專(zhuān)題24.14 圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（人教版）（原卷版）

專(zhuān)題24.14圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明】 1【題型2圓周角定理有關(guān)的計(jì)算與證明】 3【題型3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 4【題型4由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求最值】 6【題型5由圓的對(duì)稱(chēng)性求最短路線問(wèn)題】 7【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】 9【題型7正多邊形與圓】 10【題型8圓錐側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算】 11【題型9動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度計(jì)算】 12【題型10動(dòng)態(tài)圖形的掃過(guò)的面積的計(jì)算】 14【題型1切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)?！纠?】（2023秋·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，∠FAC=12∠BDC．

(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若BC=6，AB=10，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【變式1-1】（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為弦BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與OD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接BE．(1)求證：BE是圓O的切線；(2)當(dāng)AB=10，AC=8時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)．【變式1-2】（2023秋·湖北·九年級(jí)期末）AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半徑．【變式1-3】（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖1，在⊙O中，點(diǎn)H是直徑AB上的一點(diǎn)，過(guò)H點(diǎn)作弦CD⊥AB，點(diǎn)E是BAD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BD的平行線交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BE，交CD于點(diǎn)G．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）求證：BD+EF=DF；（3）如圖2，連接DE，若BDBG=k，則當(dāng)k為何值時(shí)，線段【題型2圓周角定理有關(guān)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑?！纠?】（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京八中?？计谥校┤鐖D，已知：過(guò)⊙O上一點(diǎn)A作兩條弦AB、AC，且∠BAC=45°，(AB，AC都不經(jīng)過(guò)O)過(guò)A作AC的垂線AF交⊙O于D，直線BD，AC交于點(diǎn)E，直線BC，DA交于點(diǎn)F．

(1)證明：BE=BF；(2)探索線段AB、AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式2-1】（2023秋·湖北·九年級(jí)期末）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式：；(2)如圖②，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式2-2】（2023秋·山西朔州·九年級(jí)校考期中）如圖，BD是⊙O的直徑，弦BC與OA相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．

(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)求AC的長(zhǎng)度；(3)判定四邊形AFBC的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式2-3】（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四邊形ABCD的一個(gè)外角．(1)若∠DAE=75°，則∠DAC=°；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，判斷AB、(3)若AB=6、AE=2，求【題型3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。纠?】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為5厘米，AB=8厘米．若從日前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為8分鐘，則①現(xiàn)在“圖上”太陽(yáng)與海平線的位置關(guān)系是；②“圖上”太陽(yáng)升起的平均速度為厘米/分．【變式3-1】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校┪沂性趧?chuàng)建全國(guó)文明城市檢查中，發(fā)現(xiàn)一些破舊的公交車(chē)候車(chē)亭有礙觀瞻，現(xiàn)已更換新的公交候車(chē)亭(圖1)，圖2所示的是側(cè)面示意圖，F(xiàn)G為水平線段，PQ⊥FG，點(diǎn)H為垂足，F(xiàn)G=4m，F(xiàn)H=2.4m，點(diǎn)P在弧FG上，且弧FG所在的圓的圓心O到FG，PQ的距離之比為5：2，則PH的長(zhǎng)約為多少米？

【變式3-2】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)校考期中）如圖這是我市某跨海大橋正側(cè)面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面AB長(zhǎng)為800米，且與水面平行，小王用計(jì)算機(jī)根據(jù)照片對(duì)大橋進(jìn)行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點(diǎn)P，在橋面AB上取點(diǎn)C，作射線PC交弧（主橋拱）于點(diǎn)D，右邊畫(huà)出了PC與PD關(guān)于AC長(zhǎng)的函數(shù)圖象，下列對(duì)此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點(diǎn)與橋面AB的實(shí)際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面EF的實(shí)際長(zhǎng)度約為500米C．拍攝照片時(shí)，橋面離水面的實(shí)際高度約為110米D．橋面上BF段的實(shí)際長(zhǎng)度約200米【變式3-3】（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）“筒車(chē)”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．如圖，“筒車(chē)”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【題型4由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求最值】【方法點(diǎn)撥】解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【例4】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B0,2+t，C0,2-t(t>0)，點(diǎn)P在以D6,6為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿(mǎn)足∠BPC=90°【變式4-1】（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最小值為．【變式4-2】（2023秋·山東泰安·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)P(3，4)，⊙P半徑為2，A(2.5，0)，B(5，0)，點(diǎn)A．32 B．52 C．72【變式4-3】（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)平輿縣第二初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC,則線段CP的最小值為．【題型5由圓的對(duì)稱(chēng)性求最短路線問(wèn)題】【例5】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10，AC=CD=DB，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，M是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BOE=60°；②∠CED=12∠AOD；③DM⊥CE；④【變式5-1】（2023秋·安徽淮北·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB是⊙O的直徑，AB=2，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，D為弧BC的中點(diǎn)，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（

）A．22 B．2 C．1 D．【變式5-2】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是半圓O上的兩點(diǎn)，MN是直徑，OB⊥MN．若AB=4，OB=5，P是MN上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．【變式5-3】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)校考期末）（1）如圖①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5．尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O，并直接寫(xiě)出△ABC的外接圓半徑（2）如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值．（3）如圖③所示，AB，AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所對(duì)的圓心角為60°，新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB，AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F，也就是，分別在BC、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F．由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本．要使得線段PE、EF【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】【方法點(diǎn)撥】三角形的內(nèi)切圓及有關(guān)概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的各邊的距離都相等．【例6】（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長(zhǎng)是（

）A．1277 B．1077 C．【變式6-1】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其內(nèi)切圓半徑最小的是（

）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10【變式6-2】（2023秋·河南漯河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，則⊙O的半徑是．

【變式6-3】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是△ABD的內(nèi)切圓的圓心，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E、F，則四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比等于（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．無(wú)法確定【題型7正多邊形與圓】【方法點(diǎn)撥】定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！纠?】（2023秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)大正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則小正六邊形的邊長(zhǎng)是（

）A．3-3 B．23-12 C．【變式7-1】（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG（

）

A．32 B．32 C．23【變式7-2】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則EFGH的值是（A．62 B．2 C．3 D．【變式7-3】（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是正八邊形ABCDEFGH的外接圓，⊙O的半徑是1，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是．①DF的長(zhǎng)為π2；②DF=2OF；③ΔODE【題型8圓錐側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決此類(lèi)問(wèn)題掌握?qǐng)A錐側(cè)面積的計(jì)算公式是關(guān)鍵，并且能夠靈活運(yùn)用.【例8】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）小華的爸爸要用一塊矩形鐵皮加工出一個(gè)底面半徑為20cm，高為402(1)你能求出這個(gè)錐形漏斗的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角嗎？(2)如圖，有兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你計(jì)算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？【變式8-1】（2012春·湖南永州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=6,以A為圓心，AD為半徑的圓與BC邊相切于點(diǎn)M，于AB交于點(diǎn)E，將扇形A-DME剪下圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為.【變式8-2】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一張直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若將該卡片繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體的表面積為cm2．

【變式8-3】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在一張四邊形ABCD的紙片中，AB∥DC，AD=AB=BC=22，∠D=45°，以點(diǎn)A為圓心，2(1)求證：DC與⊙A相切；(2)過(guò)點(diǎn)B作⊙A的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(3)若用剪下的扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面？【題型9動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度計(jì)算】【例9】（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=135°，且AB=2，AD=42．以B為圓心，BC為半徑作弧，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)Q為弧EC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)I為△BQH的內(nèi)心，連接BI，QI，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，則內(nèi)心I【變式9-1】（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠ABC=90°，AB=10，BC=5，半徑為2的⊙O從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是．

【變式9-2】（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊長(zhǎng)為4cm、寬為3cm的矩形木板在桌面上按順時(shí)針?lè)较驘o(wú)滑動(dòng)地翻滾，木板上頂點(diǎn)A的位置變化為A→A1→A2，其中，第二次翻滾時(shí)被桌面上一個(gè)小木塊擋住，使木板邊沿A2C

A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm【變式9-3】（2023·浙江溫州·?？既＃﹫D1是掛桶式垃圾車(chē)的聯(lián)動(dòng)裝置，通過(guò)鋼軸先后作兩次旋轉(zhuǎn)移動(dòng)垃圾桶，實(shí)現(xiàn)對(duì)垃圾桶提升和翻