19.4 線段的垂直平分線（解析版）

19.4線段的垂直平分線教學目標：1.識記并理解線段垂直平分線的性質定理及其逆定理。2.掌握垂線的尺規(guī)作圖方法并理解作法的依據(jù)及合理性。3.通過對定理的探究，培養(yǎng)學生自主學習勇于思考和探究的品質，讓學生充分體會到探究的樂趣。重點：線段的垂直平分線定理和逆定理的證明和運用。難點：線段的垂直平分線定理和逆定理的證明和運用，線段的垂直平分線的畫法。知識點一線段垂直平分線的性質定理1.線段垂直平分線的定義經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線2.性質定理線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等3.符號語言4.應用證明線段相等注意：聯(lián)結線段垂直平分線上的點和線段兩個端點,構造等腰三角形是常用的解題方法由于線段垂直平分線上的點可能在線段上也可能在線段外,故證明定理時必須對點P的位置分情況討論即學即練1（2022秋·上海靜安·八年級上海市市北初級中學?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則．

【答案】2【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)是的中點可求出，利用可得，可得，，結合已知可得是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質判斷出即可證得，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質和全等三角形的判定，熟練掌握線段的垂直平分線的性質和全等三角形的判定方法是解題的關鍵．即學即練2（2020秋·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）已知如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為點，那么的周長為．

【答案】【分析】由垂直平分線的性質可得，然后計算的周長即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∴的周長是22cm．故答案為：．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質．解決本題的關鍵是注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．知識點二線段垂直平分線的性質定理的逆定理1.逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上2.符號語言3.應用確定點在線段的垂直平分線上注意：(1)組成線段的垂直平分線的所有點和線段兩端點的距離都相等;(2)和線段兩端點距離相等的所有點組成該線段的垂直平分線即學即練1（2021秋·上海普陀·八年級校聯(lián)考期末）下列命題的逆命題錯誤的是（

）A．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等；B．全等三角形的三條邊對應相等；C．如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等；D．等邊三角形每個內角都等于60°．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定及等邊三角形的性質可進行排除選項．【詳解】解：A、“線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題為“平面上任意一點到一條線段兩個端點的距離都相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上”，為真命題，故不符合題意；B、“全等三角形的三條邊對應相等”的逆命題為“如果兩個三角形的三條對應邊都相等，那么這兩個三角形全等”，為真命題，故不符合題意；C、“如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等”的逆命題為“如果兩個角相等，那么這兩個角都是直角”為假命題，有可能這兩個角為對頂角，故符合題意；D、“等邊三角形每個內角都等于60°”的逆命題為“如果一個三角形的每個內角都為60°，那么這個三角形是等邊三角形”為真命題，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查逆命題、線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定及等邊三角形的性質，熟練掌握逆命題、線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定及等邊三角形的性質是解題的關鍵．即學即練2（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學?？计谥校┰谥校?，的垂直平分線與所在的直線相交所得到銳角為，則等于．【答案】或【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后由的垂直平分線與所在的直線相交所得到銳角為，即可得，，然后分兩種情況討論：①當三角形是銳角三角形時，即可求得的度數(shù)，②當三角形是鈍角三角形時，可得的鄰補角的度數(shù)；又由，根據(jù)等邊對等角與三角形內角和的定理，即可求得．【詳解】∵的垂直平分線與所在直線相交所得的銳角為，∴，，①如圖1，當是銳角三角形時，．∵，∴，②如圖2，當是鈍角三角形時，．∵，∴．綜上所述：的度數(shù)是或．故答案為：或．

【點睛】本題考查了等腰三角形與線段垂直平分線的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，要注意分情況討論．知識點三三角形三邊垂直平分線的性質三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等注意：①銳角三角形三邊的垂直平分線的交點在三角形內部;②直角三角形三邊的垂直平分線的交點恰好是斜邊的中點;③鈍角三角形三邊的垂直平分線的交點在三角形外部.即學即練1（2021秋·上海·八年級專題練習）到三角形的三個頂點距離相等的點是（

）A．三角形三條中線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三邊垂直平分線的交點 D．三角形三條角平分線的交點【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質，即可求解．【詳解】解：∵到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點距離相等的點是三條邊垂直平分線交點．故選：C．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質．掌握到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題關鍵．即學即練2（2022秋·上海·八年級階段練習）到三角形各頂點距離相等的點是三角形的交點.【答案】三邊垂直平分線【詳解】到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，理由是：∵P在AB的垂直平分線EF上，∴PA=PB，∵P在AC的垂直平分線MN上，∴PA=PC，∴PA=PB=PC，即P是到三角形三個頂點的距離相等的點．故答案為三邊垂直平分線.題型1線段垂直平分線的性質例1（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，已知中，，，垂直平分，點D為垂足，交于點E．那么的周長為．【答案】8【分析】由線段垂直平分線的性質可得，則，的周長為，從而可得結果．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點E，垂足為點D，，，，的周長．故答案為：8．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質定理，求圖形的周長，關鍵是線段垂直平分線的性質定理的應用．舉一反三1（2022秋·上海·八年級上海市民辦立達中學?？茧A段練習）如圖，在中，的垂直平分線與邊，交于點，，已知與的周長分別是和，則的長為．【答案】【分析】由題意可得，，再根據(jù)與的周長分別是和，求得，即可求解．【詳解】解：∵垂直平分線，∴，，與的周長分別是和，即，∴，，故答案為：【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質．舉一反三2（2023春·上海嘉定·八年級?？奸_學考試）如圖，已知，，垂足分別為點A和點，，

(1)試判斷與的位置關系，并證明你的結論；(2)如果點是的中點，連接，，試判斷的形狀，并證明你的結論．【答案】(1),證明見解析(2)是等腰三角形，證明見解析【分析】（1）先證可得，然后根據(jù)等量代換和直角三角形的性質即可解答；（2）先說明，如圖，過點D作于G，再證明可得，再根據(jù)垂直平分線的性質可得，進而得到，即可解答．【詳解】（1）解：,證明如下：∵，，∴,，∵，，∴，∴,∵∴∴,即．（2）解：是等腰三角形，證明如下：∵，點E是的中點，∴∵，∴,如圖，過點D作于G

∴，∵∴，在和中，，∴∴，∴垂直平分，∴,又∵，∴∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、垂直平分線的判定與性質等知識點，靈活運用相關判定與性質是解答本題的關鍵．題型2線段垂直平分線的判定例2（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（

）A．，是線段的垂直平分線上的兩點，則，B．若，，則直線是線段的垂直平分線C．若，則點在線段的垂直平分線上D．若，則過點的直線是線段的垂直平分線【答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質和判定逐項判斷即可．【詳解】解:、是線段的垂直平分線上的點，，．故正確，不符合題意；、若，在的垂直平分線上．同理在的垂直平分線上．直線是線段的垂直平分線．故正確，不符合題意；、若，則點在線段的垂直平分線上，故正確，不符合題意；、若，則點在線段的垂直平分線上．但過點的直線有無數(shù)條，不能確定過點的直線是線段的垂直平分線．故錯誤，符合題意．故選：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質與判定，解題關鍵是熟練掌握垂直平分線的性質與判定，準確進行推理判斷．舉一反三1（2020秋·上海奉賢·八年級?？计谀┰谥?，，D為中點，于E，交的延長線于F．(1)求證：；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由證明，即可得出結論；（2）連接，交于點G，由（1）得，再由，得，則，然后由等腰三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，交于點G，由（1）得：，∵D為的中點，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴，，即垂直平分．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．舉一反三2（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，中，分別是上的中線，相交于點，聯(lián)結．求證：（1）；（2）垂直平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一對對應角，后利用等角對等邊證明即可；（2）逆用線段垂直平分線的判定證明即可．【詳解】（1）∵分別是上的中線，∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，∵BC=CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB=∠DBC，∴OB=OC；（2）設AO與DE的交點為F，∵△EBC≌△DCB，∴EC=DB，∵OB=OC；∴OD=OE，∴點O在線段DE的垂直平分線上，∵AE=AD，∴點A在線段DE的垂直平分線上，∴直線AO是線段DE的垂直平分線，∴垂直平分．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的全等，中線的定義，垂直平分線的判定和性質，同一個三角形中，等角對等邊，熟練掌握線段垂直平分線的逆定理是解題的關鍵．題型3線段垂直平分線的實際應用例3（2020·八年級校考課時練習）如圖，中邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，AE=3cm，的周長為9cm，則的周長是（

）

A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm【答案】B【分析】由DE是△ABC中邊AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周長為9cm，即可得AC+BC=9cm，繼而求得△ABC的周長．【詳解】解：由DE是邊AB的垂直平分線，∴AD=BD，AE=BE，由△ADC的周長為9cm，∴AC+BC=9，∵AE=3，∴AB=6，∴△ABC的周長是15cm，故選：B．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意等量代換與整體思想的應用．舉一反三1（2020秋·上海金山·八年級統(tǒng)考期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，（1）利用直尺、圓規(guī),求作AB的垂直平分線DE,交BC于點D、交AB于點E:(不要求寫出作法,但要求保留作圖痕跡)（2）若BD=3，求BC的長.【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作出DE垂直平分AB；（2）連接AD，如圖，先利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠B=∠C=30°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得DA=DB，則∠DAB=∠B=30°，接著計算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=2AD，從而得到結論．【詳解】（1）如圖，DE為所作；（2）連接AD，如圖，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∵BD=3，∴AD=3，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠CAD=120°?30°=90°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=3+6=9.【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．舉一反三2（2019秋·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩村在一條小河的同一側，要在河邊建一水廠向兩村供水（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應選在哪個位置？請用尺規(guī)作圖，將上述兩種情況下的自來水廠廠址分別在圖（1）（2）中標出，并保留作圖痕跡．【答案】(1)見解析;(2)見解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分線與河岸交于點P，則點P滿足到AB的距離相等.（2）作出點A關于河岸的對稱點C，連接CB，交于河岸于點P，連接AP，則點P能滿足AP+PB最小.【詳解】（1）根據(jù)垂直平分線的性質：垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等知，作出AB的垂直平分線與河岸交于點P，則點P滿足到AB的距離相等.（2）作出點A關于河岸的對稱點C，連接CB，交于河岸于點P，連接AP，則點P能滿足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，當點P在CB的連線上時，CP+BP是最小的.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，軸對稱的性質和距離之和最短問題，熟悉性質及距離之和最短問題的作法是關鍵．題型4作垂線（尺規(guī)作圖）例4（2022秋·上海黃浦·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在已知中，是的角平分線．(1)根據(jù)要求作圖：在邊上求作一點E，使得點E到A、D的距離相等．（不要求寫作法，但需要保留作圖痕跡和結論）(2)在第（1）小題所作的圖中，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別以點A和點D為圓心，以大于長為半徑畫弧相交于兩點，經過這兩點作直線交于點E即可；（2）連結，由是的角平分線，得到，由是線段的垂直平分線，得到，則，得到，即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示，∵點E在線段的垂直平分線上，∴點E到A、D的距離相等．（2）證明：連結，∵是的角平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形，∴，∴，∴．【點睛】此題考查線段垂直平分線的作圖和性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的判定等知識，熟練掌握線段垂直平分線的作圖和性質是解題的關鍵．舉一反三1（2022秋·上海·八年級期末）作圖題：在等邊ABC所在平面上找這樣一點P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，請用尺規(guī)畫出所有具有這樣性質的點P．【答案】作圖見解析【分析】分別以A、B為圓心，以大于AB長的一半為半徑畫弧，兩弧交于M、N，連接MN并延長，同理作出AC，BC的垂直平分線；以A為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P1，P9兩點，；以B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交BC的垂直平分線于P4，這樣在BC的垂直平分線上就有3個點滿足題意，同理在AC，AB的垂直平分線上均有3個點滿足題意，一共有9個點；還有一點是三邊的垂直平分線的交點，即可求解.【詳解】解：分別以A、B為圓心，以大于AB長的一半為半徑畫弧，兩弧交于M、N，連接MN并延長，同理作出AC，BC的垂直平分線；以A為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P1，P9兩點，；以B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交BC的垂直平分線于P4，這樣在BC的垂直平分線上就有3個點滿足題意，同理在AC，AB的垂直平分線上均有3個點滿足題意，一共有9個點；還有一點是三邊的垂直平分線的交點，∴一共有10個點；【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.舉一反三2（2019秋·上海普陀·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，邊的垂直平分線與分別交于點D和點E．（1）作出邊的垂直平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）當時，求的度數(shù)．【答案】（1）如圖所示，見解析；（2）．【分析】（1）利用線段垂直平分線的作法得出即可；（2）連接CE，利用垂直平分線的性質證明出，再通過計算∠ACB的角度得出∠A的度數(shù)．【詳解】（1）如圖所示，即為所求作的邊的垂直平分線；（2）如圖，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得，即．【點睛】本題考查了垂直平分線的作法和性質，等腰三角形等邊對等角，以及三角形內角之間的關系，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．一、單選題1．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質求出AE＝CE是解此題的關鍵．2．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和，線段垂直平分線的性質，角的和差關系，能得到求∠EAN的關系式是關鍵．3．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，已知垂直平分線段，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線可得AB=AC，即可得到．【詳解】∵垂直平分線段，∴AB=AC，∴故選：C．【點睛】本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形等邊對等角的性質，解題的關鍵是找到等腰三角形．4．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點）即可得．【詳解】解：三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外心，熟記定義是解題關鍵．5．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，平分，那么下列關系中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質，，則，再由平分，得．從而得出答案．【詳解】解：、，且，，又平分，，故．正確，不符合題意；、在與中，，，根據(jù)三角形內角和定理．正確，不符合題意；、，且，∴EB=EA，正確，不符合題意；、不一定成立，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．二、填空題6．（2023春·上海嘉定·八年級校考開學考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根據(jù)線段垂直平分線的性質得出，即可得到.然后對中的邊進行討論，然后在中，利用三角形內角和定理即可求得的度數(shù).【詳解】∵是的中垂線,∴，∴，∵,∴，設,則，

①當時,則在中，根據(jù)三角形內角和定理可得：,解得:,則；②當時,,而,故此時不成立；③當時,在中，根據(jù)三角形內角和定理得到：，解得:，即的度數(shù)為或，故答案為或．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，正確對的邊進行討論是解題的關鍵.7．（2022秋·上海黃浦·八年級校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∠DAE＝20°，則∠BAC＝°．【答案】80或100．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到DA=DB，EA=EC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根據(jù)三角形內角和定理分兩種情形分別計算即可．【詳解】解：如圖1，∵DM，EN分別垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°，則2（∠B+∠C）=200°，解得，∠B+∠C=100°，∴∠BAC=80°，如圖2中，∵DM，EN分別垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°，則2（∠B+∠C）=160°，解得，∠B+∠C=80°，∴∠BAC=100°，故答案為：80或100．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．8．（2019秋·上海長寧·八年級上海市西延安中學?？计谀┤鐖D△ABC中，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A度．【答案】【分析】連接BD,證明△ABD和△BDC是等腰三角形,在利用外角性質證明∠ADB=∠DBC+∠C及即可解題.【詳解】解：連接BD,由題可知：BD=CD=AB,∴△ABD和△BDC是等腰三角形,∴∠C=∠DBC,∠A=∠ADB,又∠ADB=∠DBC+∠C,∠C=20°,∴∠A=∠ADB=20°+20°=40°.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質,外角性質,屬于簡單題,作輔助線,熟用外角性質是解題關鍵.9．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在中，分別以點和為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，，作直線，交于點，連接．如果,，那么；【答案】3【分析】直接利用基本作圖方法得出MN垂直平分AB，進而得出答案．【詳解】由作圖步驟可得：MN垂直平分AB，則AD=BD，∵BC=5，CD=2，∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．故答案為3．