專題1.3 線段的垂直平分線（學(xué)生版）

專題1.3線段的垂直平分線1.理解線段垂直平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算；4.理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題；5.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.應(yīng)用：常用來(lái)證明兩條線段相等線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.應(yīng)用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上【知識(shí)拓展1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度例1．（2022春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．若的周長(zhǎng)是，，則的周長(zhǎng)是___________．【即學(xué)即練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）如圖，在中，垂直平分，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)為______．【知識(shí)拓展2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度例2．（2022春·山西臨汾·八年級(jí)期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【知識(shí)拓展3】垂直平分線的判定例3．32．（2022春·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┬≤娮隽艘粋€(gè)如圖所示的風(fēng)箏，其中，，則是的______線．【即學(xué)即練3】3．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，與交于O，．求證：(1)；(2)點(diǎn)O在線段的垂直平分線上．【知識(shí)拓展4】復(fù)雜的尺規(guī)作圖例4．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）我們規(guī)定：在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A以直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)，稱作點(diǎn)A的“一次對(duì)稱點(diǎn)”，將一次對(duì)稱點(diǎn)再以直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)，稱作點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”．(1)如圖1，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，并說(shuō)出以為頂點(diǎn)的三角形的形狀；(2)如圖2，已知直線與直線的夾角是，點(diǎn)A在直線上，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，并說(shuō)出以為頂點(diǎn)的三角形的形狀；(3)如圖3，如果“二次對(duì)稱點(diǎn)”落在上，且點(diǎn)A在直線上，請(qǐng)依題意畫出直線，保留作圖痕跡．【即學(xué)即練4】4．（北京市燕山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷）下面是小青設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線，使得．作法：如圖，①在直線l上取點(diǎn)A，連接；②作線段的垂直平分線，分別交直線l，直線于點(diǎn)B，O；③以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線于另一點(diǎn)Q；④作直線．所以直線就是所求作的直線．根據(jù)小青設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：連接，∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)O，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）又∵，______，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）∴，∴．【知識(shí)拓展5】線段垂直平分線的綜合運(yùn)用例5．（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，與相交于點(diǎn)F，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【即學(xué)即練5】5．（2022春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰的角平分線，，，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，過(guò)點(diǎn)C作的平行線，兩線交于點(diǎn)G．與交于E，與交于F，連接，點(diǎn)N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤其中正確的是________（填寫番號(hào)）知識(shí)點(diǎn)02三角形的垂直平分線【知識(shí)點(diǎn)】1.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外.2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.【知識(shí)拓展1】三角形的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）如圖，是三條直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路交叉點(diǎn)的距離都相等，則可供選擇的地址有（

）．A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【即學(xué)即練1】1．（2022春·廈門·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、表示三個(gè)居民小區(qū)，為了居民生活的方便，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)生活超市，使它到這三個(gè)居民小區(qū)的距離相等，那么生活超市應(yīng)建在（）A．，兩邊中線的交點(diǎn)處B．，兩邊高線的交點(diǎn)處C．與這兩個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處D．，兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【知識(shí)拓展2】三角形的垂直平分線的相關(guān)計(jì)算與證明例2．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，的垂直平分線相交于點(diǎn)，若等于，則___________．【即學(xué)即練2】2．（2022春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O在的垂直平分線上．【知識(shí)拓展3】例3．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)期末）如圖，正方形紙片：①先對(duì)折使與重合，得到折痕；②折疊紙片，使得點(diǎn)A落在的點(diǎn)H上，沿和剪下．則判定為等邊三角形的依據(jù)是（

）A．三邊都相等的三角形是等邊三角形 B．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形C．有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形 D．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【即學(xué)即練3】3．（2022春·天津·八年級(jí)天津市第五十五中學(xué)期末）有一張長(zhǎng)方形紙片，按下面步驟進(jìn)行折疊：第一步：如圖①，點(diǎn)E在邊上，沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處；第二步：如圖②，沿折疊，使點(diǎn)A落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，折痕為．有下列結(jié)論：（）①是等邊三角形

②

③垂直平分A．只有②正確 B．只有①②正確C．只有①③正確 D．①②③都正確題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022春·河北秦皇島·八年級(jí)期末）三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)2.（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，在中，，分別以A、C為圓心，大于長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接，與、分別相交于點(diǎn)D、E，連接，當(dāng)，時(shí)，周長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙三家分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建造一個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，使得三家到核酸檢測(cè)點(diǎn)的距離相等，則核酸檢測(cè)點(diǎn)應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)4．（2022春·遼寧撫順·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，已知與的周長(zhǎng)分別為19和11，則的長(zhǎng)等于______．5．（2022春·上海徐匯·八年級(jí)上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校M足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點(diǎn)在______上．6．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，中，，，．(1)作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，求的度數(shù)；(3)的周長(zhǎng)為______．7．（2022春·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無(wú)刻度直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖（1）中畫一個(gè)角，使點(diǎn)或點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且為這個(gè)角的一邊；(2)在圖（2）中畫出線段的垂直平分線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫圖的方法（不要求證明）．8．（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，D為BC的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E，，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：AB垂直平分DF．9．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為、，一輛汽車從原點(diǎn)出發(fā)，在軸上行駛．(1)汽車行駛到什么位置時(shí)離村莊最近？寫出此位置的坐標(biāo)．(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出汽車到兩村莊的距離相等的位置，并求出此時(shí)的距離和．10．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，直線和直線分別是線段和線段的垂直平分線，為交點(diǎn)．求證：點(diǎn)到點(diǎn)，，的距離相等．11.（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的；（要求：A與，B與，C與相對(duì)應(yīng)）(2)的面積是．(3)若有一格點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等（），則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)P共有個(gè)；(4)在直線l上找一點(diǎn)Q，使的值最?。ㄒ螅簣D中標(biāo)注點(diǎn)Q，要有作圖痕跡）題組B能力提升練1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）如圖，D是內(nèi)部的一點(diǎn)，，．下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)E在線段的垂互平分線上；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022春·遼寧盤錦·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，三角形中，的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個(gè)結(jié)論：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，中，，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，若等于，則______．（用含的式子表示）5．（2022春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分，下列結(jié)論：點(diǎn)在的垂直平分線上；；；圖中的三個(gè)三角形都是等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．6．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于，交于，，則的周長(zhǎng)為_______．7．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）已知，如圖，在中，是的平分線，且，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．以直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)直接寫出與的位置關(guān)系；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上，以為邊作等邊，點(diǎn)P在x軸正半軸上，以為邊在第一象限內(nèi)作等邊，連并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．(1)證明：(2)求的度數(shù)(3)連接，求證：垂直平分9．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)期中）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．(1)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，D為上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E關(guān)于直線對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，判斷點(diǎn)B是否為點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點(diǎn)Q是射線上一點(diǎn)，且點(diǎn)D，Q關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”為點(diǎn)C，請(qǐng)利用尺規(guī)在圖2中確定點(diǎn)Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線l“等角點(diǎn)”，連接，，當(dāng)時(shí)，的值為．10．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點(diǎn)Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q滿足，則稱點(diǎn)Q為線段的“中垂點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”．(1)如圖1，，下列各點(diǎn)中，線段的中垂點(diǎn)是__________(2)如圖2，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，若為線段OA的“完美中垂點(diǎn)”，則線段OQ的兩個(gè)“完美中垂點(diǎn)”的坐標(biāo)是______和________，兩者的距離是________(3)如圖3，若點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”，點(diǎn)在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點(diǎn)”M，直接寫出________（用含m的式子表示）．并求出．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“等形”，連接等形的對(duì)角線、，下列結(jié)論：①；②垂直平分；③四邊形的面積；④若，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④2．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．3．（2022秋·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B、C），過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，的垂直平分線分別交于點(diǎn)F、G，連接．當(dāng)點(diǎn)D在邊上移動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)結(jié)論：①一定為等腰三角形；②一定為等邊三角形；③可能為等腰三角形．其中正確的有__________．（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）4．（2022春·四川廣安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中．，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)E在線段的垂直平分線上：③；④；⑤，其中正確的有___________（填結(jié)論正確的序號(hào)）．5．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)期中）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得