2023屆廣東普通中學第一次聯(lián)合考試試題

2023屆廣東普通中學第一次聯(lián)合考試試題

數(shù)學

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，只需將答題卡交回。

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題的四個選項中,

只有一項符合題目要求)

1.設集合4=｛川1<》<4｝,集合8=｛乂尤2一2%一3?()｝,則Ac3=

A.[-1,4)B.(-l,4)C.(l,3]D.(l,3)

2.已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x6R,都有f[f(x)-2X]=3,則f(3)的值是

A.3B.7C.9D.12

3.已知4=3°，2，b=lo濟7,c=logs6,則

A..a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

4.在數(shù)列｛aQ中，的=2,an+1=an+ln(l+^),則。九=

A.2+In”B.2+(n—l)lnnC.2+nln/jD.1+?+ln/?

5.如圖，已知正方體ABCD-AiBiCiDi的中心為O,則下列結論中

①而+而與而i+前1是一對相反向量；(2)0B-0Cx^OC-OBr是一對相反向量；

(3)M+OBI+OCI+ODI與赤+沆+而+瓦?是一對相反向量；

④亞-布與反1-耐1是一對相反向量.

正確結論的個數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

6.“k<2”是“方程工+工=1表示雙曲線”的

25-kk-9

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D..既不充分

也不必要條件

7.已知函數(shù)段)=alnx-hx1的圖象在x=l處與直線y=-[相切，則函數(shù)力在[1,e]上的最大值為

A.-lB.OC,--D.1

2

8.已知平面向量￡,b,2滿足同TNy.人2,且,-@?儂_@=0,則@最小

值為

A,2^2+1B.3-\^—3C.V7—1D.2^3—2

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求。全部選對5分，部分選對得2分，有選錯得0分)

9.若0<。<匕，且。2+廬=2,則

A.lvbvgB.b-a>\C.ab+a+b<3D.a3+b3>2

10.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題:“三百七十八里關，初步健步不為難，次

日腳痛減一半，六朝才得到其關,要見次日行里數(shù)，請公仔仔細算相還其大意為:“有一人走

378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目

的地''.則下列說法正確的是

A.該人第五天走的路程為12里

B.該人第三天走的路程為42里

C.該人前三天共走的路程為330里

D.該人最后三天共走的路程為42里

11.設日與日是兩個不共線向量，關于向量五+海，U-l)a+2Ab,-(b-2a),則下列結論中

正確的是

A.當％>1時,向量五+13,(AT)d+241不可能共線

B.當2>-3時，向量日+4氏一(石―2初可能出現(xiàn)共線情況

C.若￡%=0,且W，1為單位向量，則當％>-3時，向量(2T)五+2疝，一(5-2汾可能出現(xiàn)垂

直情況

D.當2=2時，向量G-與-2(2另一日)平行

12.已知函數(shù)〃*)=,一2|+】，晨x)=h，若方程/(x)=g(x)有兩個不相等的實根，

則實數(shù)上的取值可以是()

A.-B.上C.-

345

D.1

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(x-5a)l0的展開式中，X，的系數(shù)為15,則。=.

14.在△ABC中，24=45°,ZC=1()^,5c=6亞，則AC的長度為.

15.一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)=可用模型

y=G**擬合，設z=lny,其變換后的線性回歸方程為1=立-4,若

玉+々+…+不。=30。，…Mo=/°，e為自然常數(shù)，則。。2=.

16.己知矩形A8CD的周長為18,將它沿圖中的虛線折成正六棱柱,當這個正六棱柱的體積最大

時，它的外接球的表面積為

D|-----：-----!-----!-----!-----!-----|C

B

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）已知向量d=（sinx,[）,b=（cos%,—1）.

（1）當五〃3時,求cos?%—siMZx的值；

（2）設函數(shù)f（%）=20+3”3,已知在團ABC中，內(nèi)角48、C的對邊分別為a,b,c,

若Q=VXb=2,sinB=g求f⑺+4cos（2A+今（%W[0,勺）的取值范圍.

363

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB=BD=BP=-J^,PA=PD=-fl,

ZAPD=90°,E是棱布的中點，且BE〃平面PC。

（1）證明：平面PA￡>；入

（2）若CO=1,求二面角A—~B—C余弦值./\

19.（12分）某尋寶游戲的棋盤路線圖上,依次標有起點、第1站、第2站、…

、第20站，選手通過拋擲均勻硬幣，從起點（不同于第1站）依序向第1站、第2站、…、第

20站前進：若擲出正面，棋子從所在站點前進到下1站停留；若擲出反面，棋子則從所在

站點連續(xù)前進2站停留，直到到達第19站或第20站，游戲結束，設游戲過程中棋子停留在

第〃（〃=1,2,…,20）站的概率為2.

（1）從游戲開始計算，若拋擲均勻硬幣3次后棋子停留在第X站，求X的分布列與數(shù)學期

望；

（2）甲、乙兩人約定：由裁判員通過不斷拋擲硬幣，讓棋子從起點出發(fā)，并按上述規(guī)則依序

前進，直到游戲結束.若棋子最終停留性第19站，則甲選手獲勝：若棋子最終停留在第20

站，則乙選手獲勝.試分析這個約定對甲、乙兩人是否公平.

20.（12分）已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，q+%=10,S9=81.

（1）求生;

（2）若集合4=｛乂1=4,〃€“｝,8=卜|%=2",〃61<"｝,將AIJB中的所有元素按從

小到大順序排列，構成數(shù)列｛2｝.設數(shù)列抄,｝的前〃項和為北，求（3?

21.（12分）如圖，橢圓E：:+g=l（a>b>0）的左焦點為尸右焦點為B，離心率e=/

過尸?的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABg的周長為8.

（1）求橢圓后的方程；T

（2）設動直線/：丫=履+川與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線

x=4相交于點Q,試探究：在x軸上是否存在定點使得以