現(xiàn)代控制理論-線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性例題

第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性例分析以下系統(tǒng)的能觀測(cè)性（1）（2）（3）（4）

2121N==CCA

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例考察系統(tǒng)的能觀測(cè)性。

rankN

=2=n所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。[例]：判別如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性：前三行已使系統(tǒng)完全能觀測(cè)！解：3.6.1線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系線性系統(tǒng)1、2如下：如果滿足如下關(guān)系3.6能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系那么稱兩系統(tǒng)是互為對(duì)偶的.CB∫++u1(t)x1(t)y1(t)x1(t)A∫BTCT++u2(t)x2(t)y2(t)x2(t)AT從結(jié)構(gòu)圖上看，系統(tǒng)

1和其對(duì)偶系統(tǒng)

2的輸入端和輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，各矩陣轉(zhuǎn)置。

互為對(duì)偶關(guān)系的系統(tǒng)之間的性質(zhì)1〕互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。2〕互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其特征方程是相同的。設(shè)和是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，那么的能控性等價(jià)于的能觀測(cè)性；的能觀測(cè)性等價(jià)于的能控性。3.6.2對(duì)偶原理[證明]：若能控，則能控性矩陣滿秩。即的能觀測(cè)性矩陣為：所以能觀測(cè)。利用對(duì)偶原理，把對(duì)系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)相應(yīng)對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)性的分析，從而將控制問題和估計(jì)問題聯(lián)系到了一起。反之亦然。3.7能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型一、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型1、能控標(biāo)準(zhǔn)I型單輸入線性定常系統(tǒng)：那么存在線性非奇異變換：能控將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型：其中：[例]：設(shè)線性定常系統(tǒng)用下式描述式中：試將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型。

注意：非特別標(biāo)明，能控標(biāo)準(zhǔn)型指的是能控標(biāo)準(zhǔn)I型。[解]：1〕判斷系統(tǒng)能控性2〕計(jì)算特征多項(xiàng)式3〕計(jì)算變換陣，并化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型[例]：寫出以下傳遞函數(shù)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型。[解]：先判斷能控與能觀，答案是肯定的。所以：能控標(biāo)準(zhǔn)I型為：[例]：設(shè)線性定常系統(tǒng)用下式描述式中：試將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型。[解]：2、能控標(biāo)準(zhǔn)II型其中：如果單輸入線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)能控的，將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)II型：那么存在線性非奇異變換：[解]：1〕判斷系統(tǒng)能控性2〕計(jì)算特征多項(xiàng)式3〕化為能控標(biāo)準(zhǔn)II型[例]試將以下狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)II形。3.7.2單輸出系統(tǒng)的能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型n維線性定常系統(tǒng)如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，必有：此時(shí)可導(dǎo)出能觀標(biāo)準(zhǔn)型。1、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)I型〔對(duì)偶于能控標(biāo)準(zhǔn)II型〕如果單輸出線性定常系統(tǒng)：是能觀測(cè)的，那么存在線性非奇異變換：將狀態(tài)方程化為第一能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：其中：非奇異變換陣為：2、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型〔對(duì)偶于能控標(biāo)準(zhǔn)I型〕如果單輸出線性定常系統(tǒng)：是能觀測(cè)的，將狀態(tài)方程化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型：那么存在線性非奇異變換：其中：[例]：設(shè)線性定常系統(tǒng)用下式描述式中：試將狀態(tài)方程化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型。

注意：非特別標(biāo)明，能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型指的是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型。[解]：1〕判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性3〕計(jì)算變換陣，并化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型2〕計(jì)算特征多項(xiàng)式[例]：寫出以下傳遞函數(shù)的能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型。[解]：無零極點(diǎn)相消，故能控且能觀測(cè)?？梢曰癁槟苡^測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。所以：能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)II型為：3.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解按能控性分解按能觀測(cè)性分解按能控能觀測(cè)性分解系統(tǒng)狀態(tài)變量能控不能控能觀不能觀能觀不能觀能控能觀能控不能觀不能控能觀不能控能觀結(jié)構(gòu)分解依據(jù)能控能觀性，將系統(tǒng)分解為四個(gè)子系統(tǒng)特殊的線性變換分解步驟：1、將系統(tǒng)分解成能控與不能控子系統(tǒng)；2、分別將兩個(gè)子系統(tǒng)分解成能觀與不能觀子系統(tǒng)。分解的原因：除了對(duì)角線和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型能明顯識(shí)別外，其它能控、能觀測(cè)、不能控和不能觀測(cè)局部不能顯性地表示出來。結(jié)構(gòu)分解是：1〕最小實(shí)現(xiàn)的理論依據(jù)：本質(zhì)上反映狀態(tài)空間描述的特性2〕狀態(tài)反響的根底：能控局部極點(diǎn)可任意配置。3〕狀態(tài)重構(gòu)的前提。3.8.1按能控性分解目的：將系統(tǒng)顯性分解為能控和不能控兩局部。為實(shí)現(xiàn)做準(zhǔn)備。如果線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)不完全能控的，它的能控性判別矩陣的秩那么存在非奇異變換：將狀態(tài)空間描述變換為：其中：非奇異變換陣：前n1列為M中n1個(gè)線性無關(guān)的列，其余列在保證Rc非奇異下任選。能控性分解示意圖：其中是n1維能控部分：其中是n-n1維不能控部分：u不能直接控制，而未來信息中又不含的信息。能控局部不能控局部例：對(duì)以下系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。解：能控性矩陣不能控構(gòu)造變換矩陣與前2個(gè)列向量線性無關(guān)；盡可能簡(jiǎn)單不能控子系統(tǒng)能控子系統(tǒng)3.8.2按能觀測(cè)性分解目的：將系統(tǒng)顯性地分解為能觀測(cè)和不能觀測(cè)兩局部。觀測(cè)器設(shè)計(jì)根底。如果線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)不完全能觀測(cè)的，它的能觀測(cè)性判別矩陣的秩：那么存在非奇異變換：將狀態(tài)空間描述變換為：其中：

非奇異變換陣：前n1行為N中n1個(gè)線性無關(guān)的行，其余行在保證Ro非奇異下任選。能觀測(cè)性分解示意圖：能觀測(cè)局部不能觀測(cè)局部其中是n1維能觀測(cè)部分：其中