電磁場(chǎng)與電磁波(正弦平面電磁波在無(wú)界空間中的傳播)

第六章正弦平面電磁波在無(wú)界空間中的傳播6.1正弦電磁場(chǎng)6.2理想介質(zhì)中的均勻平面波6.3電磁波的極化6.4媒質(zhì)的損耗及分類6.5波在有耗媒質(zhì)中的傳播6.6電磁波的群速與色散失真6.1正弦電磁場(chǎng)

在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量可以寫成（6.1.1a）（6.1.1b）6.1.1正弦電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示方法

正弦電磁場(chǎng)可用歐拉公式

將其表示為復(fù)數(shù)矢量形式。以電場(chǎng)強(qiáng)度為例，電場(chǎng)強(qiáng)度的各分量分別可表為其中

分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此

6.1.26.1.36.1.4稱為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量是一個(gè)為簡(jiǎn)化正弦場(chǎng)計(jì)算的表示符號(hào)，一般不能用三維空間中一個(gè)矢量來(lái)表示，也不能寫成指數(shù)形式。其中

電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量對(duì)時(shí)間的微分和積分可表示為

電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量的散度和旋度可表示為

同樣，其它的正弦場(chǎng)矢量可用相應(yīng)的復(fù)矢量表示，正弦源和也可表為

6.1.86.1.76.1.66.1.5例6.1.1將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值改寫為復(fù)數(shù)；將場(chǎng)的復(fù)矢量寫為瞬時(shí)值。

解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則

(1)(2)而故

（2）因?yàn)?/p>

故6.1.2麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式

正弦穩(wěn)態(tài)電磁場(chǎng)中，場(chǎng)和源都用相應(yīng)的復(fù)矢量和復(fù)數(shù)表示，則麥克斯韋方程組可表為去掉時(shí)間因子ejωt，再考慮到取實(shí)部的運(yùn)算和對(duì)空間坐標(biāo)的運(yùn)算可交換秩序，麥克斯韋方程組可簡(jiǎn)化為（6.1.9b）

（6.1.9c）

（6.1.9d）

（6.1.9a）

通常將場(chǎng)的復(fù)矢量上面的點(diǎn)去掉，于是麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可簡(jiǎn)寫成（6.1.10a）

（6.1.10b）

（6.1.10c）

（6.1.10d）

麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式對(duì)求解正弦電磁場(chǎng)具有十分重要的意義。對(duì)于正弦電磁場(chǎng)的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場(chǎng)的復(fù)矢量，再由電磁場(chǎng)的復(fù)矢量寫出電磁場(chǎng)的正弦表達(dá)式。例6.1.2在真空中，已知正弦電磁波的電場(chǎng)分量為

求波的磁場(chǎng)分量

解：先將波的電場(chǎng)分量寫成復(fù)矢量，即，將其代入復(fù)矢量的麥克斯韋方程：可得將

代入上式可得

將上式展開(kāi)取實(shí)部得

6.1.3正弦場(chǎng)中的坡印廷定理

正弦場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別用復(fù)矢量和表示，用和分別表示和的共軛復(fù)數(shù)，并設(shè)介質(zhì)的介電常數(shù)為，導(dǎo)磁率為，導(dǎo)電率為。由恒等式和麥克斯韋方程

得上式采用的振幅復(fù)矢量，為了得到平均功率的有效值，對(duì)上式等式兩端x(-1/2)得

為穿過(guò)單位表面的無(wú)功功率

為穿過(guò)單位表面的平均功率

與磁介質(zhì)有關(guān)的項(xiàng)

與電介質(zhì)有關(guān)的項(xiàng)

(6.1.11)

(6.1.12)

(6.1.13)

6.1.4亥姆霍茲定理

6.2理想介質(zhì)中的均勻平面波

6.2.1均勻平面波的波動(dòng)方程及其解

1、平面波是指波陣面為平面的電磁波。2、均勻平面波：指波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)只沿波的傳播方向變化，而在波陣面內(nèi)和的方向、振幅和相位不變的平面波。

注意：一般說(shuō)來(lái)，大多數(shù)源輻射的電磁波為球面波。但當(dāng)我們遠(yuǎn)離波源觀察球面上的一小部分波時(shí)，由于半徑足夠大，球面上的一小片面積可以視為平面，在此小平面內(nèi)的波可視為平面波。因此，對(duì)平面波的討論具有十分重要的工程意義。

這里我們討論的是波在理想介質(zhì)中的傳播問(wèn)題，所以，在直角坐標(biāo)系中，正弦穩(wěn)態(tài)電磁波滿足的復(fù)矢量方程為下面求解波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。由于波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)受麥克斯韋方程約束，所以只需求解電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量。假定均勻平面波向z方向傳播，且電場(chǎng)只有x分量，由于波陣面為與面平行的xoy平面。按均勻平面波的定義有：(6.2.1)

(6.2.2)

因此，向z方向傳播的均勻平面波電場(chǎng)Ex滿足的波動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為其相量解為

為了求出Ex瞬時(shí)解，下面給出指數(shù)形式

將式(6.2.4)展開(kāi)并取實(shí)部得

(6.2.4)

(6.2.3)

(6.2.5)

若將式(6.2.5)中的第一項(xiàng)記為

第二項(xiàng)記為

下面討論第一項(xiàng)的物理意義。如果令，也就是考察相位為C的波陣面，此波陣面的位置由z給出。此波陣面的移動(dòng)速度為故方程(6.2.3)的解只取第一項(xiàng)。因此

(6.2.7)

(6.2.6)

圖6.2.1幾個(gè)不同時(shí)刻的Ex的波形

6.2.2均勻平面波的傳播特性

則波的相速度代入相速公式得

為光速。由于電場(chǎng)解是一個(gè)周期為2π/ω的正弦函數(shù)，因此波的周期為T=2π/ω

，頻率為f=ω/2π

，而我們通常又稱為波的角頻率ω=2πf

。(6.2.9)

(6.2.8)

1、相速度波在一個(gè)周期中傳播的距離稱為波的波長(zhǎng)，用λ表示。

圖6.2.2正弦平面波的相速、波長(zhǎng)的關(guān)系

(6.2.10)

2、波長(zhǎng)波長(zhǎng)與頻率、相速的關(guān)系為由式(6.2.10)可得k可以理解為使相位改變2π所需移動(dòng)的波長(zhǎng)數(shù)，通常稱為波數(shù)。而我們又將波移動(dòng)單位距離時(shí)相位的改變稱為波的相位常數(shù)并記為β，這里顯然有β=2π/λ。所以正弦平面波的又可寫成根據(jù)可得

(6.2.12)

(6.2.11)

(6.2.13)

3、波數(shù)，相位常數(shù)，本征阻抗于是

其時(shí)域（瞬時(shí)值）表示為

由此可見(jiàn)，磁場(chǎng)與電場(chǎng)同相，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅比為

稱為媒質(zhì)的本征阻抗。在自由空間中

磁場(chǎng)與電場(chǎng)的矢量關(guān)系為

(6.2.15)

(6.2.14)

坡印廷矢量為

電場(chǎng)能量密度為

磁場(chǎng)能量密度為

且電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度滿足關(guān)系

(6.2.16)

(6.2.17)

(6.2.18)

(6.2.19)

圖6.2.3理想介質(zhì)中均勻平面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布

例6.2.1頻率為100MHz的正弦均勻平面電磁波在各向同性均勻理想介質(zhì)中沿(+z)方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為εr=4、μr=1。設(shè)電場(chǎng)只有x方向的分量，即；當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)等于其振幅值10-4V/m，試求：

（1）、該正弦電磁波的和；

（2）、該正弦電磁波的傳播速度；

（3）、該正弦電磁波的平均坡印廷矢量。

解：各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿(+z)方向傳播的正弦均勻平面電磁波可由標(biāo)準(zhǔn)的余弦函數(shù)來(lái)表示，即波的電場(chǎng)分量是沿x方向的，波的電場(chǎng)分量可寫成：

上式中故而由波的傳播速度為

故波的平均坡印廷矢量為

波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的復(fù)矢量可寫成：

6.3電磁波的極化

1、TEM波

無(wú)界空間中傳播的平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)總是垂直于波的傳播方向的，這樣的波我們稱為橫電磁波，也稱為TEM波。一般情況下平面波的電場(chǎng)有兩個(gè)分量，如Ex和Ey，其合成電場(chǎng)在空間任一點(diǎn)的大小和方向是隨時(shí)間變化的。2、電磁波的極化

電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度在空間中的大小和方向隨時(shí)間的變化方式稱為電磁波的極化。1、

線極化波

若電場(chǎng)的兩分量相位相同，則兩電場(chǎng)分量可表示為

其合成電場(chǎng)強(qiáng)度為

或?qū)懗?/p>

其中：

可見(jiàn)，隨著時(shí)間變化合成電場(chǎng)總是沿著矢量決定的直線移動(dòng)。即箭點(diǎn)軌跡為一條直線移動(dòng)。我們將這樣的極化稱為波的線極化，將電場(chǎng)沿著一條直線移動(dòng)的波稱為線極化波。波的極化分為直線極化、圓極化和橢圓極化三種情況。分別進(jìn)行討論。2.波的圓極化

如果電場(chǎng)的EX分量與EY分量振幅相等，但相位相差π/2或3π/2

，這樣的兩個(gè)電場(chǎng)分量的合成電場(chǎng)為圓極化。設(shè)兩振幅相等、相位相差π/2的兩個(gè)電場(chǎng)分量可表示為其合成電場(chǎng)為

這是一個(gè)幅值為Em，以幅角ωt逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量，其箭點(diǎn)掃過(guò)的軌跡為一個(gè)半徑為Em的圓，如圖所示。所以稱這樣的波為圓極化波。

在工程上，我們還用左旋或右旋來(lái)說(shuō)明圓極化波中電場(chǎng)矢量的旋轉(zhuǎn)方向。如果我們面向電磁波傳去的方向，電場(chǎng)矢量是逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的，這樣極化的波我們稱為右旋極化波。如果電場(chǎng)矢量是順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的，這樣極化的波我們稱為左旋極化波。如果波沿＋Z反向傳播，則上述第一個(gè)波為右旋極化波，第二個(gè)波為左旋極化波，如圖所示。3.波的橢圓極化

如果電場(chǎng)的EX分量與EY分量振幅和相位都不相等

這樣的兩個(gè)電場(chǎng)分量的合成電場(chǎng)為

消去時(shí)間變量t得

這是一個(gè)橢圓方程，合成電場(chǎng)的矢量箭頭在一橢圓軌跡上旋轉(zhuǎn),因此我們稱這種極化的波為橢圓極化波。6.4媒質(zhì)的損耗及分類

實(shí)際的媒質(zhì)都是有耗媒質(zhì)。媒質(zhì)的損耗分為介質(zhì)損耗和焦耳損耗兩大類。1、焦耳損耗：指由于媒質(zhì)的電導(dǎo)率σ≠0（σ≠∞，即媒質(zhì)也不是理想），而在媒質(zhì)中存在傳導(dǎo)電流，此傳導(dǎo)電流在媒質(zhì)電阻上的損耗。2、介質(zhì)損耗：指構(gòu)成介質(zhì)的電偶極子或磁偶極子在高頻電磁場(chǎng)作用下發(fā)生旋轉(zhuǎn)，并不斷與晶格發(fā)生碰撞，將電磁能量轉(zhuǎn)換為熱能而引起的電磁波能量損耗。

實(shí)際上，介質(zhì)損耗的機(jī)理十分復(fù)雜，已不屬于本課程研究的范疇。這里僅討論媒質(zhì)損耗功率的計(jì)算和分類。

1、

在導(dǎo)電媒質(zhì)（σ≠0

）中，媒質(zhì)的損耗主要為焦耳損耗。電磁波在單位體積內(nèi)的焦耳損耗功率為6.4.1媒質(zhì)的損耗功率計(jì)算

2、理想介質(zhì)的介電常數(shù)是一個(gè)實(shí)常數(shù)ε

，理想介質(zhì)中不存在傳導(dǎo)電流，而只有位移電流。因此，電磁波在單位體積理想介質(zhì)中的功率為一虛功率，這說(shuō)明電磁波在理想介質(zhì)中無(wú)損耗。即對(duì)電介質(zhì)來(lái)說(shuō)，介電常數(shù)應(yīng)該為對(duì)磁介質(zhì)來(lái)說(shuō)，磁導(dǎo)率應(yīng)該寫成

只有這樣，電磁波在有耗介質(zhì)中的功率才有實(shí)部。高頻介質(zhì)物理理論指出：有耗介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率由復(fù)數(shù)給出，而且它們都是頻率的函數(shù)。即另外，當(dāng)電磁波的頻率接近媒質(zhì)的固有振動(dòng)頻率時(shí)，將發(fā)生共振現(xiàn)象。共振時(shí)媒質(zhì)的分子或原子從電磁波中吸收能量，并作單色散射，使電磁波能量有較大的損耗。下圖給出了有機(jī)玻璃的和的頻率特性曲線。對(duì)于實(shí)際的有耗介質(zhì)，表示介質(zhì)特性的參數(shù)顯然應(yīng)該是復(fù)數(shù)。

圖6.4.1有機(jī)玻璃的和的頻率特性曲線

在有耗電介質(zhì)中，電磁波在單位體積內(nèi)的功率損耗為

來(lái)描述，并分別稱為電介質(zhì)的損耗角正切和磁介質(zhì)的損耗角正切。

可見(jiàn)單位體積的損耗與和成正比。同樣可以說(shuō)明，磁導(dǎo)率的虛部也與磁損耗相對(duì)應(yīng)。對(duì)于介質(zhì)的損耗，工程上經(jīng)常又用比值（電介質(zhì)）（磁介質(zhì)）6.4.2媒質(zhì)的分類

1、當(dāng)時(shí)，媒質(zhì)被稱為理想導(dǎo)體。實(shí)際中理想導(dǎo)體是不存在的，它只是一種理想模型。2、時(shí)，媒質(zhì)被稱為良導(dǎo)體。如銅、銀、鋁等金屬導(dǎo)體，它們的電導(dǎo)率都在107以上。3、時(shí)，媒質(zhì)被稱為半導(dǎo)電介質(zhì)。4、當(dāng)時(shí)，媒質(zhì)被稱為低損耗介質(zhì)。如有機(jī)玻璃、聚乙烯等材料，它們的電導(dǎo)率都極低，在高頻和微波頻段內(nèi)滿足條件，且有極低的損耗。5、當(dāng)時(shí)，媒質(zhì)被稱為理想介質(zhì)。實(shí)際中理想介質(zhì)也是不存在的，它只是一種理想模型。6.5波在有耗媒質(zhì)中的傳播

6.5.1波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播方程

在σ≠0的媒質(zhì)中，麥克斯韋方程組的第一方程應(yīng)該寫成

若引入等效介電常數(shù)

則式（6.5.1）可寫成

這與理想介質(zhì)中的麥克斯韋方程組的第一方程具有完全相同的形式。

（6.5.1）（6.5.2）（6.5.3）因此，亥姆霍茲方程也可寫成

這里仍然假定電磁波為x方向極化的，向z方向傳播的均勻平面波。于是上面的亥姆霍茲方程的電場(chǎng)方程在直角坐標(biāo)系中可以寫成

這里的波動(dòng)方程與理想介質(zhì)中的亥姆霍茲電場(chǎng)方程的區(qū)別為：這里的k為復(fù)數(shù)。（6.5.4）6.5.2波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性

為了討論波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性，下面先求解電場(chǎng)分量。令將式（6.5.6）代入式（6.5.5）可得

（6.5.6）（6.5.7）（6.5.5）（6.5.8）電場(chǎng)滿足的亥姆霍茲方程可寫成

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，隨著波向z方向傳播，均勻平面波的振幅按e-αz的指數(shù)規(guī)律衰減，而α是說(shuō)明波傳播單位距離衰減程度的常數(shù)（Np/m），稱為電磁波的衰減常數(shù)。其單位為是[奈/米]或[分貝/米]，1[奈/米]=8.68[分貝/米]。由式（6.5.7）可知，α主要取決于ω和σ

，在良導(dǎo)體中，σ很大，α也很大，波衰減就很快。β表示波傳播單位距離相位的滯后，稱為波的相位常數(shù)。由于α和β描述了波在傳播時(shí)，波的衰減描述了波的傳播特性，我們稱γ為傳播常數(shù)。若取向z方向的傳播波解，則

（6.5.9）（6.5.10）導(dǎo)電媒質(zhì)中波的傳播速度為

在導(dǎo)電媒質(zhì)中波的傳播速度隨頻率變化，這種現(xiàn)象我們稱為色散效應(yīng)。而我們又經(jīng)常說(shuō)，在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的波是一種色散波。關(guān)于色散問(wèn)題，我們?cè)诤竺鎸ｎ}討論。在良導(dǎo)體中，σ很大，因此β增大，電磁波的相速減慢，波長(zhǎng)變短。由麥克斯韋方程可得

電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電磁波的傳播方向仍滿足右手螺旋關(guān)系。

本征阻抗為

（6.5.13）（6.5.12）（6.5.11）是一個(gè)復(fù)數(shù)，它說(shuō)明電場(chǎng)與磁場(chǎng)在時(shí)間上存在相差。圖6.5.1給出了導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波傳播圖。

圖6.5.1導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波電磁場(chǎng)分布

電場(chǎng)能量密度為

而磁場(chǎng)能量密度為

導(dǎo)電媒質(zhì)中磁場(chǎng)能量大于電場(chǎng)能量。

1)電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電磁波的傳播方向仍滿足右手螺旋關(guān)系。

2)本征阻抗為復(fù)數(shù)，它說(shuō)明電場(chǎng)與磁場(chǎng)在時(shí)間上存在相差。3)導(dǎo)電媒質(zhì)中磁場(chǎng)能量大于電場(chǎng)能量。

（6.5.14）波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性:6.5.3波在低損耗介質(zhì)中的傳播特點(diǎn)

設(shè)波在介電常數(shù)為的損耗介質(zhì)中的傳播。若將此介電常數(shù)與等效介電常數(shù)相比較，可看出用數(shù)學(xué)比擬方法可得

（6.5.16）（6.5.17）（6.5.15）（6.5.18）對(duì)于低損耗介質(zhì)或，式（6.5.16）~（6.5.18）可近似為對(duì)于良好的低損耗介質(zhì)，其趨于零。此時(shí)，衰減常數(shù)，相移常數(shù)，波阻抗。例如，在聚本乙烯中10MHz的電磁波每公里只有0.5%的衰減，電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的相位差只有0.0030。（6.5.21）（6.5.20）（6.5.19）

例6.5.2在μr=1、εr=8和σ=0.25ps/m的媒質(zhì)中傳播f=1600MHz的電磁波，試計(jì)算波的傳播常數(shù)γ。所以有

解：因?yàn)?/p>

在給定的頻率下，該媒質(zhì)具有理想介質(zhì)的特性

6.5.4波在良導(dǎo)體中的傳播特點(diǎn)

本征阻抗可近似為

對(duì)于良導(dǎo)體，如銅（）、銀（）等，在整個(gè)電磁波頻率范圍內(nèi)都有，因此，式（6.5.7）和式（6.5.8）可近似為波的相速和波長(zhǎng)分別為

（6.5.23）（6.5.24）（6.5.25）（6.5.22）（6.5.7）（6.5.8）

良導(dǎo)體中，本征阻抗是電抗性的，且該阻抗具有450相角，這說(shuō)明在良導(dǎo)電媒質(zhì)中波的電場(chǎng)的相位超前磁場(chǎng)相位450。相速與成正比，是一種色散媒質(zhì)。而且與成反比，越大，就越小。例如f=106Hz的電磁波，在銅中傳播的相速,與聲音在空氣中的傳播速度同一數(shù)量級(jí)。

下面我們用實(shí)例來(lái)說(shuō)明不同頻率的電磁波在良導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特點(diǎn)。

例6.5.3海水的，，。分別計(jì)算f=50Hz、f=104Hz和f=106Hz的電磁波在海水傳播距離。解：當(dāng)f=106Hz時(shí)

可以認(rèn)為電磁波在海水中的傳播是在良導(dǎo)體中傳播。顯然，其它更低頻率的電磁波也可認(rèn)為是在良導(dǎo)體中傳播。而當(dāng)波在海水中傳播4δ時(shí)，其電場(chǎng)的振幅將衰減到初始位置時(shí)的1.83％，因此可以認(rèn)為電磁波在海水中的傳播距離為4δ當(dāng)f=50Hz時(shí)當(dāng)f=104Hz時(shí)當(dāng)f=106Hz時(shí)因此，當(dāng)f=50Hz時(shí)，電磁波在海水中可傳播142.4米；當(dāng)f=104Hz時(shí)，可傳播10.08米；當(dāng)f=106Hz時(shí)，可傳播1.008米。由此可見(jiàn)，電磁波在海水中的傳播距離很短，不能作為水中傳送信號(hào)的載體。6.5.5趨膚效應(yīng)

導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的衰減，隨著頻率、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率的增加而增大。特別是良導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ都在107數(shù)量級(jí)，隨著頻率的升高，將很大。也就是說(shuō)在導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波只存在于表面的這個(gè)現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。工程上常用穿透深度δ（米）表示趨膚程度。它等于電磁波場(chǎng)強(qiáng)的振幅衰減到表面值1/e所經(jīng)過(guò)的距離。按此定義（6.5.26）例6.5.4試計(jì)算當(dāng)、和時(shí)，電磁波在的紫銅中的穿透深度。解

由式（6.5.15）可得

與上題相比較，電磁波對(duì)導(dǎo)電性能很好的金屬導(dǎo)體的穿透能力是很差的。而且，隨著頻率的升高，趨膚效應(yīng)越明顯，穿透深度越小。利用趨膚效應(yīng)，我們可以用金屬板或金屬罩對(duì)各頻段的電磁波進(jìn)行有效地屏蔽，以保護(hù)某些電子設(shè)備不受外電磁場(chǎng)的影響。當(dāng)f=50Hz時(shí)當(dāng)f=106Hz時(shí)當(dāng)f=1010Hz時(shí)6.5.6良導(dǎo)電媒質(zhì)的表面阻抗

由于趨膚效應(yīng)，高頻電流集中于導(dǎo)體的表面。導(dǎo)體內(nèi)部的電流則隨著深度增加而迅速減小。在深度大于數(shù)個(gè)穿透深度后，電流近似為零。良導(dǎo)體中電流的分布可由電流密度的波動(dòng)方程解得。對(duì)波動(dòng)方程式（6.5.9）乘以電導(dǎo)率得

這就是導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度的波動(dòng)方程。對(duì)于良導(dǎo)體有

式（6.5.27）的解為

（6.5.27）（6.5.28）式中J0為z處（即導(dǎo)體表面上）的電流密度的幅值。電流的振幅按指數(shù)規(guī)律減小，如圖6.5.2所示。圖6.5.2導(dǎo)電媒質(zhì)中電流的振幅分布

導(dǎo)電媒質(zhì)的表面阻抗

定義為

它表示導(dǎo)電媒質(zhì)表面上沿x方向單位長(zhǎng)度的電壓。表示流過(guò)沿y方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度，沿z方向?yàn)閺?到無(wú)窮大的一個(gè)面的總電流。因此表示在導(dǎo)電媒質(zhì)表面上（z=0）的切向電場(chǎng)?？蓪懗蔀?/p>

將式（6.5.30）和式（6.5.31）代入式（6.5.29）得

（6.5.29）（6.5.30）（6.5.31）（6.5.32）這就是導(dǎo)電媒質(zhì)表面阻抗的一般表達(dá)式。對(duì)于良導(dǎo)體有

表面電阻為

表面電阻Rs實(shí)際上就是單位寬度單位長(zhǎng)度而沿z方向的厚度為從零到無(wú)窮大這樣的導(dǎo)體塊具有的交流電阻。從式（6.5.34）可以看到，這樣一個(gè)交流電阻等效于一塊具有單位寬度、單位長(zhǎng)度而沿z方向的厚度僅為一個(gè)趨膚深度δ的導(dǎo)體具有的直流電阻。顯然，對(duì)于同一塊導(dǎo)體，其交流電阻要比直流電阻大。這是趨膚效應(yīng)所造成的。對(duì)高頻電流來(lái)說(shuō)，由于趨膚效應(yīng)，與均勻分布在導(dǎo)體中的直流電流相比較，其有效的導(dǎo)電面積大大減小，電阻增加。

例6.5.5半徑為a=3mm黃銅（σ=1.6*107S/m）金屬圓導(dǎo)線上傳播頻率為109Hz的正弦電磁波。試求單位長(zhǎng)度的交流電阻。

解此問(wèn)題是一個(gè)高頻電磁波在良導(dǎo)體中傳播的問(wèn)題。由于波在導(dǎo)體中的趨膚深度由于比導(dǎo)線的半徑小得多，故在求解表面電阻時(shí)可將導(dǎo)線表面視為平面。單位寬度、單位長(zhǎng)度上的表面電阻為，其相對(duì)應(yīng)的表面電導(dǎo)為。所以單位長(zhǎng)度上的表面電導(dǎo)為則單位長(zhǎng)度上的表面電阻為

這個(gè)表面電阻就可以認(rèn)為是此導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的交流電阻。事實(shí)上，線上傳輸?shù)墓β士梢詫懗啥趫A柱面上

線上傳輸?shù)墓β蕿?/p>

因此，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的交流電阻為

6.6電磁波的群速與色散失真

電磁波的相速、群速、色散現(xiàn)象和色散失真是通信理論中非常重要的概念。6.6.1電磁波的群速

波的相速是指單色正弦波等相面移動(dòng)的速度。穩(wěn)態(tài)的單色正弦波是不能攜帶信息的。一個(gè)信號(hào)總是由許許多多頻率的正弦波調(diào)制而成，信號(hào)調(diào)制的結(jié)果是形成一個(gè)調(diào)制波，而信息就包含在這調(diào)制波中。通常我們又將調(diào)制波稱為一個(gè)波群。因此，信號(hào)的傳播速度應(yīng)該是這個(gè)調(diào)制波的前進(jìn)速度，或者說(shuō)是這個(gè)波群的傳播速度，我們稱為群速，并用表示。當(dāng)然，群速也代表能量的傳播速度。下面我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)導(dǎo)出波的群速的計(jì)算公式。

設(shè)有兩個(gè)振幅均為Am的單色穩(wěn)態(tài)正弦波如圖6.6.1所示，它們的頻率相差很小，而且它們的相位常數(shù)也相差不大，這兩個(gè)波可以用下面兩個(gè)波函數(shù)來(lái)表示：合成波為

顯然合成波的振幅是受調(diào)制的，圖6.6.1中虛線所示的包絡(luò)波就是調(diào)制波。波的群速就是這個(gè)調(diào)制波上某一恒定相位點(diǎn)推進(jìn)的速度。已知調(diào)制波為它的推進(jìn)的速度為

(6.6.4)

(6.6.2)

(6.6.1)

(6.6.3)

(6.6.5)

波的群速與相速的關(guān)系為

由此可得當(dāng)

時(shí)，式(6.6.5)變?yōu)?/p>

在非色散媒質(zhì)中，相速不隨頻率變化，群速等于相速

(6.6.7)

(6.6.6)

6.6.2色散失真及不失真條件

在信號(hào)的傳輸過(guò)程中，攜帶信號(hào)的調(diào)制波（或波群）是由許多不同頻率的正弦波以不同的相位和振幅關(guān)系的合成。當(dāng)這個(gè)調(diào)制波在非色散媒質(zhì)中傳播時(shí)，由于相速不隨頻率變化，構(gòu)成調(diào)制波包的各正弦波的相速一致，因此，在整個(gè)傳播過(guò)程中，調(diào)制波包的形狀不變，即波形不產(chǎn)生失真。而波在色散媒質(zhì)中傳播時(shí)，色散現(xiàn)象會(huì)使構(gòu)成調(diào)制波包的各正弦波具有不同的相速。這樣，當(dāng)調(diào)制波包在色散媒質(zhì)中傳播一定距離時(shí)，波包的形狀將發(fā)生畸變，從而導(dǎo)致信號(hào)失真。這種失真稱為色散失真。在原點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度可寫成由于α(ω)和β(ω)是頻率的復(fù)雜函數(shù)，式(6.6.9)的積分是很難計(jì)算的?，F(xiàn)只討論窄帶信號(hào)傳播的情況，即通信頻帶ω2-ω1較小，但中心頻率可能很高（幾百兆赫以上）的情況。設(shè)ω0是信號(hào)頻帶中的一個(gè)角頻率，即ω1<ω0<ω2。取ω=ω0+Δω

，且Δω<<ω1

，用泰勒級(jí)數(shù)將