x軸的平行線于點F，、∵△APC為等腰直角三角形，則PA＝PC，∠APC＝90°，∴∠APE+∠FPC＝90°，∠FPC+∠FCP＝90°，∴∠APE＝∠FCP，∵∠PEA＝∠CFP＝90°，PA＝PC，∴△PEA≌△CFP（AAS），∴AE＝PF且PE＝FC，則m﹣8＝10﹣n且|m﹣n|＝8，解得：，即點C的坐標為（10，16）（不合題意的值已舍去）；當點C在直線l的下方時，如圖，過點A作AM⊥l于點M，過點C作CN⊥x軸于點N，同理可得：△AMP≌△ANC（AAS），∴AM＝AM且MP＝NC，∴8＝|10﹣m|或n﹣10＝m，解得：或，即點C的坐標為（2，）或（18，）（舍去），綜上，點C的坐標為：（10，16）或（2，）．【點評】本題考查了一次函數的綜合應用，涉及全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、分類討論及數形結合的思想．本題第三問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．15．（2022秋?漣水縣校級月考）如圖所示，直線分別與x軸、y軸分別交于點A和點B，C是OB上一點，若將△ABC沿AC折疊，點B恰好落在x軸上的點B′處．（1）求：點A，點B的坐標；（2）點B′，點C的坐標．（3）若P在x軸上運動且△PB'C是等腰三角形，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．【分析】（1）分別令x＝0，y＝0，求點A、B的坐標即可；（2）設C（0，t），由折疊的性質可知AB＝AB'＝5，可求B'的坐標，再由BC＝B'C，列出方程3﹣t＝，求出t的值即可．（3）設P（x，0），分別求出PC＝，B'P＝|x+1|，B'C＝，再根據等腰三角形的邊的關系分類討論即可求解．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），令y＝0，則x＝4，∴A（4，0）；（2）由折疊可知，BC＝B'C，AB＝AB'，∵AB＝5，∴AB'＝5，∴B'（﹣1，0），設C（0，t），∴BC＝3﹣t，∴3﹣t＝，解得t＝，∴C（0，）；（3）設P（x，0），∴PC＝，B'P＝|x+1|，B'C＝，當PC＝B'P時，＝|x+1|，解得x＝，∴P（，0）；當PC＝B'C時，＝，解得x＝±1，∴P（1，0）；當B'P＝B'C時，|x+1|＝，解得x＝或x＝﹣，∴P（，0）或（﹣，0）；綜上所述：P點坐標為（，0）或（1，0）或（，0）或（﹣，0）．【點評】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，折疊的性質是解題的關鍵．16．（2021秋?儀征市期末）請你用學習“一次函數”中積累的經驗和方法研究函數y＝2|x|﹣2的圖象和性質，并解決問題．（1）①當x＝0時，y＝2|x|﹣2＝﹣2；②當x＞0時，y＝2|x|﹣2＝2x﹣2；③當x＜0時，y＝2|x|﹣2＝﹣2x﹣2；顯然，②和③均為某個一次函數的一部分．（2）在平面直角坐標系中，作出函數y＝2|x|﹣2的圖象．（3）根據函數圖象寫出函數y＝2|x|﹣2的一條性質：函數圖象關于y軸對稱．（4）一次函數y＝kx+b（k為常數，k≠0）的圖象過點（1，﹣3），若無解，結合函數的圖象，直接寫出k的取值范圍．【分析】（1）②當x＞0時，|x|＝x，進而求解．③當x＜0時，|x|＝﹣x，進而求解．（2）分別畫出x＜0，x≥0時的函數圖象．（3）根據圖象求解．（4）分類討論k＞0與k＜0時，函數圖象與直線無交點的情況求解．【解答】解：（1）②∵x＞0時，|x|＝x，∴x＞0時，y＝2|x|﹣2＝2x﹣2，③∵x＜0時，|x|＝﹣x，∴x＜0時，y＝2|x|﹣2＝﹣2x﹣2，故答案為：2x﹣2，﹣2x﹣2．（2）如圖，（3）由圖象可得，函數圖象關于y軸對稱，故答案為：函數圖象關于y軸對稱．（4）當k＞0時，如圖，當直線y＝kx+b與y＝2x﹣2時，方程無解，此時k＝2，∴當0＜k≤2時，滿足題意．如圖，當直線經過（1，﹣3），（0，﹣2）時，將（1，﹣3），（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，∴﹣1＜k＜0時滿足題意，綜上所述，若無解，﹣1＜k≤2且k≠0．【點評】本題考查一次函數的綜合應用，解題關鍵是掌握一次函數的性質，掌握待定系數法求函數解析式，通過數形結合求解．17．（2021秋?沭陽縣期末）如圖1所示，直線l：y＝mx+10m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．（1）當OA＝OB時，求點A坐標及直線l的解析式；（2）在（1）的條件下，如圖2所示，設Q為AB延長線上的一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝8，求BN的長．（3）當m取不同值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連接EF交y軸于點P，如圖3，問：當點B在y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長度是否為定值？若是，請求出其值；若不是，說明理由．【分析】（1）y＝mx+10m，令y＝0，則mx+10m＝0，所以x＝﹣10，則A（﹣10，0），可求得B（0，10），即可求得直線l的解析式為y＝x+10；（2）由∠AMO＝∠ONB＝∠AOB＝90°，得∠AOM＝∠OBN＝90°﹣∠BON，即可證明△AOM≌△OBN，由OA＝10，AM＝8，∠AOB＝90°，根據勾股定理求得OM＝6，所以OM＝BN＝6，則BN的長是6；（3）作CE⊥y軸于點C，可證明△BCE≌△AOB，得CE＝OB＝BF，CB＝OA＝10，再證明△PCE≌△PBF，得PB＝PC＝CB＝5，則PB的長度為定值，它的值為5．【解答】解：（1）y＝mx+10m，當y＝0時，則mx+10m＝0，解得x＝﹣10，∴A（﹣10，0），∵OA＝OB＝10，且點B在y軸正半軸上，∴B（0，10），將B（0，10）代入y＝mx+10m，得10m＝10，解得m＝1，∴A（﹣10，0），直線l的解析式為y＝x+10．（2）如圖2，∵AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，∴∠AMO＝∠ONB＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠OBN＝90°﹣∠BON，在△AOM和△OBN中，，∴△AOM≌△OBN（AAS），∵OA＝10，AM＝8，∴OM＝＝＝6，∴OM＝BN＝6，∴BN的長是6.（3）PB的長度為定值，如圖3，作CE⊥y軸于點C，∵△OBF和△ABE都是等腰直角三角形，且點B為直角頂點，∴OB＝BF，BE＝AB，∠OBF＝∠ABE＝90°，∴∠PCE＝∠PBF＝∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OAB＝90°﹣∠ABO，在△BCE和△AOB中，，∴△BCE≌△AOB（AAS），∴CE＝OB＝BF，CB＝OA＝10，在△PCE和△PBF中，，∴△PCE≌△PBF（AAS），∴PB＝PC＝CB＝×10＝5，∴PB的長度為定值，它的值為5．【點評】此題重點考查一次函數的圖象與性質、用待定系數法求函數的解析式、等腰直角三角形的性質、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質等知識，此題綜合性較強，難度較大，屬于考試壓軸題．18．（2022秋?興化市校級期末）對于平面直角坐標系xOy中的點A和點P，若將點P繞點A順時針旋轉90°后得到點Q，則稱點Q為點P關于點A的“順轉點”，圖1為點P關于點A的“順轉點”Q的示意圖．【知識理解】（1）已知點A的坐標為（0，0），點P關于點A的“順轉點”為點Q．①若點P的坐標為（1，0），則點Q的坐標為（0，﹣1）；②當點P的坐標為（1，2）時，點Q的坐標為（2，﹣1）；③△PAQ是等腰直角三角形；【知識運用】（2）如圖2，已知直線y＝x+1與x軸交于點A．①點B的坐標為（1，0），點C在直線y＝x+1上，若點C關于點B的“順轉點”在坐標軸上，則點C的坐標為（1，）或（﹣4，﹣1）；②點E在直線y＝x+1上，點E關于點A的“順轉點”為點F，則直線AF的表達式為y＝2x﹣4；【知識遷移】（3）如圖3，已知直線l1：y＝﹣2x+2與y軸交于點A，直線l2經過點A，l1與l2在A點相交所形成的夾角為45°，則直線l2的函數表達式為y＝﹣x+2；（4）點A是平面直角坐標系內一點，點P（2，0）關于點A的“順轉點”為點B，點B恰好落在直線y＝﹣x上．當線段AP最短時，點A的坐標為（1，0）．【分析】（1）①由旋轉的性質和等腰直角三角形的性質可得Q（0，﹣1）；②過點P作PE⊥y軸交于點E，過點Q作QF⊥y軸交于點F，證明△APE≌△QAF（AAS），則EP＝1，AE＝2，可求P點坐標；③由AP＝AQ，∠PAQ＝90°，可判斷三角形形狀；（2）①設點C關于點B的“順轉點”為D，當D點在x軸坐標軸時，BC⊥x軸，可求C（1，）；當D點在y軸正半軸時，過點B作HG⊥x軸，過點D作DG⊥y軸交GH于點G，過點C作CH⊥y軸交GH于點H，證明△BDG≌△CBH（AAS），可得C點縱坐標為﹣1，則可求C（﹣4，﹣1）；②設E（t，t+1），過點A作GH⊥x軸，過點E作EG⊥GH交于點G，過點F作FH⊥GH交于點H，先證明△AGE≌△FHA（AAS），可得F（t﹣1，﹣t﹣2），再求設直線AF的解析式為y＝﹣2x﹣4；（3）設l1與x軸的交點為B，l2與x軸的交點為C，過點C作CD⊥l1交于點D，由tan∠BCD＝tan∠BAO＝，可得CD＝2BD，再由+BD＝2BD，求出BD＝CD＝2，BC＝5，求出C（6，0），再求直線AC的解析式為y＝﹣x+2；（4）設點A（x，y），B（m，﹣m），過點A作MN∥x軸，過點P作PN⊥x軸交MN于點N，過點B作MB⊥x軸交MN于點M，證明△ABM≌△PAN（AAS），由AN＝MB，AM＝PN，求出x＝1，則AP＝≥1，當AP最短時A（1，0）．【解答】解：（1）①∵A（0，0），P（1，0），點P關于點A的“順轉點”為點Q，∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∴Q（0，﹣1），故答案為：（0，﹣1）；②如圖1，過點P作PE⊥y軸交于點E，過點Q作QF⊥y軸交于點F，∵∠PAQ＝90°，∴∠EPA+∠FAQ＝90°，∵∠EPA+∠EAP＝90°，∴∠FAQ＝∠EAP，∵AP＝AQ，∴△APE≌△QAF（AAS），∴AF＝EP，AE＝FQ，∵Q（2，﹣1），∴AF＝1，FQ＝2，∴EP＝1，AE＝2，∴P（1，2），故答案為：（1，2）；③∵AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∴△PAQ是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角；（2）①設點C關于點B的“順轉點”為D，當D點在x軸坐標軸時，BC⊥x軸，∵B（1，0），點C在直線y＝x+1上，∴C（1，）；如圖2，當D點在y軸正半軸時，過點B作HG⊥x軸，過點D作DG⊥y軸交GH于點G，過點C作CH⊥y軸交GH于點H，∵∠DBC＝90°，∴∠DBG+∠CBH＝90°，∵∠DBG+∠GDB＝90°，∴∠CBH＝∠GDB，∵BD＝BC，∴△BDG≌△CBH（AAS），∴DG＝BH，BG＝CH，∵B（1，0），∴DG＝BH＝1，∴C點縱坐標為﹣1，∵點C在直線y＝x+1上，∴C（﹣4，﹣1）；綜上所述：C點坐標為（1，）或（﹣4，﹣1）；故答案為：（1，）或（﹣4，﹣1）；②如圖3，設E（t，t+1），過點A作GH⊥x軸，過點E作EG⊥GH交于點G，過點F作FH⊥GH交于點H，∵∠EAF＝90°，∴∠EAG+∠HAF＝90°，∵∠GAE+∠GEA＝90°，∴∠HAF＝∠GEA，∵AE＝AF，∴△AGE≌△FHA（AAS），∴AG＝HF，GE＝AH，∵A（﹣2，0），∴GE＝t+2＝AH，AG＝t+1＝HF，∴F（t﹣1，﹣t﹣2），設直線AF的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣2x﹣4，故答案為：y＝﹣2x﹣4；（3）令x＝0，則y＝2，∴A（0，2），如圖4，設l1與x軸的交點為B，l2與x軸的交點為C，過點C作CD⊥l1交于點D，∴B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，在Rt△AOC中，∠OAB+∠ACO＝45°，∴∠BCD＝∠AOB，∵tan∠BAO＝，∴＝，∴CD＝2BD，∵AB＝，∴+BD＝2BD，∴BD＝，∴CD＝2，∴BC＝5，∴OC＝6，∴C（6，0），設直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，故答案為：y＝﹣x+2；（4）設點A（x，y），B（m，﹣m），如圖5，過點A作MN∥x軸，過點P作PN⊥x軸交MN于點N，過點B作MB⊥x軸交MN于點M，∵∠PAB＝90°，∴∠MAB+∠NAP＝90°，∵∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠NAP＝∠MBA，∵AB＝AP，∴△ABM≌△PAN（AAS），∴AN＝MB，AM＝PN，∴y＝x﹣m，2﹣x＝y(tǒng)+m，∴x＝1，∴A（1，y），∴AP＝≥1，∴當y＝0時，AP最短，∴A（1，0），故答案為：（1，0）．【點評】本題是一次函數的綜合題，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．19．（2022秋?興化市校級月考）如圖，直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點A和點C，點B（0，2）在y軸上，連接AB，點P為直線AB上一動點．（1）直線AB的解析式為y＝x+2；（2）若S△APC＝S△AOC，求點P的坐標；（3）當∠BCP＝∠BAO時，求直線CP的解析式及CP的長．【分析】（1）先求出點A，點C坐標，利用待定系數法可求解析式；（2）設點P（m，m+2），分兩種情況討論，利用面積關系列出方程可求m的值，即可求解；（3）分兩種情況討論，由“ASA”可證△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求點H坐標，利用待定系數法可求CH解析式，聯立方程組可求點P坐標，由兩點距離公式可求解．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點A和點C，∴點A（﹣4，0），點C（0，﹣4），設直線AB的解析式為y＝kx+b，由題意可得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+2，故答案為：y＝x+2；（2）∵點A（﹣4，0），點C（0，﹣4），點B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，設點P（m，m+2），當點P在線段AB上時，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴點P（﹣，）；當點P在BA的延長線上時，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴點P（﹣，﹣），綜上所述：點P坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如圖，當點P在線段AB上時，設CP與AO交于點H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴點H坐標為（﹣2，0），設直線PC解析式y(tǒng)＝ax+c，由題意可得，解得：，∴直線PC解析式為y＝﹣2x﹣4，聯立方程組得：，解得：，∴點P（﹣，），∴CP＝＝，當點P'在AB延長線上時，設CP'與x軸交于點H'，同理可求直線P'C解析式為y＝2x﹣4，聯立方程組，∴點P（4，4），∴CP＝＝4，綜上所述：CP的解析式為：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的長為或4．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．20．（2022秋?高郵市期末）結合已經學過的“距離”我們知道：點到直線的“距離”是直線外一點和直線上各點連接的所有線段中最短的線段（即垂線段）的長度．類似的我們給出兩個圖形M、N的“距離”定義：如果點P為圖形M上的任意一點，點Q為圖形N上的任意一點，且P、Q兩點的“距離”有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N的“距離”，記為d（M，N）特別地，當圖形M、N有公共點時，圖形M，N的“距離”d（M，N）＝0．（1）如圖1，在平面直角坐標系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），則d（N，∠AOB）＝1，d（M，∠AOB）＝1；（2）如圖2，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），將一次函數y＝kx+6的圖象記為L．①若k＞0，且，求k的值；②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范圍；（3）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P（3n，﹣4n+4）為平面內一點，則d（O，P）＝．【分析】（1）作MH⊥OB于點H，由d（M，N）的定義可知，d（N，∠AOB）＝ON，d（M，∠AOB）＝MH；（2）①設圖象L與y軸交于D，與x軸交于F，作AE⊥L于點E．由可知，根據勾股定理求出，可得△DFO是等腰直角三角形，求出點F的坐標，代入y＝kx+6即可求出k值；②求出圖象L經過點B和點C時的k值，結合一次函數的性質即可求出k的取值范圍；（3）由P（3n，﹣4n+4）可得點P在直線上，利用面積法求出點O到直線的距離即可求出d（O，P）．【解答】解：（1）∵M（0，2），N（﹣1，0），∴OM＝2，ON＝1，由題意知，d（N，∠AOB）＝ON＝1，如圖，作MH⊥OB于點H，∵∠AOB＝60°，∴∠MOH＝30°，∴，∴d（M，∠AOB）＝MH＝1，故答案為：1，1；（2）①如圖，設圖象L與y軸交于D，與x軸交于F，作AE⊥L于點E．y＝kx+6中，令x＝0，則y＝6，∴D（0，6），∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4，∵，∴，∴，∴∠ADE＝45°，∴∠DFO＝45°，∴OF＝OD＝6，∴F（﹣6，0），將F（﹣6，0）代入y＝kx+6，得﹣6k+6＝0，解得k＝1；②圖象L經過點B和點C時，圖象L與△ABC只有一個交點，符合d（L，△ABC）＝0，當圖象L經過點B時，將B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0，解得k＝3，當圖象L經過點C時，將C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0，解得k＝﹣3，由一次函數的圖象和性質可知，當k＞3或k＜﹣3時，圖象L與△ABC有兩個交點，滿足d（L，△ABC）＝0，故k的取值范圍為k≥3或k≤﹣3；（3）令y＝﹣4n+4，x＝3n，則，∴P（3n，﹣4n+4）在直線上，如圖，設直線與x軸交于點K，與y軸交于點G，令y＝0，則，解得x＝3，令x＝0，則y＝4，∴K（3，0），G（0，4），∴OK＝3，OG＝4，∴，∵，∴，解得，∴．【點評】本題考查一次函數的圖象和性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等，解題的關鍵是理解新定義的意義，將新定義問題轉化為學過的數學問題．21．（2022秋?儀征市期末）【模型建立】如圖①，在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．【模型應用】（1）如圖②，直線l1：y＝x+4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45°至直線l2，求直線l2對應的函數表達式．（2）如圖③，四邊形ABCO是長方形，O為坐標原點，點B的坐標為（8，﹣6），點A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上的動點，D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限．若△APD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標．【分析】【模型建立】根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；【模型應用】（1）過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（﹣4，7），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；（2）根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，﹣2x+6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，據此列出方程進行求解即可．【解答】【模型建立】證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；【模型應用】解：（1）如圖2，過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線l1：y＝x+4中，若y＝0，則x＝﹣3；若x＝0，則y＝4，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣4，7），設l2的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴l(xiāng)2的解析式：y＝﹣7x﹣21；（2）D（4，﹣2），（）．理由：當點D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，解得x＝4，∴﹣2x+6＝﹣2，∴D（4，﹣2），此時，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合題意；當點D在矩形AOCB的外部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，解得x＝，∴﹣2x+6＝﹣，∴D（，﹣），此時，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合題意．綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（4，﹣2）或（，﹣）．【點評】本題屬于一次函數綜合題，主要考查了點的坐標、矩形的性質、待定系數法、等腰直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的性質進行計算，需要考慮的多種情況，解題時注意分類思想的運用．22．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）大家在學完勾股定理的證明后發(fā)現運用“同一圖形的面積用不同方式表示”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為等面積法．學有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高BD＝h，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB的距離ME＝h1，M到腰AC的距離MF＝h2．（1）請你結合圖形1來證明：h1+h2＝h；（2）當點M在BC延長線上時，h1、h2、h之間又有什么樣的結論．請你在圖2中畫出圖形，并直接寫出結論不必證明；（3）請利用以上結論解答下列問題，如圖3，在平面直角坐標系中有兩條直線，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是2，求點M的坐標．【分析】（1）根據S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可證明；（2）畫出圖形根據等面積法可知S△ABC＝S△ABM﹣S△AMC，從而得出結論；（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據（1）（2）的結果分①當點M在BC邊上時，②當點M在CB延長線上時，求得M的坐標．③當點M在BC的延長線上時，，不存在；【解答】（1）證明：連接AM，由題意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，，，又∵，AB＝AC，∴，∴h1+h2＝h．（2）解：如圖所示，根據等面積法可知S△ABC＝S△ABM﹣S△AMC，由（1）可得，，，∴，∵AB＝AC，∴h1﹣h2＝h．（3）解：在中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC為等腰三角形．①當點M在BC邊上時，由h1+h2＝h得：2+My＝OB＝3，My＝3﹣2＝1，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝，所以此時M（，1）；②當點M在CB延長線上時，由h1﹣h2＝h得：My﹣2＝OB＝3，My＝3+2＝5，把它代入y＝﹣3x+3中求得：，所以此時，③當點M在BC的延長線上時，h1＝2＜h，不存在；綜上所述：點M的坐標為M（，1）或．【點評】本題考查一次函數的應用，正確利用三角形面積的計算，等腰三角形的定義，等面積法是解題關鍵．23．（2022秋?泰興市期末）如圖，直線l1：y＝2x﹣8分別與x軸、y軸交于點A、B，直線l2經過點A和點C（0，1）．（1）求直線AC的表達式；（2）點E是直線l2上的一動點，且點E的橫坐標為m，經過點E作y的平行線，交直線l1于點F，以EF為邊在EF的右側作正方形EFGH（正方形的四條邊相等，四個角均為直角），連接AH、AG．①直接寫出點E和點F的坐標（用含有m的代數式表示）；②當m＜4時，判斷點A是否一定在正方形EFGH的內部，并說明理由；③設△AEH的面積為S1，△AFG的面積為S2，若S1+S2＝12.5，求m的值．【分析】（1）求出點A的坐標為（4，0），再用待定系數法可得直線AC的表達式為y＝﹣x+1；（2）①由已知直接可得點E的坐標為（m，﹣m+1），點F的坐標為（m，2m﹣8）；②當m＜4時，可證﹣m+1＞0，點A在EH的下方，由E（m，﹣m+1），F（m，2m﹣8），可得EF＝﹣m+1﹣（2m﹣8）＝﹣m+9＝EH，即得H（﹣m+9，﹣m+1），而﹣m+9＞4，故點A在GH的左側，從而點A一定在正方形EFGH的內部；③過A作AK⊥FG于K，延長KA交EH于T，由S1+S2＝12.5，可得（﹣m+9）2＝12.5，即可解得m＝或m＝．【解答】解：（1）在y＝2x﹣8中，令y＝0得x＝4，∴點A的坐標為（4，0），設直線AC解析式為y＝kx+b，將A（4，0），C（0，1）代入得：，解得，直線AC的表達式為y＝﹣x+1；（2）①根據題意得：點E的坐標為（m，﹣m+1），點F的坐標為（m，2m﹣8）；②點A一定在正方形EFGH的內部，理由如下：∵m＜4，∴﹣m+1＞0，∴點A在EH的下方，∵E（m，﹣m+1），F（m，2m﹣8），∴EF＝﹣m+1﹣（2m﹣8）＝﹣m+9，∴EH＝﹣m+9，∴H（﹣m+9，﹣m+1），∵m＜4，∴﹣m+9＞4，∴點A在GH的左側，∴點A一定在正方形EFGH的內部；③過A作AK⊥FG于K，延長KA交EH于T，如圖：∵四邊形EFGH是正方形，作AK⊥FG，∴四邊形EFKT是矩形，∴AT⊥EH，EF＝KT，由②知正方形EFGH的邊長為﹣m+9，∴EH＝FG＝EF＝TK＝﹣m+9，∵S1＝EH?AT，S2＝FG?AK，∴S1+S2＝（﹣m+9）?AT+（﹣m+9）?AK＝（﹣m+9）（AT+AK）＝（﹣m+9）?TK＝（﹣m+9）?（﹣m+9）＝（﹣m+9）2，∵S1+S2＝12.5，∴（﹣m+9）2＝12.5，解得m＝或m＝．【點評】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，正方形的性質及應用，三角形面積等知識，解題的關鍵是用含m的代數式表示相關點的坐標和相關線段的長度．24．（2022秋?灌南縣校級月考）模型建立：（1）如圖1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥DE于D，過B作BE⊥DE于E．求證：△BEC≌△CAD；模型應用：（2）已知直線l1：y＝x﹣4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉45°至l2，如圖2，求l2的函數解析式；模型拓展：（3）如圖3，在直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣6）位于第一象限內．若△APQ是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點Q的坐標．【分析】（1）根據余角的性質，可得∠ACD＝∠CBE，根據全等三角形的判定，可得答案；（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B點坐標，根據全等三角形的判定與性質，可得CD，BD的長，根據待定系數法，可得AC的解析式；（3）根據全等三角形的性質，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ACD和△CBE中，，∴△CAD≌△BCE（AAS）；（2）解：∵直線y＝x﹣4與y軸交于點A，與x軸交于點B，∴A（0，﹣4）、B（3，0）．如圖2，過點B作BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸，∵將直線l1繞著A點順時針旋轉45°至l2，∴∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵∠AOB＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠DBC＝90°，∴∠BAO＝∠DBC，在△BDC和△AOB中，，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C點坐標為（7，﹣3）．設l2的解析式為y＝kx+b，將A，C點坐標代入，得，解得∴l(xiāng)2的函數表達式為y＝x﹣4；（3）解：由題意可知，點Q是直線y＝2x﹣6上一點．如圖3，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F．，在△AQE和△QPF中，，∴△AQE≌△QPF（AAS），∴AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得a＝4，如圖4，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，，∵AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．在△AQE和△QPF中，，∴△AQE≌△QPF（AAS），∴AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得a＝；綜上所述：A、P、Q可以構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，a的值為或4．【點評】本題是一次函數綜合題，考查了余角的性質，全等三角形的判定和性質，待定系數法求函數解析式；利用全等三角形的性質得出關于a的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．25．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數y＝x的圖象向下平移2個單位長度得到．（1）求這個一次函數的解析式；（2）設一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，則在y軸上是否存在一點P，使得∠ABO＝2∠BPA，如果存在，請求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）若一次函數y＝mx﹣9m（m≠0）的圖象與一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象交于點C，與x軸交于點D，當∠OAB+∠ODC＝45°時，求m的值．【分析】（1）根據一次函數平移特點求出一次函數解析式即可；（2）先根據題意畫出圖形，求出A（4，0），（﹣2，0），得出AO＝4，BO＝2，求出，然后分兩種情況求出點P的坐標即可；（3）根據題意畫出圖形，過點D作DH⊥BA于點H，過點C作CG⊥x軸于點G，證明△AOB∽△AGC∽△AHD，求出AH＝2DH，在Rt△ADH中，根據勾股定理求出，，根據等腰三角形的性質求出，得出，根據相似三角形的性質，求出CG＝1，AG＝2，求出點C的坐標，將點C的坐標代入函數解析式即可求出m的值；求出直線與y軸的交點E，作點E關于x軸的對稱點F，連接DF，交直線于點C'，此時直線DE，DF關于x軸對稱，根據對稱性得出∠ODC＝∠ODC'，證明∠OAB+∠ODC'＝45°，得出點C'也滿足題意，將F（0，﹣3）代入求出此時m的值即可．【解答】解：（1）∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數的圖象向下平移2個單位長度得到，∴這個一次函數的解析式為；（2）存在；理由如下：∵一次函數的與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴A（4，0），（﹣2，0），∴AO＝4，BO＝2，∴，當點P在點B下方時，∵∠ABO＝2∠BPA，∠ABO＝∠ABP+∠BAP，∴∠ABP＝∠BAP，∴，∴點；當點P'在點B上方時，∵∠APB＝∠AP'B，∴AP＝AP'，∵AO⊥PP'，∴，∴點；綜上分析可知，點P的坐標為：或．（3）直線與x軸，y軸的兩個交點坐標分別為：A（4，0），B（0，﹣2），∵y＝mx﹣9m＝m（x﹣9）∴當x＝9時，y＝0，∴一次函數y＝mx﹣9m（m≠0）的圖象一定經過點D（9，0），∴AD＝OD﹣OA＝5，過點D作DH⊥BA于點H，過點C作CG⊥x軸于點G，∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠AGC＝∠AHD＝90°，∴△AOB∽△AGC∽△AHD，∴，即，即AH＝2DH，在Rt△ADH中，根據勾股定理得：DH2+AH2＝AD2＝52＝25，∴DH2+（2DH）2＝25，解得：或（舍去），∴，∵∠OAB+∠ODC＝∠2+∠3＝∠4＝45°，∴∠5＝90°﹣∠4＝45°，∴∠4＝∠5，∴，∴，∵△AOB∽△AGC，∴，即，解得：CG＝1，AG＝2，∴OG＝AO+AG＝6，∴點C的坐標為（6，1），把（6，1）代入y＝mx﹣9m（m≠0）得：6m﹣9m＝1，解得：；∴直線CD解析式為，把x＝0代入得：y＝3，∴點E的坐標為（0，3），則點E關于x軸的對稱點F（0，﹣3），連接DF，交直線于點C'，此時直線DE，DF關于x軸對稱，∴∠ODC＝∠ODC'，∴此時∠OAB+∠ODC'＝45°，∴點C'也滿足題意，把F（0，﹣3）代入y＝mx﹣9m（m≠0）得：﹣9m＝﹣3，解得：；綜上分析可知，m的值為或．【點評】本題主要考查了一次函數的平移，求一次函數解析式，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，軸對稱的性質，解題的關鍵是根據題意作出圖形，數形結合．26．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B．（1）求直線l2的解析式；（2）過動點P（n，0）且垂直于x軸的直線與l1，l2的交點分別為M，N，當點M位于點N上方時．①請直接寫出n的取值范圍n＞1；②若MN＝AB，求點M的坐標．【分析】（1）先求出點C的坐標，然后根據待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）①根據當點M、N在點C右邊時，點M位于點N上方，寫出n的取值范圍即可；②先求出點B的坐標，用n表示出點M、N的坐標，然后根據MN＝AB列出關于n的方程，解方程得出n的值，即可得出答案．【解答】解：（1）把C（1，m）代入l1：y＝x+3得：m＝1+3＝4，∴點C的坐標為（1，4），設直線l2的解析式為y＝kx+b（