2023年天津高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2023年天津高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，

2,本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件4、B互斥,那么P(ADB)=P(A)+P(B).

?如果事件4、夕相互獨(dú)立，那么尸(AB)=P(A)P(B).

?球的體積公式萬其中月表示球的半徑.

?圓錐的體積公式其中S表示圓錐的底面面積，力表示圓錐的高.

一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={-1,O,1},8={l,3,5},C={0,2,4},則(AcB)uC=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.

(0,2,3,4)

【參考答案】C

2.己知aeR,則“a>6"是"">36”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不允分也不必要條件

【參考答案】A

3.函數(shù)y=§空的圖像大致為()

x+2

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4.從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個評

分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：［66,70）、［70,74）、、［94,98］,并整理得到如下的費(fèi)率分布直

方圖，則評分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）

A.20B.40C.64D.80

【參考答案】D

5.設(shè)叱現(xiàn)我二人??！。.％；。.4、則從

c的大小關(guān)系為（)

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A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.

a<c<b

【參考答案】D

6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為一「，兩個

3

圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.37B.47rC.9乃D.12兀

【參考答案】B

7.若2"=5"=10，則工+?=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

【參考答案】C

22

8.己知雙曲線之一［=1（4>0/>0）的右焦點與拋物線丁=2力5>0）的焦點重

ab

合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于4B兩點，交雙曲線的漸近線于G〃兩點，若

\CD\=^2\AB\.則雙曲線的離心率為（）

A.72B.6C.2D.3

cos(2乃％—2萬。).x<a

9.設(shè)awR,函數(shù)/(%)=<，若/（X）在區(qū)間（。,+8）內(nèi)

X2—2(。+l)x+a~+5,x>a

恰有6個零點，則a的取值范圍是（）

<9一,511

A.2,—

<4J(24J

(9"「11八

c2-—,3

<4.[4J

【參考答案】A

第II卷

注意事項

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

第3頁共12頁

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1

個的給3分，全部答對的給5分.

9+2i

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)-----=

2+1

【參考答案】4-i

9+2i(9+2i)(2-i)20-5i

【解】=4—i.

2+i-(2+i)(2-i)-5

11.在2丁+上的展開式中，f的系數(shù)是

【參考答案】160

【解】。/+口的展開式的通項為&=26-，C；*i，

令18—4r=6,解得r=3,

所以f的系數(shù)是2,域=160.

12.若斜率為由的直線與y軸交于點A,與圓月+(?-1)2=1相切于點3,則

【參考答案】73

【解】設(shè)直線A3的方程為y=+則點4(0,0),

由于直線A8與圓/+(y-l『=l相切，且圓心為。(0,1),半徑為1，

則也”=1,解得力=—1或b=3,所以|AC|=2,

因為忸。=1,故|A[=、[./一忸。'=6.

13.若則:+Q。的最小值為

【參考答案】2夜

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【解】a>0,/?>(),

:.~+-^+b>2^^+b=^+b>2^b=242,

當(dāng)且僅當(dāng)一=二且丁=8，即a=。=行時等號成立，

abb

所以:+春+人的最小值為2夜.

14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的

一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為?和工，且每

次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概

率為—，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為—

220

【參考答案】①.一②.—

327

542

【解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為一x-=—；

653

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為xl+f->l=”.

3⑴3卬27

15.在邊長為1的等邊三角形46。中，〃為線段比1上的動點，且交16于點

E.Of7/AB且交/C于點F,則12BE+DF\的值為;(DE+OF)?D4的最

小值為?

【參考答案】①.1②.口

20

【解】設(shè)=_ABC為邊長為1的等邊三角形，DEVAB,

:.^BDE=3Q,BD=2x,DE=y/3x,DC=l-2x,

OE//AB,為邊長為l—2x的等邊三角形，DE1DF，

22

(2BE+DF)2=4BE~+ABEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(1—2x>=1，

:.\2BE+DF|=1,

.2

(DE+DF)-DA=(DE+DF)-(DE+EA)=DE+DFEA

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=(>/3x)2+(l-2x)x(l-x)=5x2-3x+l=5|x-—|+—.

<10J20

311

所以當(dāng)x=一時，(?！?￡>尸)。4的最小值為一.

1020

三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟.

16.在4ABC,角A氏C所對的邊分別為。，仇c,已知

sinA:sinB:sinC=2:1:\/2>b=\/2■

(I)求a的值；

(II)求cosC的值;

71)

(III)求sin(2C-wJ的值.

【參考答案】(I)2及；(II)(III).⑸-1

16

【解】(I)因為sinA:sinB:sinC=2:1:血，由正弦定理可得。：〃：c=2:1:、舊，

b=五,a——2；

.cT+Z?2—c28+2—43

(ID由余弦定理可得cosC=----------=-------7=-7==7；

2ab2x272xV24

3_______萬

(III)cosC=—,/.sinC=Vl-cos2C--，

44

sin2C=2sinCeosC=2x^-x—=,cos2C=2cos2C-l=2x-^--l=^-,

448168

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所以sin（2C-工］=sin2Ccos--cos2Csin—=3幣x2^.——x—=_1.

I6；66828216

17.如圖，在棱長為2的正方體46CD—A4GA中，6為棱比■的中點，F(xiàn)為棱CD

的中點.

（I）求證：。///平面AEG；

（II）求直線AG與平面4EC1所成角正弦值.

（III）求二面角A-AC-E的正弦值.

【參考答案】（I）證明見解析；（II）—；（III）-

93

【解】（I）以A為原點，AB,AZ），M分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,0）,4（0,0,2）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,C1（2,2,2）,D,（0,2,2）,

因為K為棱比■的中點，尸為棱切的中點，所以石（2,1,0）,F（l,2,0）,

所以A尸=（1,0,—2）,=（2,2,0）,^￡=（2,1-2）,

設(shè)平面\ECX的一個法向量為加=（%，y,zj,

m.4G=2玉+2y=0

則＜，令占=2,則m=（2,-2,l）,

m-\E=2xx+yx-2z10

因為。/一九二？一2=0,所以。尸_L加,

因為，平面4EG，所以。///平面4EG；

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(II)由(1)得，AC；=(2,2,2),

設(shè)直線AG與平面AEG所成角為氏

則sin"卜小明)卜崎二高邛;

(III)由正方體的特征可得，平面ARG的一個法向量為。3=(2,-2,0),

DBm8_2V|

則cos(DB,m

|DB|-|m|3x2痣—3

所以二面角A-AG-E的正弦值為小一cos?(DB，G=I.

r2V20公

18.已知橢圓—+*=l(a>b>0)的右焦點為八上頂點為3,離心率為臂，

且忸產(chǎn)|=?.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點”，與y軸的正半軸交于點N,過N與BF垂直

的直線交x軸于點尸.若MP11BF,求直線/的方程.

v-2L

【參考答案】(1)y+/=l；(2)x—y+#=0.

【解】⑴易知點尸(c,0)、B(O,b),故忸1|=Jc2+/=a=亞，

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因為橢圓的離心率為6=￡=拽，故c=2,b=\lcr-c2=b

a5

r2

因此，橢圓的方程為二+y2=1；

5-

,?2

（2）設(shè)點M（毛,均）為橢圓工+y2=i上一點，

先證明直線MN的方程為管+為y=1,

號+折1

聯(lián)立《，，消去y并整理得Y-2x0x+x；=0，A=4x；-4x；=0,

X2.

—+y-=1

[5

2

因此，橢圓土+V=i在點M（Xo，%）處的切線方程為?+%y=L

53

1(11

在直線MN的方程中，令x=0,可得y=一，由題意可知%>0,即點N0,—,

先1yoj

b1C1

直線BF的斜率為原「=一一=一一，所以，直線PN的方程為y=2x+一，

c2%

1(1

在直線PN方程中，令y=0,可得》=?--一■,即點P---,0,

2yo【2%)

）'o=24=1

因為MP//BF,則=即12%%+12,整理可得(％+5)，0)2=0,

xo+?-

2%

2，???>()>°，故％=逅，X。=一^^~，

所以，%=-5%,因為9+尤=6公=1

66

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所以，直線/的方程為一"X+邁y=l，即x—y+后=0.

66

19.已知｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.也,｝是公比大于0的等比數(shù)

列,a=4也=48.

(I)求｛凡｝和也｝的通項公式；

(II).記C"=4"N',

b,

(i)證明歸-%,｝是等比數(shù)列；

(ii)證明之俘屋】<2夜

*=1VCk~C2k

【參考答案】(I)a〃=2〃—l,〃￡N*,a=4",〃￡N?；(H)(i)證明見解析；(ii)證明

見解析.

【解】(I)因為｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.

8x7

所以6+^-----F%=84H■——x2=64,所以4=1,

所以=q4-2(/?-1)=2H-1,HG?/*；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為46>0)，

所以爐—如=4年一句=48,解得q=4(負(fù)值舍去)，

所以勿=b,q"T=4",〃eN"；

(II)(i)由題意，％="“+｝=4”+房，

UR

所以C：_"9"+H-k"+*)=2?4",

C|>|2,Hq；+l_。2,+2_2?4””_4

所G以q,一‘2“#n0,且一2------------4,

qi”2-4"

所以數(shù)列歸一。2,｝是等比數(shù)歹1J;

=(2〃-1)(2〃+1)=41-1<4〃2

(ii)由題意知,22

c^-c2n~2-4"-2?2"2-2"'

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IaAI4n22n_1__n_

所以+lz

在-c?,,\2-22"~-j2.2n~412，i

所以f

hl

'ZLT弋k123n

設(shè)7而=及+短百+…+F'

nl1123n

則51=耍+?■+無+…+環(huán)，

1-,-

兩式相減得京=1+9*+…+/-＞一F2=2_9

142〃2〃

/?+2

所以＜=4_

所以tj孚T

hiVck-c2l

20.已知a>0,函數(shù)/(x)=or-xe*.

(I)求曲線y=/(x)在點(O,/(O))處的切線方程:

(11)證明f(x)存在唯一的極值點

(IH)若存在a,使得/(x)4a+6對任意x