適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題6解析幾何第2講圓錐曲線的定義方程與性質(zhì)課件

第2講圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)專題六內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥l于點M.若點F在直線l上,點的軌跡是過F且與l垂直的直線

誤區(qū)警示利用橢圓、雙曲線的定義解題時,要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點是缺一不可的:其一,絕對值;其二,0<2a<|F1F2|.如果滿足第二個但不滿足第一個條件,動點到兩定點的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支.2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(3)拋物線:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).名師點析注意區(qū)分橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系,以及焦點所在位置.3.圓錐曲線的幾何性質(zhì)

方程中勿忘“±”及“x”(2)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系

注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系

名師點析已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時,可直接應(yīng)用上述②中的公式,此時易忽視焦點所在的坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解.4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷方法:通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷.名師點析直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解,在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時,必須先有“判別式Δ≥0”.在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“Δ>0”下進行.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程[例1-1](2022·全國乙,理5)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(

)B解析

設(shè)點A(xA,yA),由題意知點F(1,0),則|BF|=2.由拋物線的定義知|AF|=xA+1,[例1-2]在平面直角坐標(biāo)系中,一動圓C與x軸切于點A(4,0),分別過點M(-5,0),N(5,0)作圓C的切線并交于點P(點P不在x軸上),則點P的軌跡方程為(

)A解析

如圖,設(shè)切線PM,PN上的切點分別為B,D,則|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P點軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點),2a=8,a=4,c=5,則解析

設(shè)橢圓C的左焦點為F1,如圖,連接AF1,BF1,因為|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四邊形AF1BF為平行四邊形.解題心得求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時“先定型,后計算”(1)“定型”是指確定圓錐曲線的類型,即確定圓錐曲線焦點所在的位置.(2)“計算”是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出結(jié)果.注意:當(dāng)焦點位置無法確定時,拋物線方程常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓方程常設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),雙曲線方程常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0).對點練1(3)已知O為坐標(biāo)原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

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不妨設(shè)A在雙曲線的右支上,由雙曲線定義可得|AF1|-|AF2|=2a=2①,突破點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)命題角度1

圓錐曲線的幾何性質(zhì)

AD解析

因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(-2,2),所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,從而拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(2,0).因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(-2,2),解題心得1.研究圓錐曲線的性質(zhì)時,一是要結(jié)合圓錐曲線的定義,二是要與三角形中的定理(如勾股定理、角平分線定理等)相結(jié)合.2.求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求

的值,在計算過程中也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”,然后因式分解得到.對點練2(1)(多選題)(2023·山東棗莊二模)已知曲線C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,則(

)A.C1的長軸長為B.C2的漸近線方程為x±2y=0C.C1與C2的離心率互為倒數(shù)D.C1與C2的焦點相同BC4命題角度2

求圓錐曲線的離心率

C規(guī)律方法求橢圓(或雙曲線)離心率(或其取值范圍)的常用方法

(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.(4)根據(jù)橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于e的等式或不等式,求出離心率或離心率的范圍.對點練3(1)(2022·全國甲,文15)記雙曲線C:

(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點”的e的一個值

.

(2)(2023·廣東江門一模)橢圓是特別重要的一類圓錐曲線,是平面解析幾何的核心,它集中體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線,生活中許多橢圓形的物品,都是黃金橢圓,它完美絕倫,深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì):①以長軸與短軸的四個頂點構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點;②長軸長、短軸長、焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息,黃金橢圓的離心率為

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突破點三有關(guān)弦的中點、弦長問題D規(guī)律方法中點弦問題常用的求解方法對點練4(1)已知直線l與拋物線C:x2=8y相交于A,B兩點,若線段AB的中點為(1,2),則直線l的方程為(

)A.4x-y+7=0 B.4x+y-3=0C.x-4y+7=0 D.x+4y-3=0CA命題角度2

弦長問題[例3-3]已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為圓x2+(y-1)2=2的圓心,經(jīng)過拋物線C的焦點且傾斜角為60°的直線l交拋物線C于A,B兩點,則|AB|=

.16[例3-4]已知雙曲線C:=1的左、右焦點分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于P,Q兩點,當(dāng)|PQ|最小時,四邊形F1PF2Q的面積為

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規(guī)律方法求圓錐曲線弦長的常用方法

對點練5(1)(2023·山東菏澤一模)過拋物線C:y=4x2焦點F作傾斜角為30°的直線交拋物線于A,B,則|AB|=(

)A突破點四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)求橢圓方程及其離心率;(2)已知點P是橢圓上一動點(不與頂點重合),直線A2P交y軸于點Q,若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍,求直線A2P的方程.解題心得解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟(1)由題意設(shè)出直線或曲線方程,設(shè)交點為A(x1,y1),B(x2,y2).(2)聯(lián)立直線與曲線方程,消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.(3)寫出根與系數(shù)的關(guān)系式.(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根與系數(shù)的關(guān)系