大學物理授課教案-第四章-剛體轉(zhuǎn)動

第四章剛體的轉(zhuǎn)動§4-1剛體運動一、剛體定義：物體內(nèi)任意二點距離不變的物體稱為剛體。說明：⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的。二、剛體運動剛體運動：〔1〕平動：剛體內(nèi)任一直線方位不變。特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：、等都相同，故可用一個點來代表剛體運動?！?〕轉(zhuǎn)動：1〕繞點轉(zhuǎn)動2〕繞軸轉(zhuǎn)動：剛體中所有點都繞一直線作圓周運動說明：剛體的任何運動都可看作平動與轉(zhuǎn)動的合成。〔如：乒乓球飛行等〕三、定軸轉(zhuǎn)動〔本章僅討論此情況〕定義：轉(zhuǎn)軸固定時稱為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動特點：⑴剛體上各點的角位移相同〔如：皮帶輪〕，各點的、相同。⑵剛體上各點的、、一般情況下不同。說明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法那么確定。見圖4-1。⑵§4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量一、力矩1、外力在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2：定義：⑴力矩：〔4-1〕⑵力矩：大?。骸?，稱為力臂〕；方向：沿〔〕方向，它垂直于、構(gòu)成的平面即與軸平行。注意：是、間夾角。2、外力不在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-3：∵對轉(zhuǎn)動無奉獻∴對轉(zhuǎn)動有奉獻的僅是。產(chǎn)生的力矩即的力矩，故上面的結(jié)果仍適用。說明：平行軸或經(jīng)過軸時。二、轉(zhuǎn)動定律時，轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變，即，那么與的關(guān)系如何？這就是轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容。推導：如圖4-4，把剛體看成由許多質(zhì)點組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動?？紤]第個質(zhì)點：質(zhì)量：到軸的距離：受力：外力：；內(nèi)力：〔設、在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)〕在切線方向上由牛頓定律有：〔4-2〕即〔4-3〕〔4-3〕×:〔4-4〕每一個質(zhì)點都有一個這樣方程，所有質(zhì)點對應方程求和之后，有〔4-5〕可證明。證明如下：如圖4-5，剛體內(nèi)力是各質(zhì)點間的相互作用力，他們是一對一對的作用力和反作用力。對、兩質(zhì)點，相互作用力的力矩之和=？設為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力，為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力?！吲c共線∴力臂相等又∵與等值反向∴與產(chǎn)生力矩等值反向，故與力矩合=0由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。令〔4-6〕即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動定律。說明：⑴,與方向相同⑵為瞬時關(guān)系⑶轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同，是產(chǎn)生的原因，是產(chǎn)生的原因。*比擬⑷為合外力矩=各個外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動慣量1、：轉(zhuǎn)動慣量=剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和。2、轉(zhuǎn)動慣量的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。例4-1：如圖4-6，在不計質(zhì)量的細桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個質(zhì)量為的小球，三角形邊長為。求：⑴系統(tǒng)對過質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動慣量；⑵系統(tǒng)對過A點，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動慣量；⑶假設A處質(zhì)點也固定在B處，⑵的結(jié)果如何？解：⑴⑵⑶討論：⑴與質(zhì)量有關(guān)〔見⑴、⑵、⑶結(jié)果〕⑵與軸的位置有關(guān)〔比擬⑴、⑵結(jié)果〕⑶與剛體質(zhì)量分布有關(guān)〔比擬⑵、⑶結(jié)果〕⑷平行軸定理：對平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量=對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量+剛體質(zhì)量×該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如例4-2：如圖4-7，質(zhì)量為長為的勻質(zhì)桿，求：⑴它對過質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動慣量為多少？⑵它對過一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動慣量為多少？解：⑴如圖4-7所取坐標，⑵如圖4-8所取坐標，用平行軸定理解：說明：一些特殊形狀的剛體轉(zhuǎn)動慣量應會計算并記住。如：勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤、圓環(huán)、球等。例4-3：如圖4-9，輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪c連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為、，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。解：受力分析：：重力，桌面支持力，繩的拉力；：重力，繩的拉力；：重力，軸作用力，繩作用力、取物體運動方向為正，由牛頓定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，，解得：討論：不計時，〔即為質(zhì)點情況〕例4-4：一質(zhì)量為的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為，整個裝置架在光滑的固定軸承上。當物體從靜止釋放后，在時間內(nèi)下降了一段距離，試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量〔用，，和表示〕解：受力分析由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，，§4-3轉(zhuǎn)動動能力矩的功轉(zhuǎn)動動能定理一、轉(zhuǎn)動動能如圖4-13，剛體繞過O處軸〔垂直圖面〕轉(zhuǎn)動，角速度為，在轉(zhuǎn)動中剛體各個質(zhì)點都具有動能，剛體轉(zhuǎn)動動能=各個質(zhì)點動能之和。設各質(zhì)點質(zhì)量為，，，…，與軸距離為，，，…，轉(zhuǎn)動動能為：〔4-6〕*比擬：二、力矩的功如圖4-14，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，設作用在剛體P點力〔可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個力〕，在作用下剛體有一角位移，力的作用點的位移為，那么在該位移中作的功為：〔4-7〕即：力矩元功=力矩×角位移〔力矩與角位移點積〕在力矩作用下，從過程中，力矩的功為〔4-8〕說明：⑴常力矩功⑵力矩功是力矩的空間積累效應⑶內(nèi)力矩功之和=0〔與質(zhì)點情況不同〕⑷力矩的功功率：比擬：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理即做如下積分可得〔4-9〕即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動動能定理。例4-5：在例4-3中，假設B從靜止開始下落時，⑴合外力矩對c做的功=？⑵c的角速度=？解：⑴由例3知，對c的合外力矩為〔常力矩〕⑵例4-6：如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細桿相連，彈簧倔強系數(shù)，細桿質(zhì)量為。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。假設當時彈簧為原長，那么細桿在的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？解：取、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機械能守恒。，。，代入得注意：機械能守恒定律條件及應用?！?-4角動量角動量定理角動量守恒定律角動量1、角動量定義：，稱為剛體角動量〔或動量矩〕說明：⑴⑵2、沖量矩轉(zhuǎn)動定律〔4-10〕〔4-11〕做如下積分：定義：為在內(nèi)對剛體的沖量矩〔4-12〕說明：〔1〕沖量矩是矢量〔2〕沖量矩是力矩的時間積累效應*比擬：二、角動量定理由上知〔4-13〕即：合外力矩對剛體的沖量矩等于剛體角動量增量。稱此為角動量〔或動量矩〕定理。三、角動量守恒定律當時，有〔4-14〕即：當合外力矩時，那么此情況下剛體角動量守恒，稱此為角動量守恒定律。說明：⑴角動量守恒條件是某一過程中。⑵⑶角動量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍規(guī)律，不僅適用于宏觀物體的機械運動，而且也適用于原子、原子核和根本粒子〔如電子，中子，原子，光子，…〕等微觀粒子的運動。例4-7：如圖4-17，輕繩一端系著質(zhì)量為的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔o用力拉著，如下圖。質(zhì)點原來以等速率作半徑為的圓周運動，當拉動繩子向正下方移動時，質(zhì)點的角速度解：研究對象：受力分析：重力、桌面支持力、繩的作用力。可見轉(zhuǎn)動中，受合外力矩=0，即∴得注意：角動量守恒條件及應用〔守恒時，不一定守恒，反過來也如此〕例4-8：如圖4-18，A、B兩圓盤分別繞過其中心的垂直軸轉(zhuǎn)動，角速度分別是、，它們半徑和質(zhì)量分別為、和、。求A、B對心銜接后的最后角速度。解：研究對象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中，對軸無外力矩作用，故有即：討論：假假設的轉(zhuǎn)動方向與題中相反，那么假設為正，那么有：例4-9：如圖4-19，長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細桿，可繞過O的光滑水平軸轉(zhuǎn)動。起初桿水平靜止。求：⑴t=0時，⑵桿到豎直位置時，⑶桿從水平到豎直過程中外力矩功=？⑷桿從水平到豎直過程中桿受沖量矩大小為多少？解：⑴即⑵以、地為系統(tǒng)，其能量方程有⑶⑷沖量矩=例4-10：長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細桿，可繞上端的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為的小球在桿的轉(zhuǎn)動面內(nèi)以速度垂直射向桿的A點，求以下情況下桿開始運動的角速度及最大擺角。⑴子彈留在桿內(nèi)⑵子彈以射出。解：⑴子彈留在桿內(nèi)分兩個過程：彈射入桿過程。、、為系統(tǒng)，角動量守恒，即①〔強調(diào)：此過程動量不守恒及原因〕上