2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第4章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)．2．能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．3．體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．1．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并能夠應(yīng)用該知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)算．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)

1a1qn－1想一想：通項(xiàng)公式為an＝kqn(kq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？等比數(shù)列的單調(diào)性

知識(shí)點(diǎn)

2已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則(3)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列{an}為_(kāi)________(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào)，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào))．常數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)

31．等比數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系(1)兩項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·___________(m，n∈N*)．(2)多項(xiàng)關(guān)系項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝_____________.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am·an＝_______.qn－map·aqan－1an－k＋13．等比數(shù)列的運(yùn)算的性質(zhì)(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①{c·an}(c是非零常數(shù))是公比為_(kāi)____的等比數(shù)列；②{|an|}是公比為_(kāi)________的等比數(shù)列．(2)若{an}，{bn}分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}是公比為_(kāi)____________的等比數(shù)列．q|q|q1·q2練一練：已知{an}是等比數(shù)列，若a2＝2，a3a5＝16，則a6＝(

)A．6 B．8C．±6 D．±8[解析]

由等比數(shù)列的性質(zhì)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，可得a2a6＝a3a5＝16，代入計(jì)算得a6＝8.故選B.B

在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為(

)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無(wú)法確定單調(diào)性解得q＝2.又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．題型探究題型一等比數(shù)列的單調(diào)性典例1A[規(guī)律方法]

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，公比影響數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)：一般地，q>0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)相同；q<0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)正負(fù)交替．

在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無(wú)法確定單調(diào)性對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?D題型二等比數(shù)列的性質(zhì)

已知{an}為等比數(shù)列．(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．典例2(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.[規(guī)律方法]

靈活應(yīng)用性質(zhì)，能極大地提高我們的計(jì)算速度，當(dāng)然本題也可采用基本量法．

(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝_______；(2)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝___________；(3)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝_______.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?251或6450[解析]

(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝lna1＋lna2＋…＋lna20，則2S＝(lna1＋lna20)＋(lna2＋lna19)＋…＋(lna20＋lna1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20lne5＝100，所以S＝50.題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用A．3個(gè) B．4個(gè)

C．5個(gè) D．6個(gè)典例3A[解析]

①{anan＋1}是首項(xiàng)為a1a2，公比為q2的等比數(shù)列．②當(dāng)q≠－1時(shí)，{an＋an＋1}是等比數(shù)列，但當(dāng)q＝－1時(shí)，{an＋an＋1}不是等比數(shù)列；③當(dāng)q≠1時(shí)，{an＋1－an}是等比數(shù)列，但當(dāng)q＝1時(shí)，{an＋1－an}不是等比數(shù)列；[規(guī)律方法]

由等比數(shù)列構(gòu)造新的等比數(shù)列，一定要檢驗(yàn)新的數(shù)列中的項(xiàng)是否為0.

設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，Ai是長(zhǎng)、寬分別為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件為(

)A．{an}是等比數(shù)列B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?D題型四等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用典例4A[分析]

建立等比數(shù)列模型?運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．[解析]

依題意13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，則a13＝a1q12，[規(guī)律方法]

關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型，其次分析等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算解題．A．300元 B．900元C．2400元 D．3600元對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?C(2)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(

)(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年C(2)由已知可得130×(1＋12%)n－1≥