新教材適用2024版高考數(shù)學二輪總復習第1篇核心專題提升多維突破專題4立體幾何第4講空間向量與距離探究性問題課件

第一篇核心專題提升?多維突破專題四立體幾何第4講空間向量與距離、探究性問題分析考情·明方向真題研究·悟高考考點突破·提能力分析考情·明方向高頻考點高考預測距離問題高考對此部分內容主要以解答題的形式考查，常以多面體為載體，題目與距離問題、折疊問題、探索問題相結合命題.翻折問題探索性問題

真題研究·悟高考C(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．【解析】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，設點A到平面A1BC的距離為h，(2)取A1B的中點E，連接AE，如圖，因為AA1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則A(0,2,0)，A1(0,2,2)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，所以A1C的中點D(1,1,1)，設平面ABD的一個法向量m＝(x，y，z)，設平面BDC的一個法向量n＝(a，b，c)，3.(2023·全國甲卷文科)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【解析】(1)證明：∵A1C⊥底面ABC，BC?面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1，又BC?平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C?平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB＝A1B，BC＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C＝AC，∵A1C⊥底面ABC，AC?面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2＋AC2＝A1A2，∵AA1＝2，過A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C＝A1C1，∴O為CC1的中點，由(1)可知A1O⊥平面BCC1B1，∴四棱錐A1－BB1C1C的高為1.4.(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當B1D為何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？【解析】(1)證明：連接AF，∵E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABC－A1B1C1的棱AC和CC1的中點，且AB＝BC＝2，∴AC2＝AB2＋BC2，即BA⊥BC，故以B為原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(0,2,1)，設B1D＝m(0≤m≤2)，則D(m,0,2)，(2)∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一個法向量為m＝(1,0,0)，令x＝3，則y＝m＋1，z＝2－m，∴n＝(3，m＋1,2－m)，考點突破·提能力核心考點1點到直線的距離核心知識·精歸納點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外的一點．典例研析·悟方法 (1)已知直線l的方向向量為a＝(1,0,1)，點A(1,2，－1)在l上，則點P(3,1,1)到l的距離為(

)典例1B(2)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則線段AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值為(

)D【解析】方法一：線段AD1上的動點P到直線A1C1的距離的最小值等價于異面直線AD1、A1C1間的距離d，方法二：如圖建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，方法技巧·精提煉用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．提醒：平行直線間的距離轉化為點到直線的距離求解．加固訓練·促提高1.已知直線l過點A(1，－1，－1)，且方向向量為m＝(1,0，－1)，則點P(1,1,1)到l的距離為(

)B2.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為平面A1ABB1的中心，E為BC的中點，求點O到直線A1E的距離．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，核心考點2點到平面的距離核心知識·精歸納平面外一點P到平面α的距離(1)求證：PH⊥AC；(2)求點P到平面DEH的距離．典例研析·悟方法典例2【解析】(1)證明：∵△PAB為正三角形，AB＝2，∴PB＝AB＝2，∴根據(jù)勾股定理得BC⊥PB，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，∵PB，AB?面PAB且交于點B，∴BC⊥面PAB，∵BC?面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，∵H為AB的中點，△PAB為正三角形，∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴PH⊥AC.(2)取CD中點F，以H為原點，HA為x軸，HF為y軸，HP為z軸，建立空間直角坐標系，方法技巧·精提煉用向量法求點面距離的步驟(1)建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標．提醒：線到面的距離、面與面的距離轉化為點到面的距離求解．加固訓練·促提高1.如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，則點B到平面EFG的距離為______.【解析】因為CG⊥平面ABCD，CD，CB?平面ABCD，所以CG⊥CD，CG⊥CB，因為CD⊥CB，所以以C為原點，CD，CB，CG所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，【解析】∵A1B1∥AB，A1B1?平面ABE，AB?平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距離就是點A1到平面ABE的距離．如圖，以D為坐標原點，核心考點3空間中的探索性問題核心知識·精歸納與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設出關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．典例研析·悟方法典例3(1)求證：EF⊥平面BCF；【分析】

(1)求出AC⊥BC，AC⊥CF，由此能證明EF⊥平面BCF，由線面垂直的性質定理即可得證；(2)以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【解析】(1)證明：∵AD＝CD＝BC＝1，AB∥CD，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝120°，∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，∵CF∩BC＝C，CF、BC?平面BCF，∴AC⊥平面BCF，∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.以C為坐標原點，分別以直線CA，CB，CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，方法技巧·精提煉空間角存在性問題的解題策略借助于空間直角坐標系，把幾何對象上動態(tài)點的坐標用參數(shù)(變量)表示，將幾何對象坐標化，這樣根據(jù)所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組．若方程或方程組在題設范圍內有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設范圍內無解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在．加固訓練·促提高(2023·定遠縣校級模擬)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PB＝PD，PA⊥AC.(1)證明：PA⊥平面ABCD；【解析】(1)證明：連接BD交AC于O，連接PO.因為底面ABCD是邊長為2的菱形，所以BD⊥AO，因為O是BD中點，PB＝PD，所以BD⊥PO.因為AO∩PO＝O，AO，PO?平面PAO，所以BD⊥平面PAO，因為PA?平面PAO，所以BD⊥PA.