2022年高考數學模擬自測題（根據以往高頻出現知識點編輯）(二)

2022年高考數學模擬自測題(根據以往高頻出現知

識點編輯)_012

單選題(共8個，分值共：)

1、若直線y=2x是曲線)'=—的切線，貝()

A.—eB.—1C.ID.e

答案：B

解析：

函數在某一點的導數，就是該點的切線的斜率，求出直線和曲線的交點，再求該點的導數.

【本題詳解】

?：y-x(e?-a)

y'=(e*-a)+xe'=(1+x)e*-a

y=2x

又'V=x(e,-a)

x(e"-a-2)=0

?'.X=0或e"=a+2>0

又??.y=2x是曲線的切線

當x=0或ev=a+2>0時，都有(l+x)e*_a=2

.?.1-4=2或(l+ln(”2))(a+2)-a=2

:?。二一1或In(a+2)=0

或4+2=1

:.a=-\

所以正確答案為：B

2、設集合A的最大元素為/W,最小元素為m,記A的特征值為若集合中只有一個元素，規(guī)定

其特征值為0.已知A,4,、是集合N*的元素個數均不相同的非空真子集，且

XA+X&+X備+…+XA=12O,則”的最大值為()

A.14B.15C.16D.18

答案：C

解析:

要想”的值大，則特征值要盡可能的小，A,a,A,...,4是集合N*的元素個數均不相同的非空真子

集，不妨令A是只有1個元素的非空真子集，則X”,=°,A是含有兩個元素的非空真子集，則X&=1時

能保證。的值最大，同理可得：X.,=2,以此類推X-="-1,利用等差數列求和公式列出方程，求出〃的

最大值.

【本題詳解】

由題意，要想。的值大，則特征值要盡可能的小，可令X4=°,X-=1,X-=2,L,XA="-1,則

所以正確答案為：C

3、數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思

維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美.平面直角坐標系中，曲線C：M+y2=|H+|H就是一

條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：

①曲線C圍成的圖形的面積是2+匹

②曲線C上的任意兩點間的距離不超過2；

17-5&

③若尸(犯")是曲線C上任意一點，則［3,〃+4〃-12|的最小值是一2—.

其中正確結論的個數為()

A.0B,1c.2D.3

答案：c

解析：

結合已知條件寫出曲線c的解析式，進而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正

方形面積之和，結合數據求解即可；對于②，根據圖像求出曲線C上的任意兩點間的距離的最大值即可判斷;

對于③，將問題轉化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去

半徑即可求解.

【本題詳解】

(X---)2+(y—-)2=—

當連0且#0時，曲線c的方程可化為：2-22.

當X40且時，曲線C的方程可化為：222.

*___)2+()，+:)2=:

當逢0且”。時，曲線C的方程可化為：222.

2

(X_|___)2+(y____)2__

當作0且”。時，曲線C的方程可化為：222,

曲線C的圖像如下圖所示：

由上圖可知，曲線c所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為&的正方形的面積之和,

2

萬4x—^-x—+(>/2)=2+7t

從而曲線C所圍成的面積22,故①正確；

由曲線C的圖像可知，曲線°上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即

—x2+V2=2x/2>2

2故②錯誤;

.13md+—4_〃_一__12__1___13__m_+—4_〃_-__1_2_1______

因為到直線3x+4y-12=0的距離為732+425

所以|3m+4?-12|=5rf(

當d最小時，易知打加，")在曲線C的第一象限內的圖像上,

因為曲線c的第一象限內的圖像是圓心為半徑為〒的半圓,

^13x1.4x1-121_17

所以圓心7?7不io

,7217-5V2―17-572

a.=d----=--------即…-上-54mM―

從而210,故③正確,

所以正確答案為：C.

4、已知函數/(x)=5_e"Vx€(l,-W>)；f(x)<a\nx+a-ex)則實數。的取值范圍是()

A.(-8,1)B.(5%.S,e)D.(-8?

答案：D

解析：

3

由已知得e'-"+a(lnx+l-x)>(),令*(x)=e'-er+a(lnx+1-x),求導，然后分加°和4>°來研究函數

°(x)的取值大于零的情況.

【本題詳解】

由已知ci^x+a-ex>ax-ex,得ev-ex4-a(\nx+1-x)>0,

令夕(x)=eX_e￥+a(lnx+l-x),x>\

d(x)=e，_e+“(91),可得"尸0M產0,

則

(1)當440時，,在。，內)上單調遞增,

(p(x)>^(1)=0,成立;

〃(x)=e，_e+6t(--1)u(x)=e，一鼻

(2)當、>°時,令x則工

心)=e*一=/(x)=e'+?>0

令廠，則

???“'(X)在(1,—)上單調遞增，:.u'(x)>u'(\)=e-a

①當時,w,(x)>w,(l)=e-a>0

?1"(X)在(1，+00)上單調遞增，，〃(?，"⑴二。

???*(x)在(L+co)上單調遞增，"(x)>奴1)=0,成立;

uf(^-)=J-e>0

②當a>e時，"'⑴=e-a<0.

???3x0e(l,^),wXxo)=O

當xw(l,%)Mx)v°,"(x)在(I，%)上單調遞減,

即“(X)在(1"°)上單調遞減，

此時有夕'(幻<”⑴=0,，(x)在(1"。)上單調遞減，

“(幻<奴1)=0,矛盾；

綜上“4e.

所以正確答案為：D.

X2y2

萬r?E：—yd-=1(6?>/?>0)AMXrr1-

5、已知石，尸2分別是橢圓?及的左、右焦點，若在橢圓E上存在點例，使得△“百尸2

的面積等于2〃sin入，則橢圓E的離心率。的取值范圍為()

4

答案：A

解析：

根據給定條件用/表示出?“丹川”鳥?,再結合橢圓定義并借助均值不等式計算作答.

【本題詳解】

依題意，S/Jl岬?|姐曲5叫=2〃sin"M&而s-">0,

則有1用片HMF?1=4〃，由橢圓定義知：2amMF1|+1g|22J|崢|?|螭|=46,

當且僅當1"片1=1"行1=2〃，即4=?時取

Ye—=^,旦e<l

于是有。2,則?Va2,又e<l,即有2,

商

所以橢圓E的離心率e的取值范圍為L<

所以正確答案為：A

【點睛】

方法點睛：求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見方法：①求出a，c,代入公式；

②只需要根據一個條件得到關于a，b,c的齊次式，結合從=d-c2轉化為0,c的齊次式，然后等式（不等

式）

2

兩邊分別除以a或。一轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

6、已知'eN*,數列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,1,2,4,…，2',2",...

2,1,…的前”項和為S”，若S.>2（）22,則"的最小值為（）

A.81B.90C.100D.2021

答案：B

解析：

將數列排成楊輝三角的形式，得到各行所有數的項及其和的通項公式，再求前/行的數的和求解.

【本題詳解】

依題意，把數列排列成如下所示的形式：

第1行1

第2行1,2,1

第3行1,2,4,2,1

第4行1,2,4,8,4,2,1

5

第i+1行1,2,4,2',…，4,2,1

可知此數列第1行有1項，第2行有3項，第3行有5項，...，第i行有2iT項，

前i行共有1+3+5+…+（2i—l）=/項.

設第i行的2iT個數的和為幻

貝lj4=1+2+4+…+2"'+2?！?4+2+1=2，-1+2，T-1=3x2*'-2

則前i行的和S-=仄+b2+a+???+",

=3X（2°+2'+22+---+2W）-2Z

=3（2,-l）-2i=3x2,-2z-3

910

所以SXI=S*=3x2-2x9-3=1515<2022S1（x）==3x2-2x10-3=3049>2022

7

又581+1+2+4+---+2=1515+255=1770<2022,

Sxi+1+2+4+…+2*=1515+511=2026>2022,81+9=90,

所以n的最小值為90.

所以正確答案為：B

log（）5x,x>0,

?。?\<o

7、設函數》若任意給定的'"右（°，2）,都存在唯一的非零實數%滿足

/（/（與））=-2?2.+皿，則正實數。的取值范圍為（）

A.MB.Me.叫.（。,2）

答案：A

解析：

結合函數/（X）的圖象及值域分析，當-2/加+卬*2-1時，存在唯一的非零實數%滿足

/（/（%））=一為2療+，〃〃，然后利用一元二次不等式的性質即可得結論.

【本題詳解】

log05x,x>0

/W=-

一］H—,x<0/、

解：因為X,所以由函數/（X）的圖象可知其值域為R,

6

又"X）=T+《（X<0）時，值域為ST；/（X）=1。&"（x>O）時，值域為R,

所以人功的值域為（-°°，T）時有兩個解，

令f=/（而），IjliJ/（，）=-2.a2m2+am,

若存在唯一的非零實數詢滿足〃/（%））=—?病+S”，則當此一1時，，=〃％）,，與%一—對應，

要使/（，）=-2?2"+<7〃7（rS1-i）也——對應，則-2/,/+功力2-1,a>0,任意，”e（0,2）,即

（ma-1）（2/776/+1）<0

因為2m1+1>0,

所以不等式等價于〃也一1《°,即（機人叫

111

ClW

因為加40,2）,所以加2,所以-2,又。>0,

（o，；

所以正實數。的取值范圍為I2」.

所以正確答案為：A.

8、已知圓°32+y2=2,A8為圓。上兩個動點，且M8|=2,M為弦A8的中點，°（技"石,"+3

當A,8在圓°上運動時，始終有/CMQ為銳角，則實數，，的取值范圍是（）

A.（^?,-3）U（l,+℃>）

B（y,-2）U（0,田）

C.（-31）

D.（-2,0）

答案：A

7

解析：

先確定點板是在以。為圓心，1為半徑的圓上，根據當4B在圓°上運動時，始終有/CMD為銳角，可知

點以應在以CD的中點N為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關于參數"的不等式，即可求得答案.

【本題詳解】

連接0M，則IOM1=x/2-1=1,

所以點M在以。為圓心，1為半徑的圓上，

設CD的中點為N,則N（后“+1）,且181=4,

因為當A,B在圓°上運動時，始終有/CMD為銳角，

所以以°為圓心，1為半徑的圓與以N為圓心，2為半徑的圓相離，

故＞1+2,解得"-3或。〉1,

即?eU（!,+＜?）,

所以正確答案為:A.

多選題（共4個，分值共：）

9、用二分法求方程/（幻=°在［°」］上的近似解時，經計算，/（0625）＜0,/（0.75）＞0,/（0.6875）＜0,即可

得出方程的近似解為（）

（精確度°」）

A.0.625B.0.75c,0.6875D,0.65

答案：BC

解析：

根據〃。.6875）/0.75）＜°可得方程在（。.6875。75）上有解，結合叱-。.6875上?！辜纯傻贸鼋Y果.

【本題詳解】

因為/(0.625)<0,/(0.75)>0(/(0.6875)<0

8

所以/(0.6875)-/(0.75)<0,/(力=0在(0.6875,0.75)上有解，

▽|0.75-0.6875|<0.1

所以方程八口=°的近似解(精確度為°-D可以為075,0.6875,

所以正確答案為：BC

10、已知集合4={如叫，嗎40},若BuA,則實數0的值可能是()

A.-IB.1C.-2D.2

答案：ABC

解析：

<4

由題意可得從而可求出。的范圍，進而可求得答案

【本題詳解】

4?<4

因為所以4eA,正認則〔缶44,解得

所以正確答案為：ABC

11、函數y=(a2—4a+4)廠是指數函數，則a的值不可以是()

A.4B.3C.2D.1

答案：ACD

解析：

根據指數函數的定義，列出方程，得出。的值.

【本題詳解】

由指數函數的定義知。2—4。+4=1且*1,解得a=3.

所以正確答案為：ACD.

I11

-----1=J-L

12、橢圓m3的離心率是2,則實數加的值是()

93

A.4B.4c.1D.4

答案：AB

解析：

分焦點在x軸與y軸兩種情況討論，分別計算可得：

【本題詳解】

片+匚11

解：因為橢圓m3的離心率是2.

9

_c_y/m-3_1

當焦點在X軸上時，。=而,C=^3,a標3,解得〃=74；

_c_J3-"2_19

當焦點在y軸上時，a=6c=^F..:a￡5,解得‘“一.

9

故實數用的值為4或％.

所以正確答案為：AB.

填空題(共3個，分值共：)

13、在平面直角坐標系中，角a的頂點在坐標原點，始邊在x軸的非負半軸，終邊過點(-2,y)且a)=

2,則sina=.

答案：,

解析：

根據a終邊上一點(-2,y),求得tana,再結合〃九(兀-Q)=2可求得y=4,再利用三角函數定義可求解.

【本題詳解】

因為a終邊上一點(-2,y),

所以tana=—p

Xtan(zr—a)=2=tana=-2,

所以可得y=4,

42次

所以sizia=

，(一2尸+425

故答案為：詈.

14、已知tcma=—則hm2a=.

答案：—|

解析:

根據二倍角的正切公式計算即可.

【本題詳解】

因為tana=一夕

所以tQ九2a==2,&=-3.

故答案為：-(

15、計算求值由+lg5+lg2+eLn2+?g0.01=

答案:I##

解析:

10

利用對數、指數的運算性質計算可得結果.

【本題詳解】

原式=2+IglO+2+-x(-2)=

42

故答案為：

解答題(共6個，分值共：)

16、某高中高二年級學生在學習完成數學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現用分層隨機抽樣

方法從學生的數學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數據分為6組：40,50),50,

60),60,70),70,80),80,90),90,100,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O'405060708090100成績/分

(1)從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數據眾數，平均數，中位數;

(2)在區(qū)間40,50)和90,100內的兩組學生成績樣本數據中，隨機抽取兩個進調查，求調查對象來自不

同分組的概率.

答案：

(1)眾數75；平均數71,中位數73.3.

⑵

15

解析：

(1)按"眾數，平均數，中位數"的公式求解.

(2)由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.

(1)

眾數取頻率分布直方圖中最高矩形對應區(qū)間［70,80)的中點75；

平均數45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71；

因為0.1+0.15+0.15<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3>0.5

所以中位數在區(qū)間［70,80)上，且中位數=70+10X版二答二2型=73.3

(2)

由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40,50)和90,100內的成績樣本數據分別有4個和2個，從6個樣本選2個

共有量=15個結果，

記事件4="調查對象來自不同分組”，結果有n(4)=4x2=8

11

所以P(A)=臀=*

17>在①sbia+cosa=—，，②tcma=—|這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.

已知a為第二象限的角，.

(1)求sina和cosa的值；

(2)求&cos(a+》的值.

答案：倒團

(1)sina=-,cosa=--；

(2)

5

解析：

(1)利用同角關系式及三角函數在各象限的符號即求；

(2)利用兩角和公式展開即求.

(1)

選擇①，

法一：聯立sin咽?cgsa=一，與蟲九2戊+cos2?]=自，

解得：sina=|，cosa=—'或sina=—g，cosa=|,

??.a為第二象限的角，

..34

.?sina=-，cosa=--；

55

法二：由(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2及已知得：sina—cosa=±|,

???Q為第二象限的角，

7

/.sina>0>cosa,si碘-^cosa=

聯立sina4-cgpa吁一二，sina—cosa=

55

Z得B：si.na=-3，cosa=--4；

選擇②，

聯立黑=總與s加咽-cos2a=1,

解得：sin^a=,cos2a=||

*/a為第二象限的角，

????sina=3-,cosa=4--；

(2)0團

.?.s.ina=-3，cosa二一4二,

55

&cos(a+3)=V2(ycosa一芋sina)=cosa—sina=—1.

12

團

18、設函數/(x)=/gW(?€/?),且/'(1)=0.

(1)求。的值，并求函數fQ)的定義域；團團

(2)用單調性的定義證明：函數/'(X)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減.

答案：回團

(1)a=2,(―1,+co)；

(2)證明見解析

解析：

⑴由函數值求參數，通過真數大于零求得函數定義域；

(2)通過函數單調性定義證明函數的單調性.

(1)

由/(I)=國］=0，得：］=1，a=20回

解>0,得：x>—1/(%)的定義域為(―1，+8)；

(20團回團團

設VXI,刀26(0,+8)(x1<X2),貝I」

/Q1)-/(%2)=^777-^777=1g+1)-lg(X1+1)

0<<%2?=x2+1>%i+1，g(%2+1)>Lgg+1)

???/(%1)一汽%2)>0即酌停>/(&)

??.f(x)=/g系在區(qū)間(0,+8)上單調遞減.

19、已知橢圓C:《+《=l(a>b>0)的上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為一;.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線y=?(x+l)與橢圓C相交于A,8兩點，|48|=亨，求橢圓C的標準方程.

答案：

⑴逅

2

(2)亍+y2=1

解析：

(1)根據題意，可知?(-?=-3,可得a=2b,再根據橢圓的性質可得c=由此即可求出離心率;

(2)將直線y=：(x+l)與橢圓方程聯立，由韋達定理得到匕+丫2=-1，xp：2=匕S，再根據弦長公式

\AB\=Jl+g)2Ixi-xzl，建立方程，即可求出b的值，進而求出橢圓方程.

(1)

解：由題意可知，橢圓上頂點的坐標為(0,b),左右頂點的坐標分別為(-a,0)、(a,0),

13

「?2.(―2)=_工，即Q2=4/)2,則Q=2b.

a\aj4

又a2=爐+c2,:.c=y/3br所以橢圓的離心率e=-=^；

a2

(2)

(三+z!=i

解：設A(%i，yi)，8(%2，丫2)，由《》2得：2x2+2x4-1-4b2=0,

(y=2(%+1)

「./=32—8b2>o,+初=—1，xix2=?

2

「?|48|=Jl+@)2%-x2\=+」)2-4%T%2=yV86-1=誓，

解得V8b2-1=迎,.?"2=1,滿足/>0,

2

a?=4,.,.橢圓C的方程為了r+y2=1.團回

20、已知集合@=由劃2-b<ax<2b-2],B={x\-^<x<2}(a>0).

(1)當a=l,bS30,求4UB和CRB；團團

(2)是否存在實數a,b,使得集合4=B?若存在，求出a,b的值；若不存在，請說明理由.

答案：

(1)A\JB={x|㈤<^c<4},CRB={X\X<一，或%>2)

(2)存在，a=2,b=3

解析：0000

(朝弋以a=l,b=3,根據集合的運算律求解，(2)假設存在實數a