湖南省衡陽(yáng)縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試卷A卷

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試卷A卷【滿分：150分】一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，若，則()A.1 B.2 C.3 D.42.已知，，且，則向量a與b的夾角為()A. B. C. D.3.已知定點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)取最小值時(shí)，設(shè)的面積為S，則()A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為.若，，則()A.3 B.4 C.5 D.75.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，則C的方程為()A. B. C. D.6.已知m是方程的一個(gè)根，則()A.1 B.2 C.3 D.57.已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，若不等式有解，則t的取值范圍是()A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.是等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是().A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則()A.曲線在點(diǎn)處的切線方程為B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.，都能使方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根D.曲線是中心對(duì)稱圖形11.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，則()A.B.PB與平面ABCD所成的角為C.異面直線AB與PC所成角的余弦值為D.平面PAB與平面ABCD所成的二面角為12.已知M，N是拋物線上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，下列說法正確的是()A.B.若，則直線MN恒過定點(diǎn)C.若的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為D.若，則直線MN的斜率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數(shù)列中，若，，且公比為整數(shù)，則__________.14.已知直線是曲線在點(diǎn)處的切線方程，則_________.15.寫出與兩圓，均相切的一條直線方程為___________.16.在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上，，點(diǎn)G，H為棱上的動(dòng)點(diǎn).若平面平面，，則__________.四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.（12分）已知橢圓的離心率為，依次連接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)F為E的右焦點(diǎn)，，直線l交E于P，Q（均不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)，直線l，AP，AQ的斜率分別為，，若，求的周長(zhǎng).19.（12分）已知函數(shù)，.（1）若的極大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求證：.20.（12分）如圖1，菱形ABCD中，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上（不含端點(diǎn)），且，沿EF將向上折起得到，使得平面平面BCDEF，如圖2所示.（1）當(dāng)為何值時(shí)，；（2）若直線PC與平面BCDEF所成角的正切值為，求平面PEF與平面PBD所成角的大小.21.（12分）設(shè)A，B為雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形.（1）求雙曲線C的離心率；（2）已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍.22.（12分）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且，證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

答案以及解析1.答案：D解析：因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，所以，因?yàn)?，所以，解得，故選D.2.答案：D解析：，，，.又，向量a與b的夾角為.故選D.3.答案：D解析：圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為2.易知過原點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為，則.故選D.4.答案：C解析：法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，，，所以，解得.故選C.法二：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，且公比為，所以，即，解得.故選C.5.答案：B解析：直線為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線C的方程為，則右焦點(diǎn)為，故右焦點(diǎn)F到直線的距離，，，，故C的方程為.故選B.6.答案：B解析：，設(shè)，則恒成立，故單調(diào)遞增，由得，即.因?yàn)閙是方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，故選B.7.答案：D解析：設(shè)，，，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得，，兩式相減可得.又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以所以.所以，.又直線l與OM的斜率之積為，所以，即，所以橢圓C的離心率.故選D.8.答案：C解析：由題可得：，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以t的取值范圍是.故選：C.9.答案：ABD解析：B：由可得，故B正確.A：由可得，由可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確.C：，所以，故C不正確.D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，則，故D正確.故選ABD.10.答案：BCD解析：由題可得，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)誤.令，得或；令，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確.結(jié)合B選項(xiàng)，，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，都能使方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故C正確.，，（另解：，令，則是R上的奇函數(shù)，且），曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D正確.故選BCD.11.答案：AC解析：設(shè)，則.因?yàn)?，所以由余弦定理，?所以，所以.又底面ABCD，所以DA，DB，DP三條直線兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，.所以，所以，即，故A正確.易知平面ABCD的一個(gè)法向量為.設(shè)直線PB與平面ABCD所成的角為，則，所以直線PB與平面ABCD所成的角為，故B錯(cuò)誤.設(shè)直線AB與PC所成的角為，則，故C正確.設(shè)平面PAB的法向量為，則即取，則，，所以，所以，故D錯(cuò)誤.選AC.12.答案：AD解析：根據(jù)拋物線的定義知，得，故A選項(xiàng)正確；設(shè)，，因?yàn)橹本€MN斜率必存在，設(shè)直線MN的方程為，代入得，，，，所以，解得，所以直線MN恒過定點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；外接圓圓心的縱坐標(biāo)為，外接圓半徑為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋灾本€MN過焦點(diǎn)F，且，設(shè)直線MN的傾斜角為，由拋物線性質(zhì)知MN的斜率為互為相反數(shù)的兩個(gè)值，如圖，過M，N分別向準(zhǔn)線作垂線MA，NB，過N向MA作垂線NC，設(shè)，則，，，，，，，故D選項(xiàng)正確.故選AD.一題多解：對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以?又，，解得，.不妨設(shè)，由，得，，則，，.根據(jù)對(duì)稱性知，故D正確.13.答案：512解析：由得，，故.14.答案：e解析：由題設(shè)，且，則，所以切線方程為，即，所以，故.故答案為：e.15.答案：或或(答出其中一個(gè)即可)解析：由，得圓心為，半徑為1.由得，圓心為，半徑為4.所以圓心距為，故兩圓外切，如圖.易知公切線斜率存在，設(shè)其方程為，所以，解得，或或，所以公切線方程為或或.16.答案：解析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)，由，得.設(shè)平面ACH的一個(gè)法向量為，，，則取，得.設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，，，則取，得.因?yàn)槠矫嫫矫鍭CH，所以，所以，解得.17.答案：（1）證明見解析（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，解析：（1）證明：，，①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由得.當(dāng)時(shí)，滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.，為常數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.18.答案：(1)；(2)解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，故，因?yàn)橐来芜B接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為，故，所以，故，故橢圓方程為：.（2）設(shè)直線，，則，，故，故，由可得，故，整理得到，又，故，故或，此時(shí)均滿足.若，則直線，此時(shí)直線恒過，與題設(shè)矛盾，若，則直線，此時(shí)直線恒過，而為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)為，故的周長(zhǎng)為.19.答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故實(shí)數(shù)a的值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，故要證，即證.令，則，.令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，使得，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)?，即，所以，所以，即，故得證.20.答案：（1）（2）解析：（1）菱形ABCD中，，，均是等邊三角形.，，是等邊三角形.取EF的中點(diǎn)O，連接PO，OC，則，.平面平面BCDEF，平面平面，平面，.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則，，，，，，，，.，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，.（2）平面，為PC與平面BCDEF所成角，，解得.由（1）知平面PEF，為平面PEF的一個(gè)法向量.設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，，，則取，得，，平面PEF與平面PBD所成角為.21.答案：（1）2（2）或解析：（1）易知右焦點(diǎn)，將代入，得，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)，即，整理得，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得，解得或（舍去），所以雙曲線C的離心率為2.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，所以雙曲線的方程為.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消y得，設(shè)，，則，，則，因?yàn)橹本€l過右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以，，解得，直線，則，同理可求得，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，即，所以，所以，即，解得或.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)不妨設(shè)，，此時(shí)直線，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，解得或.綜上所述，t的取值范圍為或.22.答案：(1)答案見解析(2)證明見解析解析：(1)由題意得函