寒假高中知識點-計數(shù)

智建領(lǐng)航者智建領(lǐng)航者§10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題．基本形式一般形式區(qū)別分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法微思考1．在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成這件事的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理．2．兩種原理解題策略有哪些？提示①明白要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；③有無特殊條件的限制；④檢驗是否有重復(fù)或遺漏．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(×)題組二教材改編2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A．12B．8C．6D．4答案C解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、第二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6，故選C.3．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．10答案C解析將4個門編號為1,2,3,4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進入，同樣各有3種走法，共有不同走法3×4＝12(種)．4.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為________．答案9解析分三類：第一類，從第1層取一本書有4種取法，第二類，從第2層取一本書有3種取法，第三類，從第3層取一本書有2種取法．共有4＋3＋2＝9(種)取法．題組三易錯自糾5．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24B．18C．12D．6答案B解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù)．6．某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有_______種．答案243解析因為每個郵件選擇發(fā)的方式有3種不同的情況．所以要發(fā)5個電子郵件，發(fā)送的方法有3×3×3×3×3＝35＝243(種).題型一分類加法計數(shù)原理1．滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14B．13C．12D．10答案B解析方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的情況應(yīng)分類討論．①當(dāng)a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解．此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對．②當(dāng)a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2)．a(chǎn)≠0時，(a，b)共有3×4＝12(個)實數(shù)對，故a≠0時滿足條件的實數(shù)對有12－3＝9(個)．所以滿足題意的有序數(shù)對共有4＋9＝13(個)．2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標(biāo)，則這樣的點的個數(shù)是()A．9B．14C．15D．21答案B解析當(dāng)x＝2時，x≠y，點的個數(shù)為1×7＝7.當(dāng)x≠2時，由P?Q，∴x＝y(tǒng).∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法．因此滿足條件的點共有7＋7＝14(個)．3．如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個．答案12解析當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況．當(dāng)有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當(dāng)有三個2,3,4時：2221,3331,4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果．思維升華分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置．(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．題型二分步乘法計數(shù)原理例1(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9答案B解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.(2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有____種不同的報名方法．答案120解析每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．1．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．2．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．思維升華(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．跟蹤訓(xùn)練1(1)從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是()A．30B．42C．36D．35答案C解析因為a＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．(2)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圓的個數(shù)為()A．7B．9C．12D．16答案C解析得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有3種選法；第二步：確定b有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×4＝12(個)．題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例2(1)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．120B．140C．240D．260答案D解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．故選D.(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60B．48C．36D．24答案B解析一個長方體的面可以和它相對的面上的4條棱和兩條對角線組成6個“平行線面組”，一共有6個面，共有6×6＝36(個)．長方體的每個對角面有2個“平行線面組”，共有6個對角面，一共有6×2＝12(個)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知：共有36＋12＝48(個)．(3)用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成_______個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答)答案420解析要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步．①第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0,2,4,6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．思維升華利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個計數(shù)原理求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·鄭州質(zhì)檢)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為()A．72B．120C．192D．240答案D解析將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)．(1)若末位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60(種)情況；(2)若末位數(shù)字為6，同理有60種情況；(3)若末位數(shù)字為4，因為有兩個相同數(shù)字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(種)情況．綜上，共有60＋60＋120＝240(種)情況．(2)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是()A．8B．12C．16D．18答案C解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1－A1ABB1，D1－A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E和D1一樣，有2×4＝8(個)，當(dāng)A1ACC1為底面矩形時，有4個滿足題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形時，有4個滿足題意，故共有8＋4＋4＝16(個)．課時精練1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A．3B．4C．6D．8答案D解析以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8；以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9；把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2×(2＋1＋1)＝8(個)．2．(2020·西安模擬)將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個不同的社區(qū)服務(wù)，不同的分配方案有()A．12種B．9種C．8種D．6種答案C解析每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的分配方案總數(shù)為23＝8(種)．3．(2021·保定質(zhì)檢)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．6種C．10種D．16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．4．(2020·凌源模擬)中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)都選取到喜歡的禮物，則不同的選法有()A．30種B．50種C．60種D．90種答案B解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選擇，丙有10種選擇，選法有1×2×10＝20(種)；②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選擇，丙有10種選擇，選法有1×3×10＝30(種)，所以總共有20＋30＝50(種)選法．5．(2021·安陽模擬)如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有()A．120種B．260種C．340種D．420種答案D解析由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種)．6．(2021·衡陽模擬)若a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，則y＝eq\f(b,a)x表示不同直線的條數(shù)為()A．8B．11C．14D．16答案B解析若使eq\f(b,a)表示不同的實數(shù)，則當(dāng)a＝1時，b＝1,2,3,4；當(dāng)a＝2時，b＝1,3；當(dāng)a＝3時，b＝1,2,4；當(dāng)a＝4時，b＝1,3.故y＝eq\f(b,a)x表示的不同直線的條數(shù)共有4＋2＋3＋2＝11.7．李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù)，甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分別去了這四家超市配送，那么整個5月他不用去配送的天數(shù)是()A．12B．13C．14D．15答案B解析將5月份的30天依次編號為1,2,3，…，30，因為甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分別去了這四家超市配送，所以李明去甲超市的天數(shù)編號為：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號為：5,9,17,21,29，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號為：8,15，共2天．所以李明需要配送的天數(shù)為10＋5＋0＋2＝17，所以整個5月李明不用去配送的天數(shù)是30－17＝13.8．(多選)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，則對于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的說法正確的是()A．可表示3個不同的圓 B．可表示6個不同的橢圓C．可表示3個不同的雙曲線 D．表示焦點位于x軸上的橢圓有3個答案ABD解析當(dāng)m＝n>0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示圓，故有3個，選項A正確；當(dāng)m≠n且m，n>0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示橢圓，焦點在x，y軸上的橢圓分別有3個，故有3×2＝6(個)，選項B正確；若橢圓的焦點在x軸上，則m>n>0，當(dāng)m＝4時，n＝2,3；當(dāng)m＝3時，n＝2，即所求的橢圓共有2＋1＝3(個)，選項D正確；當(dāng)mn<0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，故有3×1＋1×3＝6個，選項C錯誤．9．如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的閉合方式共有________種．答案21解析根據(jù)題意，若電路接通，則開關(guān)1,2與3,4,5中都至少有1個閉合，對于開關(guān)1,2，共有2×2＝4(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個閉合的有4－1＝3(種)情況，對于開關(guān)3,4,5，共有2×2×2＝8(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個閉合的有8－1＝7(種)情況，則電路接通的情況有3×7＝21(種)．10．(2020·石家莊模擬)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只填入一個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有________種．答案576解析依題意可分為以下3步：(1)先從16個格子中任選一格放入第一個漢字，有16種方法；(2)任意的兩個漢字既不同行也不同列，第二個漢字只有9個格子可以放，有9種方法；(3)第三個漢字只有4個格子可以放，有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．11．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．答案36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．12．我市VR大會展廳前廣場改造，在人行道(斑馬線)兩側(cè)劃分5塊區(qū)域(如圖)，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉，要求每塊區(qū)域隨機種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的區(qū)域)所選花卉顏色不能相同，則不同的擺放方式共有________種．答案288解析根據(jù)題意，對于區(qū)域①②，可以在4種顏色中任選2種，有4×3＝12種選法；對于區(qū)域③④⑤，可以在4種顏色中任選3種，有4×3×2＝24種選法，則不同的擺放方式有12×24＝288(種)