巖石損傷摩擦耦合模型

巖石損傷摩擦耦合模型

1細觀損傷模型微裂紋的起源、發(fā)展和連接被認為是導致巖石和巖石材料破壞和破壞的最重要的力學機制。與此同時，損傷的發(fā)展又會影響巖石類材料的水力學和熱力學特性，如滲流和熱傳導等。對巖石在應(yīng)力作用下的力學行為的模擬通常采用宏觀連續(xù)損傷力學模型(CDM)。通過引入二階或四階張量損傷變量，CDM模型能夠描述材料應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系的非線性和損傷的各向異性。但是，這類模型尚難以考慮試驗中的一些重要物理現(xiàn)象，如裂紋閉合效應(yīng)、損傷和摩擦的耦合、脆性和延性的轉(zhuǎn)變以及裂紋之間的相互作用等，因此需要構(gòu)建新的基于機理分析的力學模型。近年來，在運用細觀力學方法模擬巖石等準脆性材料的力學損傷方面有了顯著的進展。通過考慮材料細觀結(jié)構(gòu)的變化，這類模型為描述材料各向異性力學損傷及其衍生的物理現(xiàn)象提供了新的方向。但是，已有的模型基本上是在線彈性斷裂力學的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，因此其材料的有效特性(如彈性張量)并不是基于嚴格的均勻化方法得到的。本文認為巖石是由固體基質(zhì)和其中的細觀裂紋構(gòu)成的非均勻材料。微裂紋被近似為幣形夾雜體(penny-shapedinclusion)，進而運用Eshelby夾雜問題解來構(gòu)建新的巖石細觀力學損傷摩擦耦合模型。通過把細觀力學分析嵌入熱動力學框架，能夠較為容易地實現(xiàn)數(shù)值程序的研制。用提出的細觀損傷模型模擬了大理巖常規(guī)三軸試驗。研究結(jié)果表明，預(yù)測值和試驗值之間有較好的一致性，從而驗證了本文提出的細觀力學模型的合理性和有效性。2線性質(zhì)素—基本原理細觀力學方法著眼于通過材料的細觀結(jié)構(gòu)研究材料的宏觀力學行為。為此，通常采用從細觀到宏觀的研究路徑。假設(shè)巖粒的尺寸為l，巖體結(jié)構(gòu)為L，具有邊界面??的特征單元體(REV)的尺度為a，三者應(yīng)滿足下面條件：對于巖石類材料，本文認為REV是由巖體基質(zhì)(彈性張量，Cs)和其中的微裂紋(彈性張量，Cc)構(gòu)成的非均勻基質(zhì)–夾雜系統(tǒng)(如圖1所示)。對這一系統(tǒng)的細觀力學分析可以借助于Eshelby夾雜問題的基本解。假設(shè)巖石中的所有細觀裂紋均具有錢幣型(penny-shaped)的幾何形狀。定義具有相同法向的裂紋為一族，用單位法向向量n表示。裂紋面的半徑和半開度分別用r和c來表示。比率X=c/r滿足條件X≤1。相應(yīng)的體積分率?可以被近似為式中：N為單位體積的裂紋數(shù)量；d為裂紋密度參數(shù)，且d=Nr3(由Budiansky和O′Connell引入)。參數(shù)d作為損傷內(nèi)變量被廣泛運用于細觀損傷力學模型中。根據(jù)線彈性均勻化方法的基本理論，特征單元體內(nèi)的局部應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系可視為線彈性，且有σ(z)=C(z):ε(z)(z∈?)。假設(shè)在REV的邊界面存在宏觀均勻應(yīng)變E并滿足位移邊界條件：局部應(yīng)變張量ε(z)通過應(yīng)變局部化張量Α(z)與宏觀應(yīng)變E線性關(guān)聯(lián)：由式(4)及宏觀應(yīng)力張量Σ和局部應(yīng)力σ(z)在?內(nèi)的關(guān)系式σ=Σ，得到宏觀的應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系Σ=Chom:E，其中有效彈性張量Chom寫為由式(4)并考慮到ε=E，得到Α=I(I為四階單位張量)。式(5)可以進一步表示為式中：?i為特征單元體?中第i相所占空間相對于?的體積分率(volumefraction)，iΑ為第i相內(nèi)應(yīng)變局部化張量A(z)的平均值。對于含有獨立的橢圓體形裂紋且滿足應(yīng)變邊界條件式(1)的無窮大的固相基質(zhì)，Αi表示為式中：SE為Eshelby張量，僅取決于夾雜體的幾何形狀和基質(zhì)的材料特性，并通過SE=PE:Cs和Hill張量EP相聯(lián)系。在裂紋張開情況下，Cc=0，裂紋內(nèi)的局部應(yīng)力為0，式(7)簡化為把式(8)和式(2)代入式(6)，得其中，有關(guān)研究給出了四階張量Τ的非零分量。Q.Z.Zhu導出了在Walpole四階張量基中Τ的表達式。需要指出的是，由Eshelby解直接得到的有效彈性張量式(9)為N族裂紋的簡單疊加，沒有考慮裂紋空間分布的影響和不同族裂紋之間的相互作用。因此，在建立模型的過程中，可以采用先研究一族裂紋而后擴展到多族裂紋的研究路徑。3含單族裂紋特征單元體的宏觀自由能用S表示一族具有相同法向向量n的裂紋所占的空間。S+和S-分別表示裂紋的上和下表面。上、下表面S+和S-之間的位移不連續(xù)用[u]來表示。這樣，裂紋的單邊不連續(xù)條件表示為式中：σnc和[un]分別為裂紋內(nèi)局部應(yīng)力σc和不連續(xù)位移的法向分量。由于裂紋的存在(具體來說是位移場的不連續(xù)[u])引起的非彈性應(yīng)變可以用下式表示：通過把不連續(xù)位移[u]作如下分解[u]=[un]n+[ut]，本文定義變量β和γ來描述裂隙的不連續(xù)狀態(tài)：式(13)中，標量β和向量γ分別用來衡量裂紋的張開程度和描述裂隙面的剪切滑移。相應(yīng)地，裂紋引起的應(yīng)變Ec也可表示為變量β和γ函數(shù)，即另一方面，根據(jù)均勻化原理，一族裂紋引起的應(yīng)變也可以通過局部化張量A在固相基質(zhì)–夾雜(裂紋)系統(tǒng)中加以確定：由式(14)和(15)所描述物理對象的同一性，可以得到下面的等式，即為了確定宏觀自由能的表達式，還需要建立應(yīng)變Ec和局部應(yīng)力σc之間的關(guān)系，為此將采用J.F.Barthelemy等建議的問題分解方法(如圖2所示)。初始問題(P)根據(jù)局部應(yīng)力σc被分解為子問題PI和PII。需要指出的是，圖2所示的分解過程符合疊加原理，即初始問題(P)中的各物理量等于子問題PI和PII中的相應(yīng)量之和。對于子問題PI，注意到此時作用在特征單元體邊界??的宏觀均勻應(yīng)變?yōu)镋c-Ss:σc，而裂隙內(nèi)局部應(yīng)力為0。根據(jù)單邊不連續(xù)條件式(11)，并利用式(4)，裂隙引起的應(yīng)變寫為相應(yīng)地，宏觀的應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系表示為式中：Chom為有效彈性張量，且Chom=Cs(I-?Ac)。在子問題PII中，應(yīng)力的分布是均勻的，即根據(jù)疊加原理Σ=σI+σII，利用式(17)～(19)得到將式(20)代入式(17)，并把裂紋引起的應(yīng)變統(tǒng)一表示為Epl(由裂隙引起的應(yīng)變，有些作者也稱其為摩擦型塑性應(yīng)變)，可以得到下面的關(guān)系式：其中，需要強調(diào)的是，上述公式推導的過程具有一般性，并不需要根據(jù)局部應(yīng)力σc先判斷裂紋的張開或閉合狀態(tài)。事實上，當σc=0即裂紋張開時，通過將式(17)～(19)的σc取0，可以再次得到節(jié)2中的有效彈性張量Chom。據(jù)Q.Z.Zhu的研究成果，含單族裂紋的特征單元體的自由能表示為如下一般形式：式(23)表明，總自由能W可以看作基質(zhì)的彈性能以及裂隙的非彈性能之和。記(其中，E0和0v分別為材料在無損狀態(tài)下的楊氏模量和泊松比)，則Cpl可表示為定義Δ=n?n，四階張量E2和E4的分量分別為4模型建設(shè)4.1非彈性應(yīng)變epl與相關(guān)聯(lián)的熱力強度為了便于數(shù)值程序的研制，模型的構(gòu)建基于熱動力學的基本理論。通過對自由能W關(guān)于Epl求導，本文得到與非彈性應(yīng)變Epl相關(guān)聯(lián)的熱力學力Fpl:用同樣的方式，分別確定與變量β和γ相關(guān)聯(lián)的熱力學力Fβ和Fγ：由式(26)可知，所獲得的裂紋張開/閉合準則σc:(n?n)=0等價于Fβ=0。根據(jù)式(26)和裂隙內(nèi)局部應(yīng)力的連續(xù)性，可以得到下面的裂隙張開閉合臨界條件：與損傷變量D相關(guān)聯(lián)的熱力學力FD表示為4.2基于接觸問題的非動態(tài)應(yīng)變摩擦法由于在壓應(yīng)力加載條件下，準脆性巖石材料的破壞以壓剪為主，因此采用庫侖型準則是合適的。在裂紋面內(nèi)局部應(yīng)力均勻分布的假設(shè)下，庫侖準則臨界條件的滿足與否也是均勻的。在細觀尺度下，借助于局部應(yīng)力的法向分量σnc=σc:(n?n)和切向分量τ=σc?n?(δ-n?n)，并考慮材料非彈性應(yīng)變引起的強化，庫侖型滑動摩擦準則fs表示為式中：ηc和α分別為裂紋面的摩擦系數(shù)和強化函數(shù)。在應(yīng)變空間，式(31)可表示為式(32)表明，本文建議的庫侖型滑動摩擦準則考慮了非彈性應(yīng)變和損傷的耦合。另外，庫侖準則式(31)包含了裂紋內(nèi)局部應(yīng)力的法向分量σc:(n?n)或Fβ，因此能夠反映靜水壓力對材料力學行為的影響。本文認為材料非彈性應(yīng)變主要是由裂紋面的剪切滑移引起的，因此可以定義α為裂隙等效剪切應(yīng)變γp的函數(shù)，即A.S.Chiarelli等針對黏土的模擬研究以及A.Mohamad-Hussein和J.F.Shao對混凝土三軸試驗結(jié)果的分析表明，對于大多數(shù)巖土材料采用如下指數(shù)型強化函數(shù)是較為合適的，即式中：α0，αf分別為強化函數(shù)的初值和漸近值；1b為控制材料強化速度的模型參數(shù)。大量試驗結(jié)果表明，為了更為準確的描述巖石材料的非彈性應(yīng)變，需要采用非關(guān)聯(lián)的應(yīng)變流動法則。類似于加載函數(shù)式(31)，本文建議采用如下形式的非關(guān)聯(lián)流動法則：式中：χ為體積膨脹系數(shù)，考慮到在常規(guī)三軸試驗中材料隨圍壓增大從脆性向延性變化的特征，χ取如下指數(shù)形式：式中：χ0和χf分別為χ的初值和漸近值。定義裂紋面的滑移方向為υ=ττ，則變量β和γ的變化率可以通過正交準則確定并表示為式中：γλ為塑性乘子，可以用一致性條件(fs=0和fs=0)加以確定。4.3定一個定函數(shù)在熱動力學的框架內(nèi)，損傷準則應(yīng)該是與損傷變量d對應(yīng)的熱力學力Fd的函數(shù)。然而，確定這樣的函數(shù)通常是非常困難的。注意到在式(30)中(H0β2+H1γ?γ)/2是實際上的損傷發(fā)展驅(qū)動力，為此，在本模型中本文采用如下修正的Mazars損傷演化準則：式中：d0和df分別為材料的初始和漸近值；3b為模型參數(shù)，用來控制損傷演化速度。5試驗結(jié)果的初步分析為了驗證所提出的細觀力學損傷模型的合理性和有效性，本文用該模型模擬大理巖在不同圍壓下的常規(guī)三軸試驗。常規(guī)三軸試驗在法國國家科學研究中心里爾力學實驗室完成。試驗考慮了5,10,20和30MPa四種不同的圍壓。對試驗結(jié)果的分析表明該大理巖的力學響應(yīng)對圍壓較為敏感；應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系總體上呈現(xiàn)脆性到延性的轉(zhuǎn)變；由于裂紋面的凹凸不平引起的體積膨脹較為明顯。經(jīng)過對試驗數(shù)據(jù)的分析，該大理巖彈性常數(shù)的平均值為E0=42000MPa和0v=0.23。模型引入的力學參數(shù)均具有明確的物理力學意義，可以通過強度分析結(jié)合數(shù)值模擬方法來確定。加載函數(shù)式(31)或(34)中的模型參數(shù)通過擬合一組常規(guī)三軸試驗的初始屈服曲線和強度曲線來確定；損傷參數(shù)和描述非彈性體積應(yīng)變的模型參數(shù)分別通過常規(guī)三軸試驗應(yīng)力–應(yīng)變曲線的峰后段和應(yīng)力–體積應(yīng)變曲線來確定。材料摩擦系數(shù)取值ηc=0.66，其他模型參數(shù)的取值歸納如下：另外，考慮數(shù)值模擬結(jié)果的準確性和穩(wěn)定性，本研究采用單位球面上具有66個積分點(33個裂紋族)的高斯型數(shù)值積分法。圖3給出了大理巖在不同圍壓下的模擬值和試驗值的比較。結(jié)果顯示兩者之間有較好的一致性，初步驗證了所提出的細觀力學損傷模型的合理性和有效性。由于本模型使用一組標量損傷變量而不是通常的張量變量來描述損傷，因此可以通過構(gòu)建損傷分布函數(shù)來更為準確地描述材料的各項異性損傷狀態(tài)。圖4給出了圍壓為20MPa時應(yīng)力峰值點時的損傷分布玫瑰圖。損傷最大值發(fā)生在法向和軸向約成60°的裂紋面，即破壞角約30°，這和試驗結(jié)果是相符的(見圖5)。6關(guān)于細觀力學損傷模型的構(gòu)建基于均勻化基本理論并通過在巖體基質(zhì)–裂紋系統(tǒng)中運用Eshelby夾雜問題基本解，本文提出了新的細觀力學損傷摩擦耦合模型。熱動力學的建?？蚣苁沟媚Ｐ蛿?shù)值程序的研制較為容易實現(xiàn)。對大理巖在不同圍壓下常規(guī)三軸試驗的模擬驗證模型的合理性和有效性。從該研究得出的主要結(jié)論如下：(1)基于均勻化方法構(gòu)建細觀力學損傷模型的思路是可行的，和通常的宏觀損傷力學模型相比，這類模型體現(xiàn)的力學機制和物理意義更為明確。(2)本