專題09 比例線段-解析版

專題09比例線段★知識點1：成比例線段的概念1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．典例分析【例1】（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）下列各組種的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個數(shù)之積是否相等進行判斷．【詳解】解：A.，所以四條線段不成比例，故A選項不符合題意；B.，所以四條線段不成比例，故B選項不符合題意；C.，所以四條線段成比例，故C選項符合題意；D.，所以四條線段不成比例，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查成比例線段的概念，關鍵是理解比例線段的定義，兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．【例2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如果，且是和的比例中項，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由b是a、c的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，即可求得，又由，即可求得答案．【詳解】解：∵b是a、c的比例中項，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了比例線段，正確把握比例中項的定義是解題關鍵．【即學即練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）線段，，，的長度如下：①，，，；②，，，；③，，，；以上組數(shù)據(jù)中，能使，，，構(gòu)成比例線段的有．（

）A．組 B．組 C．組 D．組【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．【詳解】解：①，即，故成比例線段；②，即，故不成比例線段；③，，，即，故成比例線段；∴成比例線段有2組，故選B．【點睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．2．（2022秋·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）下列四條線段成比例的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的概念，將所給四條線段按照從小到大的順序排列，用最小的乘以最大的，中間兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項錯誤；B、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項正確；C、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項錯誤；D、按照從小到大排列：，，，，則，故本選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，判斷四條線段是否成比例，必須將所給線段按照一定的順序重排，通常按照從小到大即可，在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，中間兩條相乘，看它們的積是否相等即可確定．★知識點2：比例的性質(zhì)比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當時，.典例分析【例1】（2022秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學?？计谥校┮阎瑒t的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把化為，再化簡即可得到答案．【詳解】解：，，，．故選：B．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)，把化為是解題關鍵．【例2】（2022秋·安徽滁州·九年級?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件得出，，，再代入中進行約分化簡即可求解．【詳解】，，，，，故選．【點睛】本題考查了比例性質(zhì)的運用，分式的化簡求值，掌握比例的性質(zhì)是解答本題的關鍵．即學即練1．（2022秋·安徽滁州·九年級校考期中）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得到，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：∵∴，∵∴故選：C．【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，解題的關鍵在于熟知如果且，那么．2．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，則的值是（）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】設，，再代入求出答案即可．【詳解】解：，設，，，故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關鍵，如果，那么．★知識點3線段的比典例分析【例1】（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考階段練習）若a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的定義：對于四條線段，如果兩條線段的比與另外兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段成比例，得出，將，及的值代入即可求得．【詳解】解：∵，，，成比例線段，∴可得：，又∵，，，∴，解得：，∴線段的長為．故選：B【點睛】本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的定義是解本題的關鍵．【例2】（2022·浙江·九年級專題練習）在比例尺為1：10000的地圖上，相距4cm的A、B兩地的實際距離是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【答案】A【分析】設AB的實際距離為xcm，根據(jù)比例尺的定義得到4：x＝1：10000，利用比例的性質(zhì)求得x的值，注意單位統(tǒng)一．【詳解】解：設AB的實際距離為xcm，∵比例尺為1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故選：A．【點睛】考查了比例線段，用到的知識點是比例線段的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)比例線段的性質(zhì)列出算式，注意單位的統(tǒng)一．即學即練1．（2021春·全國·九年級專題練習）三條線段、、，滿足，那么（

）A．1：6 B．6：1 C．1：3 D．3：1【答案】D【分析】根據(jù)線段的比例關系，將原式寫成，求出比值，得到比例關系．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴原式．故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，解題的關鍵是掌握線段的比例關系．2．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）已知點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，線段AB的長為4，則線段AC的長是（

）A．2－2 B．6－2 C．－1 D．3－【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割比的定義：較長的線段與整個線段的比值是，進行求解．【詳解】解：，，．故選：A．【點睛】本題考查黃金分割點，解題的關鍵是掌握黃金分割點的定義．★知識點4由平行線判斷成比例的線段平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線（不少于三條）所截，截得的對應線段成比例。典例分析【例1】（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項錯誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項錯誤，D選項正確；C．由，得，故C選項錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例．【例2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．即學即練1．（2023·廣東佛山·佛山市華英學校?？既＃┤鐖D，，點B，E分別在上，，則長為（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線間分線段成比例得到，解出答案．【詳解】，，，即，解得．故選：D．【點睛】本題考查了平行線間分線段成比例，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2022秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學校考期中）如圖，，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．★知識點5黃金分割若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）典例分析【例1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識，動物學家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為．這個數(shù)據(jù)體現(xiàn)了數(shù)學中的（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．黃金分割【答案】D【分析】利用黃金分割比的意義解答即可．【詳解】解：∵黃金分割比為：，∴動物學家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為，體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割，故選．【點睛】本題考查了數(shù)學知識與自然界的聯(lián)系，熟練掌握線段的黃金分割比是解題的關鍵．【例2】（2022秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，樂器上的一根弦，兩個端點、固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則的長為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分數(shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解∶解：弦，點C是靠近點B的黃金分割點，設，則，∴，解方程得，，點D是靠近點A的黃金分割點，設，則，∴，解方程得，，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關鍵．即學即練1．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形滿足，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形是黃金矩形，對角線，相交于且，則關于黃金矩形，下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．矩形的周長【答案】C【分析】計算得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)求得各項，即可判斷．【詳解】解：∵，且，∴，∵四邊形是矩形，∴，故選項A正確，不符合題意；∴，故選項B正確，不符合題意；∴，故選項C錯誤，符合題意；∴矩形的周長，故選項D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．2．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個找線段的黃金分割點的方法．如圖所示以線段為邊作正方形，取的中點，連接，延長至，使得，以為邊作正方形，則點即是線段的黃金分割點．若記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的比值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是的黃金分割點求出，求出，，再得出答案即可．【詳解】解：是的黃金分割點，，，，，即，故選：D．【點睛】本題考查了黃金分割，能熟記黃金分割的性質(zhì)是解此題的關鍵．1．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考一模）如圖是某位同學用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數(shù)是（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】設P點表示的數(shù)為x，則根據(jù)平行線分線段成比例可得，解分式方程再進行檢驗，符合題意即可解答．【詳解】解：設P點表示的數(shù)為x，則根據(jù)平行線分線段成比例可得：解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合實際意義，即P點表示的數(shù)為．故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例和分式方程，解題的關鍵是根據(jù)平行線分線段成比例列出分式方程．2．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，逐項判斷，即可．【詳解】A、，變形為：，不符合題意；B、，變形為：，符合題意；C、，變形為：，不符合題意；D、，變形為：，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題的關鍵是掌握比例式與乘積式的互換．3．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）已知，則等于（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的式子化成，再進行通分，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2022秋·廣西來賓·九年級?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知方程得到，再利用計算即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】此題考查了分式求值，正確掌握分式的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2021春·江蘇·九年級專題練習）我們把兩條鄰邊中較短邊與較長邊的比值等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．若矩形的兩邊長分別為a，b，則下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形的是()A．a(chǎn)＝4，b＝＋2 B．a(chǎn)＝4，b＝－2 C．a(chǎn)＝2，b＝＋2 D．a(chǎn)＝2，b＝－1【答案】D【詳解】分析：根據(jù)黃金矩形的定義判斷即可．解：∵寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，∴，∴a=2，b=－1，能構(gòu)成黃金矩形，故選D．點睛：本題主要考查了黃金矩形，記住定義是解題的關鍵．6．（2022秋·貴州銅仁·九年級?？计谥校┤鐖D，為了測量一棟樓的高度，小明同學先在操場上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測得，，如果小明眼睛距地面高度，則樓的高度為（

）A．18米 B．24米 C．32米 D．36米【答案】C【分析】設關于的對稱點為，根據(jù)光線的反射可知，延長、相交于點，連接并延長交于點，先根據(jù)鏡面反射的基本性質(zhì)，得出平行，再根據(jù)平行線分線段成比例即可解答．【詳解】解：設關于的對稱點為，根據(jù)光線的反射可知，延長、相交于點，連接并延長交于點，由題意可知且、，∴，∴，即：，∴，∴，答：樓的高度為米．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的應用、鏡面反射的基本性質(zhì)，準確作出輔助線是關鍵．7．（2022春·九年級課時練習）在中，點、分別在邊、上，，那么下列條件中能夠判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可先假設，由平行得出其對應線段成比例，進而可得出結(jié)論．【詳解】如圖，可假設，∵∴，故A選項錯誤，，故D選項錯誤；反過來，當時，不能得到，故B選項錯誤；當時，能得到，故C選項正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠熟練掌握并運用．8．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是平行四邊形對角線上的點，若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可證，從而可求，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握性質(zhì)及定理是解題的關鍵．9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學校考模擬預測）如圖，在四邊形中，，，，，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可，三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．【詳解】解：，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，并靈活進行運用．10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風華中學?？既＃┤鐖D，中，為邊上一點，過作交于，為的中點，作交于，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應邊成比例逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點，，，故該選項正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當為中點時，即時，由于題中并未給出相關條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點的定義等知識，熟記相關幾何性質(zhì)是解決問題的關鍵．11．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∴，不符合題意；B、∵，∴，∴，不符合題意；C、∵，∴，∴，不符合題意；D、∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．12．（2023秋·海南海口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，列比例式即可求出的值．【詳解】，．，

．故選：D【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握這個定理，正確的列出比例式是解題的關鍵．13．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，按如下步驟作圖：①連接，相交于A點O；②分別以點B，C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E；③連接交于點F；④連接交于點G．若，則的長度為（）

A