負(fù)折射率材料完美透鏡

負(fù)折射率材料完美透鏡

1帶負(fù)折射材料的左、綜合材料1968年，前蘇聯(lián)科學(xué)家v.g.在一篇題為《反射光刻》的文章中進行了理論分析。當(dāng)介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為負(fù)時（左材料），由于負(fù)折射，介質(zhì)質(zhì)呈現(xiàn)許多奇怪的性質(zhì)，如反多普勒效應(yīng)、反斯科爾法和反切倫科夫輻射。因為自然界沒有發(fā)現(xiàn)這類材料,這個主意很快就被人忘記了。最近已有文獻報道成功制備了負(fù)折射率的材料,這引起了全世界科學(xué)技術(shù)人員的極大興趣。這種具有負(fù)折射率的材料被稱為左手材料(left-handedmaterials,LHM)或是負(fù)折射率材料(negativerefractionmaterials,NRM)。Pendry對左手材料的進一步研究表明:一個無損耗的左手材料薄板可以實現(xiàn)對物體的完美成像。這樣的透鏡被稱為完美透鏡,它突破了傳統(tǒng)透鏡的最大分辨率受制于電磁波波長的局限。盡管Pendry的這一理論成果立即引起了較廣泛的爭議,但對此類材料的負(fù)折射率解讀卻很好地與已有的實驗數(shù)據(jù)吻合。本文第一節(jié)推導(dǎo)出電磁波在左右手材料界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù);第二節(jié)推導(dǎo)出由左右手材料構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣;第三節(jié)推導(dǎo)出了由左右手材料交替構(gòu)成的一維光子晶體的色散關(guān)系。2tm模的信號轉(zhuǎn)換規(guī)則研究TE模的電磁波從ε1>0,μ1>0的右手材料入射到ε2<0,μ2<0的左手材料時的反射和透射,如圖1所示。(a)TE模的入射波為:→Ei=?xei(kiyy+kizz)(1a)→Ηi=[?ykiz-?zkiy]1ωμ1ei(kiyy)+kizz(1b)E?i=x?ei(kiyy+kizz)(1a)H?i=[y?kiz?z?kiy]1ωμ1ei(kiyy)+kizz(1b)(b)其反射波為:→Er=?xRΤEei(kryy+krzz)(2a)→Ηr=[?ykrz-?zkry]RΤEωμ1ei(kryy+krzz)(2b)E?r=x?RTEei(kryy+krzz)(2a)H?r=[y?krz?z?kry]RTEωμ1ei(kryy+krzz)(2b)式(2a)、(2b)的RTE為反射系數(shù)。(c)其透射波位于區(qū)域Ⅱ(左性物質(zhì))中,即ε2<0,μ2<0,該透射波為:→Et=?xΤΤEei(ktyy+ktzz)(3a)→Ηt=[?yktz-?zkty]ΤΤEωμ2ei(ktyy+ktzz)(3b)E?t=x?TTEei(ktyy+ktzz)(3a)H?t=[y?ktz?z?kty]TTEωμ2ei(ktyy+ktzz)(3b)式(3a)、(3b)中的TTE為透射系數(shù)。利用邊界條件和入射波、反射波、及透射波在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的色散關(guān)系,可得到:kiy=kry=kty=ky,krz=-kiz=-klz(4)kiy=kry=kty=ky,krz=?kiz=?klz(4)式(4)中的klz=√ω2c2ε1μ1-k2y,定義k2z=√ω2c2ε2μ2-k2y,則:ΡΤE12=μ1k2zμ2klz(5a)ΤΤE=21+ΡΤE12(5b)RΤE=1-ΡΤE121+ΡΤE12(5c)同理可推導(dǎo)出TM模的電磁波在該界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù)為:ΡΤΜ12=ε1k2zε2klz(6a)RΤΜ=1-ΡΤΜ121+ΡΤΜ12(6b)ΤΤΜ=21+ΡΤΜ12(6c)為方便下一節(jié)推導(dǎo)雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣,對以上公式(5a)～(6c)略作處理。定義:k2i=ω2c2εiμi(i=1,2)n=n2n1=-√ε2μ2√ε1μ1μ12=1μ21=μ1μ2(負(fù)數(shù))ε12=1ε21=ε1ε2(負(fù)數(shù))?n=k2zklz=-√n2(k2lz+k2y)-k2yklz有了以上定義,式(5a)～(5c)可寫成如下式(7a)～(7c):ΡΤE12=μ1k2zμ2klz=μ12?n(正數(shù))(7a)RΤE=1-ΡΤE121+ΡΤE12=1-μ12?n1+μ12?n(7b)ΤΤE=21+ΡΤE12=21+μ12?n(7c)而公式(6a)～(6c)可寫成如下式(8a)～(8c):ΡΤΜ12=ε1k2zε2klz=ε12?n(正數(shù))(8a)RΤΜ=1-ΡΤΜ121+ΡΤE12=1-ε12?n1+ε12?n(8b)ΤΤΜ=21+ΡΤΜ12=21+ε12?n(8c)3雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣由文獻可知,對于圖2所示的雙層結(jié)構(gòu),其轉(zhuǎn)移矩陣可寫成如下形式:?Μ=(1tr*t*rt1t*)(9)圖2所示的雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣可以分解為兩類矩陣的乘積,即矩陣?Δij和矩陣?Π(Pi)。第一類矩陣?Δij將位于ni→nj界面左邊的電磁場幅值轉(zhuǎn)移到右邊。第二類矩陣?Π(Pi)是傳播矩陣,?Π(Pi)中的Pi是電磁場在ni→nj這個界面左邊自左向右傳播到達該界面時所累積下來的相位,Pi=kizdi;對法向入射波而言,Ρi=nidiωc。矩陣?Δij和?Π(Pi)的形式如下:矩陣?Δij=(δ+ijδ-ijδ-ijδ+ij)(10)Π(Ρi)=(eiΡi00e-ipi)(11)式(10)中的δ+ij和δ-ij要滿足如下關(guān)系:δ+ij=1tij(12a)δ-ij=rtij(12b)式(12)中的tij,r分別是電磁波經(jīng)過ni→nj這個界面的透射系數(shù)和反射系數(shù)。有了以上兩類矩陣?Δij和?Π(Pi),以及式(7a)～(8c)所給出的電磁波在左右手材料界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù),就比較易于推導(dǎo)出圖2所示的雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣。圖2所示的雙層結(jié)構(gòu)有兩個界面:界面(ε1?μ1)→(ε2?μ2),對應(yīng)著?Δ12,和界面(ε2?μ2)→(ε1?μ1),對應(yīng)著?Δ21。該雙層結(jié)構(gòu)有兩段傳播距離,即d1和d2;在這兩段距離中,電磁波所累積的相位為Pi=kizdi,對法向入射波而言,Ρi=nidiωc。下面求解該雙層結(jié)構(gòu)對TE模電磁波的轉(zhuǎn)移矩陣。根據(jù)式(7a)～(7c)和式(12a)～(12b),可以定義:δ±12=12(1±μ12?n)(13)該雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣M可寫成:?Μ-1=?Π(p)?Δ12?Π(q)?Δ21(14)因我們在圖2所定義的?Μ是從左到右,而式(9)中所定義的?Μ是從右到左的(請參看式(20)),故式(14)寫為?Μ-1,由式(14)得到:?Μ=?Δ12?Π(-q)?Δ21?Π(-p)(15)由式(15)可以推導(dǎo)出:1t=Μ11=δ+12δ+21e-i(p+q)+δ-12δ-21e-i(p-q)(16a)rt=Μ21=δ-12δ+21e-i(p+q)+δ+12δ-21e-i(p-q)(16b)將δ+12=12(1±μ12?n)代入式(16a)～(16b),可得到該雙層結(jié)構(gòu)對TE模的電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù):tΤE=4μ12?nei(p+q)(1+μ12?n)2-(1-μ12?n)2ei2q(17a)rΤE=(1-μ212?n)2-(1-μ212?n)2ei2q(1+μ212?n)2-(1-μ212?n)2ei2q(17b)將式(17a)～(17b)中的tTE,rTE代入到式(9)中,就可以得到該雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣:?Μ=(1tΤErΤE?tΤE?rtΤE1tΤE)(18)同理可推導(dǎo)出該雙層結(jié)構(gòu)對TM模的電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù):tΤΜ=4ε12?nei(p+q)(1+ε12?n)2-(1-ε12?n)2ei2q(19a)rΤΜ=(1-ε212?n)2-(1-ε212?n)2ei2q(1+ε212?n)2-(1-ε212?n)2ei2q(19b)4光子晶體的t利用該雙層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣,可以推導(dǎo)出由左右手材料交替構(gòu)成的一維光子晶體的色散關(guān)系。由圖2可知,轉(zhuǎn)移矩陣?Μ的定義為:u(o)=?Μu(a)(20)式(20)中:u(o)=(1r)?u(a)=(to)??Μ=(1tr*t*rt1t*)且:det|?Μ|=1因為由能量守恒定律有|r|2+|t|2=1。由式(20)可導(dǎo)出矩陣?Μ的本征值方程為:μ2-2μRe{1t}+1=0(21)式(21)中的兩個解μ+μ-=det|?Μ|=1考慮由無限個圖2所示的雙層結(jié)構(gòu)周期性排列而形成的一維光子晶體,由物理學(xué)的布洛赫定理可知:?Μ?UB=μ±B?UB=e±iβ?UB(22)式(22)中的β為布洛赫相位,?UB為布洛赫波函數(shù),μ±B=e±iβ為布洛赫波函數(shù)的本征值,μ±B也應(yīng)滿足式(21),將μ±B代入式(21)得到:Re{1t}=cosβ(23)將式(17a)中的tTE代入式(23),或(18a)中的tTM代入式(23)可得到該一維光子晶體的色散關(guān)系為:TE模:cospcosq-?n2+μ2212?nμ21sinpsinq=cosβ(24a)TM模:cospcosq-