福建省廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)20232024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試姓名：__________班級(jí)：__________座號(hào)：__________考場(chǎng)考號(hào)：__________.考試時(shí)間：120分鐘；總分150分.注意事項(xiàng)：?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）

中，，且，則（）A.2B.1C.

平分圓，則（）A.

中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.發(fā)出，被平面反射，到達(dá)點(diǎn)被吸收，那么光線自點(diǎn)到點(diǎn)所走的距離是（）A.B.12C.

6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作（圓錐曲線論）是古代世界的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且.動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為，若，則的面積為（）A.B.4C.

的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.，有以下說法，其中錯(cuò)誤的有（）軸上的截距為4的一個(gè)方向向量為則下列說法正確的有（）A.B.C.D.在上投影向量的長(zhǎng)度為是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說法正確的有（）是遞減數(shù)列C.時(shí)，取得最大值芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達(dá)芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為2到直線的距離是與所成角的正切值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中，16題第一空2分，第二空3分.的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程__________.中，如果前5項(xiàng)的和為，那么等于__________.與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于2，化簡(jiǎn)得曲線，則的最大值為__________.三?解答題?證明步驟或演算步驟..（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.，前項(xiàng)和為，且.（1）求及的值；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和.，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線右上方.（1）求圓的方程；（2）問題：是否存在__________的直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.請(qǐng)從下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并進(jìn)行解答.①過點(diǎn)；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是1.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.21.如圖，在三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面（2）求平面與平面的夾角的余弦值.的離心率為，直線過橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)；若垂直于軸，則.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)在定直線上.廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)20232024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試參考答案：1.D【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決【詳解】由四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線可得，解之得2.A【分析】根據(jù)給定條件推導(dǎo)出數(shù)列的周期，再借助周期性計(jì)算得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，，所以.故選：3.D【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D4.D【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算表示作答.【詳解】三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，如圖，.故選：D5.C【分析】求出關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接求出距離，就是光線所行走的路程，計(jì)算可得答案.【詳解】由題意，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為則故答案為：C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查空間兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象推理能力.（2）空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.6.D【分析】設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式和已知條件求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，再由圓心距與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而的圓心為，半徑為，由于和的距離，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交.7.A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，解得，所以，點(diǎn)到的距離為，所以.法二：因?yàn)?，所以，所以，?連接，又，所以，所以.故選：A.

8.C【分析】先根據(jù)題意畫出橢圓的圖像，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用得到離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限的點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，于是.又，則由，得，即，于是.所以橢圓的離心率.故選：C.

，令，求得斜率判斷；，所以，因?yàn)閮A斜角的范圍是，所以傾斜角為，故錯(cuò)誤；，令，得，所以在軸上的截距為4，故錯(cuò)誤；，所以原點(diǎn)到直線的距離為，故正確；，所以，則直線的一個(gè)方向向量為，故錯(cuò)誤.10.ACD【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.【詳解】對(duì)于，由，則，故A正確；對(duì)于，由，因?yàn)椋詢上蛄匡@然不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于在上投影向量的長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ACD.11.ACD【分析】由等差數(shù)列的定義可判斷A；求出可判斷B?C；根據(jù)的表達(dá)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D正確.12.BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B正確；對(duì)于C：，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；13.【分析】不妨設(shè)雙曲線方程焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)漸近線方程以及的關(guān)系，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則故答案為：14.4【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列前5項(xiàng)的和，所以，所以故答案為：4.15.【分析】根據(jù)題意分析可得曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，且，所以曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，直線過定點(diǎn)，斜率為，如圖所示：當(dāng)直線過時(shí)，可得；當(dāng)直線與曲線相切，則，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.【分析】根據(jù)軌跡方程求出的取值范圍，再求最值即可得解.【詳解】由動(dòng)點(diǎn)滿足的方程為，所以，即，解得，故，故，即的最大值為.17.（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為1，可求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18.（1）；（2）.【解析】（1）利用等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）可得，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)該等差數(shù)列為，首項(xiàng)為，公差為，則.由已知得，得，由，得（負(fù)值舍去）..（2）由（1）得，則，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，19.（1）（2）選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長(zhǎng)得圓心到直線的距離，選①，檢驗(yàn)斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設(shè)出直線方程后由點(diǎn)到直線距離公式求解；選②，分類討論，截距為0，直線過原點(diǎn)時(shí)檢驗(yàn)可得，截距不為0時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求解；選③，直接由點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】（1）直線與軸交點(diǎn)為，依題意設(shè)所求圓的圓心的坐標(biāo)為，則，解得或（舍去）.故所求圓的方程為；（2）由題意易得圓心到直線的距離為選①：直線過點(diǎn).若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為或選②：直線在的截距都為0，則直線過原點(diǎn)即圓心，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設(shè)直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得因?yàn)?，所以方程無解，所以不存在符合題設(shè)的直線.20.（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)條件有化簡(jiǎn)得答案.（2）有拋物線過交點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式有，然后設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出代入，可計(jì)算出，得到直線方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足：.化簡(jiǎn)得曲線的方程為.（2）由題意得，直線的方程為，設(shè).由得.因?yàn)?，故，所?由題設(shè)知，解得或.因此直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線與方程?直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理，可得，再結(jié)合線面垂直判定定理，可得答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面角與法向量夾角的關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）在平面內(nèi)，過作，且，則，在中，，易知，即，平面平面，，且平面平面，平面平面，平面.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則在平面中，取，設(shè)該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個(gè)法向量，在平面中，取，設(shè)該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個(gè)法向量，則